王小猛，郝文斌，郝秀紅，*

(1.秦皇島技師學院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 機械工程學院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

磁場調(diào)制型磁齒輪傳動由于采用同軸式拓撲結(jié)構(gòu)，永磁體利用率高，輸出轉(zhuǎn)矩大，機構(gòu)轉(zhuǎn)矩密度可高達150 kN·m/m3，傳動能力在某種程度上可以與機械齒輪傳動相媲美。由于采用磁場傳遞運動和動力，無接觸、無磨損、無需潤滑，克服了機械齒輪輪齒接觸引起的疲勞折斷，具有節(jié)能、維護成本低等優(yōu)點[1-2]。

由于采用磁耦合作用使得構(gòu)件間磁耦合剛度較機械輪齒間的機械嚙合剛度小得多，系統(tǒng)某些模態(tài)頻率較低[3-4]。郝秀紅、Sina M等給出了磁耦合剛度的變化規(guī)律，分析了磁場調(diào)制型磁齒輪傳動系統(tǒng)模態(tài)特征，明確了輸入、輸出轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動頻率比調(diào)磁環(huán)的扭轉(zhuǎn)振動頻率低得多，但較傳統(tǒng)平行軸磁齒輪高的結(jié)論[5-6]。Lee等采用有限元分析了磁場調(diào)制型磁齒輪傳動的模態(tài)頻率和模態(tài)振型，并通過仿真和試驗研究了磁齒輪的低噪音特征[7]。磁齒輪傳動由于構(gòu)件間不存在摩擦阻力，電磁阻尼極小可以忽略，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生較大振動時衰減緩慢，且系統(tǒng)動力穩(wěn)定性較差[8]。Gardner M C等提出了一種分析磁齒輪非線性動力學特性的模型和方法，并指出了增加黏性阻尼對提高系統(tǒng)振動衰減的重要性[9]。針對磁耦合剛度帶來的問題，F(xiàn)rank N W等采用在轉(zhuǎn)子中嵌入阻尼線圈的方式增加電磁阻尼以加速構(gòu)件振動衰減[10]，Montague R等通過在磁齒輪中置入位置伺服監(jiān)控器的方法，通過精確控制構(gòu)件的位置而間接達到加速系統(tǒng)振動衰減的目的[11]。但由于磁場調(diào)制型磁齒輪系統(tǒng)發(fā)展歷史較短，國內(nèi)外學者的研究主要集中于新型磁齒輪機構(gòu)轉(zhuǎn)矩特性分析、參數(shù)優(yōu)化等方面的研究[12-13]，但對于其穩(wěn)定性等動力學方面的深入研究仍比較缺乏。

磁齒輪系統(tǒng)中各構(gòu)件間的磁耦合力復(fù)雜，磁耦合剛度呈現(xiàn)出明顯的非線性特性，且受傳動比等參數(shù)影響會出現(xiàn)內(nèi)共振現(xiàn)象，使得系統(tǒng)的動力學行為更為復(fù)雜。探索存在內(nèi)共振時磁齒輪系統(tǒng)的動力學行為可以為提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，加速磁齒輪傳動產(chǎn)業(yè)化奠定基礎(chǔ)。

1 磁齒輪系統(tǒng)非線性動力學模型

磁場調(diào)制型相交軸磁齒輪傳動主要由輸入轉(zhuǎn)子、輸出轉(zhuǎn)子及調(diào)磁體三部分組成,如圖1所示。輸入、輸出轉(zhuǎn)子端面分別均勻間隔布置有N1、N3塊N、S極永磁體，直線型調(diào)磁體由N1+N3條導(dǎo)磁和非導(dǎo)磁材料間隔布置成橢圓環(huán)形，調(diào)磁體兩端面呈一定角度(一般為90°)，且端面截面形狀為圓環(huán)形，與輸入、輸出轉(zhuǎn)子端面上環(huán)形永磁體相對。調(diào)磁體端面與輸入、輸出轉(zhuǎn)子上的永磁體端面平行，形成兩層長度均勻的氣隙。

圖1 調(diào)磁體直線型相交軸磁齒輪拓撲結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure diagram of the field modulated magnetic gear with intersecting axes

當輸入轉(zhuǎn)子回轉(zhuǎn)時，永磁體在輸入轉(zhuǎn)子及調(diào)磁體間形成主諧波次數(shù)為N1的磁場，該磁場經(jīng)調(diào)磁體調(diào)制后在輸出轉(zhuǎn)子與調(diào)磁體間的氣隙中形成主諧波次數(shù)為N3的磁場，與輸出轉(zhuǎn)子上永磁體極對數(shù)N3相等，實現(xiàn)等磁極耦合并傳遞運動和動力。

