王 瑤 田玉娟

(山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 250358, 濟南)

1 引 言

近年來,隨著信息科學、神經(jīng)科學和控制科學的快速發(fā)展,神經(jīng)網(wǎng)絡在圖像處理、聯(lián)想記憶、模式識別、自動控制等眾多領(lǐng)域得到了廣泛應用[1-4].神經(jīng)網(wǎng)絡也隨之得到了深入的研究.由于兩個相互作用的神經(jīng)元自身之間不可避免地存在傳遞信息所需的時間以及物理元器件的限制,在神經(jīng)網(wǎng)絡的應用中會產(chǎn)生時滯的現(xiàn)象.時滯的存在對神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性具有較大的影響,可能導致振蕩行為、性能劣化、甚至混沌現(xiàn)象[5-8].因此研究有延遲的神經(jīng)網(wǎng)絡的動力學行為尤為重要.同步作為一種重要的動力學行為,在生物系統(tǒng)、信息科學和安全通信等領(lǐng)域有著廣泛應用[9-11].

到目前為止,針對如何實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡的同步有很多控制方法,如間歇控制[12]、脈沖控制[13]、反饋控制[14]、采樣控制[15]等.脈沖控制作為一種典型的不連續(xù)控制方法,在降低控制成本和信息傳輸量上具有很大的優(yōu)勢,并已應用于藥物給藥,水生生態(tài)系統(tǒng)的治理以及種群模型等諸多實際問題.近年來,大量的文獻通過脈沖控制方法來研究神經(jīng)網(wǎng)絡的同步[16-19].He W L等人[16]基于脈沖控制研究了時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的牽制控制同步；Kan Y等人[17]研究了具有時變時滯的復值神經(jīng)網(wǎng)絡在脈沖控制下的指數(shù)同步.然而,在現(xiàn)實生活中,可用的信息通常是不確定的、不精確的,這些數(shù)據(jù)都是通過區(qū)間數(shù)據(jù)或模糊數(shù)據(jù)表示出來的.所以在很多應用中應該將輸入向量和預測值用區(qū)間形式表示,而不是單個實值表示.因此,區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡的研究是一個十分重要的課題,很多學者對時滯區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡的動力學行為進行了研究[20-23].但其所研究的時滯大多局限于離散時變時滯情形.由于具有大量的并行通道,神經(jīng)網(wǎng)絡往往具有空間屬性.因此,有必要在區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡中引進分布時滯,以使它們更精確地貼合系統(tǒng)本質(zhì).Li X等人[24]究了具有中立型連續(xù)分布時滯的隨機區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡的全局魯棒穩(wěn)定性；Jiang F F等人[25]研究了具有時變時滯和分布時滯的區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡在脈沖擾動下的平穩(wěn)振蕩.盡管許多文獻已經(jīng)研究了具有分布時滯的區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡的動力學行為,但很少有人運用脈沖控制來實現(xiàn)區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡的同步.

基于以上分析,本文將進一步研究具有分布時滯的區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡在脈沖控制下的同步問題.通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù),利用脈沖微分不等式技術(shù)，導出依賴于分布時滯的全局指數(shù)同步準則,所得判據(jù)均由線性矩陣不等式表示.最后,通過一個數(shù)值算例驗證該結(jié)論的正確性.

2 預備知識

2.1符號介紹

1)R表示實數(shù)集；Rn表示n維歐幾里得空間；Z+表示正實數(shù)集；‖·‖為歐幾里得范數(shù)；

2)A>0(A<0)表示A為正定(負定)矩陣；AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置；A-1表示矩陣A的逆；

3)λmax(A)(λmin(A))表示矩陣A的最大特征值(最小特征值)；

4)PC(J,U)表示定義域為J?R,值域為U?Rk(1≤k≤n)的分段連續(xù)函數(shù)；

5)I表示適合維數(shù)的單位矩陣；

6)*表示矩陣中的對稱部分；Λ={1,2,…,n}.

2.2系統(tǒng)模型考慮具有分布時滯的區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡

(1)

其中x(t)=(x1(t),…,xn(t))T∈Rn為系統(tǒng)在t時刻的狀態(tài)向量；f(x(t))=(f1(x(t)),…,fn(x(t)))T∈Rn是神經(jīng)網(wǎng)絡激活函數(shù)；C=diag(c1,…,cn)∈Rn×n是一個正對角矩陣,A,B∈Rn×n為連接權(quán)矩陣；J(t)∈Rn是外部輸入函數(shù)；β(t)是分布時滯，且滿足條件0≤β(t)≤β,其中β為常數(shù)；φ(·)∈PC([-β,0],Rn)為初值條件.

假設(shè)1對任意的u,v∈R，存在一個正對角矩陣L=diag(L1,…,Ln),使得下列不等式成立

‖fi(u)-fi(v)‖≤Li‖u-v‖,i∈Λ.

