李煜冬 傅卓佳 湯卓超

摘要： 針對基于1階剪切變形理論和Hamilton原理的功能梯度材料（functionally graded material， FGM）板微分控制方程，驗證將廣義有限差分法（generalized finite difference method， GFDM）用于FGM板彎曲行為數(shù)值計算的有效性，利用GFDM對物理域進行離散布點、無須網格劃分的優(yōu)點，對離散域生成稀疏插值矩陣。以Ansys軟件分析結果作為參考解，選擇3個基準算例進行對比，結果表明GFDM可以有效求解FGM中厚板彎曲問題，并且避免處理傳統(tǒng)無網格配點法中常見的病態(tài)稠密矩陣，精度滿足工程要求。

關鍵詞： 無網格配點法;1階剪切變形;功能梯度材料;數(shù)值模擬;線性系統(tǒng)

Abstract： As to the differential governing equations for functionally graded material（FGM） plates based on the firstorder shear deformation theory and Hamilton principle， the generalized finite difference method（GFDM） is applied to analyze the bending behavior of FGM plates numerically， and then the effectiveness is verified. GFDM is employed to generate sparse interpolation matrix in discrete domain using its advantage that the physical domain is distributed discretely， and no mesh generation is needed. Taking the analysis results of Ansys as the reference solutions， three standard examples are selected for comparison， and the results show that GFDM can effectively solve the bending problem of medium FGM plate. The method can avoid dealing with illconditioned dense matrix which is common in traditional meshless point collocation method， and its accuracy meets the engineering requirements.

Key words： meshless point collocation method;firstorder shear deformation;functionally graded material;numerical simulation;linear system

0 引 言

功能梯度材料（functionally graded material， FGM）[12]是一種非均勻的復合材料，其物理力學與結構力學性能不同，被廣泛應用于航空航天、機械、建筑、化學、生物醫(yī)學和電子信息等諸多領域。具有復合材料性質的彈性板結構受到學術界和工程界的廣泛關注，如彈性地基下的鋼筋混凝土板、國際空間站的太陽能電池帆板和高速鐵路的軌道板等。彈性板結構的彎曲問題是板殼結構分析中最基本的問題之一，目前針對FGM板彎曲的數(shù)值分析主要采用有限差分法[3]、有限元法[4]和邊界元法[5]等傳統(tǒng)網格方法。

一些學者致力于將無須網格劃分的無網格方法[6]用于板結構的彎曲分析。KRYSL等[7]將無網格伽遼金法（elementfree Galerkin method， EFGM）用于彈性薄板和薄殼靜定問題的研究;LIU等[8]進一步將EFGM應用于層合板的計算;GILHOOLEY等[9]基于剪切變形理論，運用含徑向基函數(shù)的彼得洛夫伽遼金無網格方法分析FGM厚板的彎曲問題;SAHRAEE等[10]采用4階剪切變形理論分析功能梯度厚圓板的軸對稱彎曲問題;FU等[1112]采用邊界粒子法對Kirchhoff板和Winkler板彎曲問題進行求解。

廣義有限差分法（generalized finite difference method， GFDM）[13]是一種無網格區(qū)域配點方法，以求解區(qū)域中的任意一點（中心點）為研究對象，在中心點附近按照最短距離準則形成該點的局部支撐域，基于多元函數(shù)的泰勒展開式和加權最小二乘法，將中心點處函數(shù)值的各階導數(shù)表示成其支撐域節(jié)點上函數(shù)值的加權線性疊加。該方法不僅無須網格劃分，而且可以避免無網格配點法常見的病態(tài)稠密矩陣問題，因此被廣泛應用于求解各種科學和工程問題。UREA等[14]提出高階偏微分方程的GFDM;FAN等[15]將GFDM用于求解穩(wěn)定二維柯西反算問題、雙調和方程反算問題等;GU等[16]將GFDM應用于求解工程反熱源問題;李艾倫等[17]和湯卓超等[18]分別將GFDM用于求解腫瘤傳熱分析和Winkler板彎曲問題。

本文將GFDM用于求解FGM板的彎曲問題，研究基于1階剪切變形理論（firstorder shear deformation theory， FSDT）的FGM板彎曲方程的GFDM。在給出FDST的FGM板彎曲數(shù)值離散模型的基礎上，以Ansys軟件仿真結果為參考，通過求解不同邊界和形狀的基準算例驗證本文方法的有效性與收斂性。在此基礎上，數(shù)值研究不同梯度分布的FGM對板彎曲撓度分布的影響。