相交軸磁齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學模型如圖2所示，輸入轉(zhuǎn)子與調(diào)磁體、調(diào)磁體與輸出轉(zhuǎn)子間采用磁力耦合，調(diào)磁體與其固定支架間的約束可以簡化為沿切線方向的等效線性彈簧。考慮到各構(gòu)件間的橫向支撐剛度比扭轉(zhuǎn)剛度大得多，本文只考慮各構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)振動。

圖2 相交軸磁齒輪非線性動力學模型Fig.2 Nonlinear dynamic model of the field modulated magnetic gear with intersecting axes

磁齒輪傳動系統(tǒng)中各構(gòu)件間為磁力耦合，忽略由于磁場調(diào)制引起的齒槽轉(zhuǎn)矩波動，輸入、輸出轉(zhuǎn)子上的轉(zhuǎn)矩大小可表示為

(1)

式中，T1、T3為輸入、輸出轉(zhuǎn)子上的轉(zhuǎn)矩；Tc1、Tc3為輸入、輸出轉(zhuǎn)子上轉(zhuǎn)矩的最大值；θ10、θ30為輸入轉(zhuǎn)子與調(diào)磁體、調(diào)磁體與輸出轉(zhuǎn)子間的初始相對旋轉(zhuǎn)角；θ12、θ23為輸入轉(zhuǎn)子與調(diào)磁體、調(diào)磁體與輸出轉(zhuǎn)子間的相對扭轉(zhuǎn)角位移。

各構(gòu)件間扭轉(zhuǎn)振動方向的磁耦合力可表示為

(2)

式中，F(xiàn)Is、Fso為輸入轉(zhuǎn)子與調(diào)磁體、調(diào)磁體與輸出轉(zhuǎn)子間的磁耦合力；R1、R3為輸入、輸出轉(zhuǎn)子當量回轉(zhuǎn)半徑；θk為輸入轉(zhuǎn)子、調(diào)磁體和輸出轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)振動位移，k=1,2,3。

為方便起見，用各構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)線位移代替其扭轉(zhuǎn)角位移

x=[u1u2u3]T，

(3)

其中，uk=Rkθk。

構(gòu)件間的磁耦合力為構(gòu)件間相對扭轉(zhuǎn)位移的函數(shù)，則將構(gòu)件間的磁耦合力在t=0，即uk=0時刻展開為泰勒級數(shù)可表示為

(4)

其中，h1=Tc1sinθ10/R1，

h2=Tc3sinθ30/R3，

由式(4)可知，各構(gòu)件的磁耦合力為構(gòu)件間相對扭轉(zhuǎn)位移的非線性函數(shù)。將構(gòu)件間的磁耦合力展開為泰勒級數(shù)，忽略只會導(dǎo)致磁齒輪系統(tǒng)各構(gòu)件靜態(tài)變形的常數(shù)，由拉格朗日方程可得相交軸磁齒輪傳動系統(tǒng)自由振動的非線性動力學微分方程為

(5)

將式(5)寫為矩陣形式為

(6)

其中，M=diag(M1M2M3)，

u=[u1u2u3]T，

c=diag(cIcsco)，

F=[F1F2F3]T，

式中，M、u、c、k、F分別為質(zhì)量矩陣、位移矢量、阻尼矩陣、剛度矩陣、等效載荷矢量。

以式(6)的線性派生系統(tǒng)為基礎(chǔ)將式(6)正則化可得

(7)

式中，uN、kN、cN和FN分別為正則位移矢量、正則剛度矩陣、正則阻尼矩陣、正則等效載荷矢量。其中，

uN=[uN1uN2uN3]T，

FN=[FN1FN2FN3]T，

FNk=AN1kF1+AN2kF2+AN3kF3,

式中，ωk為磁齒輪傳動派生系統(tǒng)各階固有頻率。

2 含1∶2內(nèi)共振時自由振動公式推導(dǎo)

非線性系統(tǒng)的派生系統(tǒng)多個固有頻率值相互可有理通約或接近于可有理通約時，系統(tǒng)就可能產(chǎn)生內(nèi)共振。當系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)模態(tài)固有頻率約等于輸入轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)模態(tài)固有頻率2倍時，引入下面的解諧參數(shù)

ω3=2ω1+εσ，

(8)

采用多尺度法求自由振動(7)的近似解析解。為使阻尼的影響與非線性的影響相均衡，從而使得阻尼相與非線性項在同一攝動方程中，對小而有限振幅的二階近似解，其形式為

(9)

將式(8)和式(9)代入式(7)的自由振動方程，由方程兩邊小參數(shù)ε的同次冪系數(shù)相等，可得以下的近似線性微分方程組

ε階

(10)

ε2階

(11)

其中，F(xiàn)Nk0=AN1kF10+AN2kF20+AN3kF30，

(12)

式中，Ak為初始位移，常坐標系下式(12)的解為

(13)