假設(shè)2令系統(tǒng)中未知矩陣C,A,B在下列區(qū)間內(nèi)有界

C∈CI,A∈AI,B∈BI,

其中

與驅(qū)動系統(tǒng)(1)相對應的響應系統(tǒng)為

(2)

令e(t)=y(t)-x(t)表示同步誤差,可得誤差系統(tǒng)

(3)

其中C0,A0和B0分別是區(qū)間矩陣C,A和B的參考矩陣.令

其中ei∈Rn,i∈Λ表示i行為1,其他元素為0的列向量.系統(tǒng)(3)可以重新表示為

(4)

其中

Θ=[Θ1,Θ2,Θ3]n×3n2,Δi∈Γ,i=1,2,3,

定義1[17]若存在常數(shù)μ>0,N>1使得下列不等式成立

則驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)在脈沖集合ζη下是全局指數(shù)同步的.

引理1[26]考慮如下脈沖微分不等式

其中M>1,λ>0.

引理2[27]對任意正定矩陣E∈Rn×n,常數(shù)a>0,b>0,定義向量函數(shù)u:[a,b]→Rn,則有

引理3[28]對任意向量x,y∈Rn和正定矩陣Q∈Rn×n,有下列不等式成立

xTy+yTx≤xTQx+yTQ-1y.

3 主要結(jié)果

定理1在假設(shè)1和2下,如果存在常數(shù)a∈R,b>0,0<ε<1,和正定矩陣P∈Rn×n,正定對角矩陣Qi∈Rn×n(i=1,2),Qi∈Rn2×n2(i=3,4,5),矩陣Zk∈Rn×n使得下列不等式成立

(5)

(6)

(7)

其中

則驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)關(guān)于脈沖序列ζη是全局指數(shù)同步的,且控制增益為Ek=P-1Zk.

證選取Lyapunov函數(shù)V(t)=eT(t)Pe(t),沿著系統(tǒng)(4)的軌跡取V(t)的導數(shù),當t∈[tk-1,tk)，k∈Z+時,可以推導出

(8)

由(8)式和引理3,可得

(9)

由Ψe(t)定義知

(10)

由引理3和(10)式，有

(11)

結(jié)合(8)式和(11)式，可以得出

(12)

在條件(6)下,由引理2得

(13)

結(jié)合條件(5)、(6)、(12)和(13),可得

另一方面，當t=tk時，可得

V(tk)=eT(tk)Pe(tk)

其中M>1,λ>0.由于V(t)=eT(t)Pe(t),可得

綜合各式可得

因此,系統(tǒng)(1)和(2)關(guān)于脈沖序列ζη是全局指數(shù)同步的.

注1定理1通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)研究了區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡的同步問題,給出了依賴于分布時滯的全局指數(shù)同步準則.近年來,有關(guān)區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡的研究成果越來越豐富,但關(guān)于區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡的脈沖控制相關(guān)結(jié)果較少.文獻[20]和[21]研究了時滯區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡的動力學行為,但它們所考慮的時滯僅限于時變時滯且都忽略了分布時滯的影響.因此,本文的研究改進了文獻[20]和[21]的結(jié)果.

特別地，若C,A,B是已知的常數(shù)矩陣，則有下列推論1成立.

推論1在假設(shè)1下,如果存在常數(shù)a∈R,b>0,0<ε<1,和正定矩陣P∈Rn×n,正定對角矩陣Qi∈Rn×n(i=1,2),矩陣Zk∈Rn×n使得下列不等式成立

(14)

bP-β2LQ2L>0,

(15)

(16)

其中

Π11=-2PC-aP+LQ1L,

則驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)關(guān)于脈沖序列ζη是全局指數(shù)同步的,且控制增益為Ek=P-1Zk.

4 數(shù)值算例

本節(jié)通過一個數(shù)值例子來說明所得結(jié)果的有效性和優(yōu)越性.

例1考慮二維區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡(1),參數(shù)如下：

系統(tǒng)初值條件如下：φ(t)=(0.3,1.6)T,激活函數(shù)f(x)=tanh(x),分布時滯β(t)=0.3-0.01sin(t),脈沖區(qū)間tk+1-tk=0.005 4，外部輸入J=(0,0)T.

同理，響應系統(tǒng)(2)選取初值條件φ(t)=(-1.9,-2)T.另一方面，基于以上參數(shù)，可得L=I2×2,

令a=15,b=0.5,ε=0.07，基于定理1,使用Matlab LMI工具箱,可得

因此,增益矩陣設(shè)計如下

圖1 無脈沖控制時驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)的狀態(tài)軌跡

圖2 在脈沖控制下驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)的狀態(tài)軌跡

5 結(jié) 語

本文考慮了具有分布時滯的區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡在脈沖控制下的同步問題.通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù),利用脈沖微分不等式技術(shù),得到了驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)全局指數(shù)同步的充分條件,并得到了相關(guān)推論.最后給出了一個數(shù)值算例,驗證了所設(shè)計方案的可行性和有效性.