1 數(shù)學模型

1.1 控制方程

FGM為非均勻材料，其組分和結構隨空間坐標變化，通常沿某一方向呈連續(xù)梯度變化。假設材料性質Q（包括彈性模量E、泊松比μ、密度ρ等）只沿板的厚度方向變化，且服從冪函數(shù)規(guī)律矩形板物理模型見圖1。板長為a，板寬為b，厚度為t，板上表面的均布載荷為q，板材料性質服從式（1）的冪函數(shù)規(guī)律。

通過式（7）～（13）推導求解，可以得到各階偏導項的差分表達式。研究功能梯度板問題，需要先求得（u0，v0，w0，x，y）的各階偏導項，隨后將每一個離散點的偏導值用差分表達式替代，再代入微分控制方程和邊界條件，形成線性代數(shù)方程組，從而求得數(shù)值解。

3 數(shù)值結果

將本文方法與文獻中的經典算例解析解和Ansys仿真結果進行數(shù)值比較，驗證本文方法在FGM板彎曲分析中的有效性，并在此基礎上討論不同參數(shù)對計算結果的影響。為定量表征計算結果的精確程度，誤差定義為

3.1 算例1

選擇一個1 m×1 m的方形板，該板為由5層均質材料緊密黏合而成的離散型組合材料板，5層材料依次為Al、Zn、Cu、Fe2O3、ZrO2，每層厚度為0.02 m，材料參數(shù)見表1。假設泊松比為定常數(shù)0.3，對邊固支的層板結構受到80 MPa均布載荷，部分節(jié)點的無量綱化變形計算結果見表2。將Ansys分析結果作為參考解，GFDM的誤差為R=0.001 4和G=0.009 4，說明GFDM與Ansys分析結果的近似度很高，滿足工程精度要求。

當板厚變化時，基于FSDT的GFDM、基于簡單薄板理論（kirchhofflove theory， KT）的GFDM和Ansys仿真分析得到的板中心變形數(shù)值計算結果對比見圖4。由此可知，當板的厚度增大時，KT已經不適用，而考慮剪切變形的FSDT能夠很好地模擬中厚板彎曲問題，與Ansys軟件的仿真結果也吻合較好。

取寬厚比為10，不同梯度指數(shù)n時板中心撓度ω與橫向均布荷載q的關系見圖5，其中：

q=QEbt4，板材料為AlAl2O3，材料分布服從式（1）的冪函數(shù)規(guī)律，板邊界條件為四邊簡支。由此可知，GFDM能精確地計算基于FSDT的FGM板彎曲問題。

橫向均布載荷的關系

為便于與文獻[20]結果進行比較，選擇邊長L為1 m、寬厚比為5、材料為Al/ZrO2、材料分布服從式（1）的方形板，在q=Ebt4均布載荷下板的無量綱中心變形為;

該板結構在梯度指數(shù)n=1時的彎曲撓度（無量綱化）分布見圖6。以Ansys分析結果為參考解，由式（14）和（15）可得GFDM誤差為R=0.003 7和G=0.012 8?？紤]有限元軟件網格類型和分布具有差異性，該結果可以說明FGM板結構的GFDM計算具有工程應用價值，能夠為相關問題研究提供可靠的數(shù)值參考。

在2種邊界條件下，該圓形FGM板中心變形隨梯度指數(shù)的變化見圖7。當n=0.1時，在2種不同邊界條件下板結構的彎曲效應差別很大;當n≥3.0時，因為2種條件下的結構剛度很大，所以不同邊界條件對結構彎曲效應的影響非常小。

3.3 算例3

4 結 論

本文采用GFDM求解基于1階剪切變形的FGM板的彎曲問題。GFDM是一種新型的強式區(qū)域型無網格離散方法，具有數(shù)學原理簡單、無需網格劃分，以及可數(shù)值積分的優(yōu)點。由本文基準算例可知，GFDM可以有效地求解FGM的中厚板彎曲問題，并且避免處理傳統(tǒng)無網格配點法中常見的病態(tài)稠密矩陣。通過對比可知，本文方法的數(shù)值結果能夠很好地與Ansys軟件仿真結果吻合。綜上所述，無網格GFDM在FGM板彎曲問題中的應用已得到初步驗證，但是否可將該方法應用于更加復雜的結構分析還有待進一步的研究。

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（編輯 章夢）