其中，α1=AN11，α2=AN12，α3=AN13，

β1=AN21，β2=AN22，β3=AN23，

γ1=AN31，γ2=AN32，β3=AN33。

將式(12)和(13)代入式(11)并消除久期項得

(14)

其中，P1=2ω1(AN11α1+AN21β1+AN31γ1)，

S1=-AN11[2c1α1α3+e1(α1β3+α3β1)+

2d1β1β3]+AN21[2c1α1α3+2d1β1β3+

e1(α1β3+α3β1)-2c2β1β3-2d2γ1γ3-

e2(β1γ3+β3γ1)]+AN31[2c2β1β3+

2d2γ1γ3+e2(β1γ3+β3γ1)]，

P2=2ω2α2AN12+2ω2β2AN22+2ω2γ2AN32,

式(14)中的第二式的解隨T1的增加逐漸衰減為零，其解為

A2=E2e-R2T1/P2，

(15)

對于其他兩項，設(shè)其解的形式為

Ak=Ek(T1)eiθk(T1)，

(16)

將式(16)代入式(14)中的第一、第三式，并分離實部和虛部可得

(17)

其中，γ1=θ3-2θ1+σT1。

采用Runge-Kutta方法解式(17)中的各參數(shù)，其中E1、E3的初值與A1、A3相同，γ1初值為零。將所得E1、E3代入式(13)可以得到在常坐標系下的一次近似解析解。

3 磁齒輪系統(tǒng)自由振動分析

表1 磁齒輪系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of the magnetic gear

由圖3可知，能量在兩個模態(tài)間不斷交換，且初始能量越高，即初始振幅越大能量交換越快。由于阻尼的作用模態(tài)振幅逐漸衰減，且能量交換的頻率隨著時間的衰減不斷減小，即周期不斷增加，這與能量越大振動波動越快相一致。

將如圖3(a)的各模態(tài)振幅代入式(16)后連同式(15)代入式(13)可得系統(tǒng)時域響應(yīng)曲線，同時，調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)當系統(tǒng)不存在內(nèi)共振時的振幅如式(15)所示，代入式(13)可得如圖4所示。

圖3 非線性系統(tǒng)正則坐標下C1、C3振動振幅Fig.3 Amplitude of C1 and C3 in normal coordinate

圖4 磁齒輪非線性系統(tǒng)含內(nèi)共振時的自由振動響應(yīng)Fig.4 Free vibration response of the nonlinear magnetic gear system with the internal resonance

由圖4可知，相交軸磁齒輪非線性系統(tǒng)中存在與不存在內(nèi)共振相比，存在內(nèi)共振時由于阻尼振動衰減較緩慢，且各構(gòu)件衰減過程中均存在頻率不斷變化的能量交換。其中，輸入、輸出轉(zhuǎn)子的振動衰減中由于彼此間的內(nèi)共振關(guān)系，模態(tài)間的能量交換更加明顯，調(diào)磁體由于扭轉(zhuǎn)支撐剛度較大，能量交換相對不明顯。輸入轉(zhuǎn)子、調(diào)磁體和輸出轉(zhuǎn)子振動位移中的主要頻率分別為各自的模態(tài)頻率，其次為有與內(nèi)共振產(chǎn)生的能量交換頻率，調(diào)磁體振動位移中還包含了與輸入、輸出轉(zhuǎn)子的耦合頻率。

模態(tài)間的內(nèi)共振將使得各模態(tài)間影響明顯，可利用這一影響使其與其他模態(tài)耦合的方式來調(diào)節(jié)某一模態(tài)振動衰減速度。例如可以通過在輸入或者輸出側(cè)增加被動阻尼從而使輸入和輸出轉(zhuǎn)子的振動同時加快衰減。

4 結(jié)論

考慮構(gòu)件間磁耦合力非線性時，磁場調(diào)制型相交軸磁齒輪系統(tǒng)為含平方項的非線性系統(tǒng)，采用多尺度法得到了各模態(tài)振幅的微分方程，通過數(shù)值解法得到了各模態(tài)在不同初始能量時的變化曲線和系統(tǒng)自由振動響應(yīng)曲線。當存在內(nèi)共振時系統(tǒng)能量將在模態(tài)間不斷交換傳遞，且交換頻率隨能量增大而加快。由于磁齒輪系統(tǒng)構(gòu)件間非接觸性導(dǎo)致的弱阻尼，內(nèi)共振的存在將導(dǎo)致各構(gòu)件在外部激勵消失后衰減更加緩慢，惡化系統(tǒng)的動力學性能。各構(gòu)件的主導(dǎo)頻率為各自對應(yīng)的模態(tài)頻率，其次為能量交換頻率。由于磁齒輪系統(tǒng)的磁耦合剛度和弱阻尼特點，必須采用添加被動阻尼或半主動阻尼的方式加快衰減速度，將是后續(xù)的重要研究內(nèi)容。