程順，黃天立，李守文，2，王寧波

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410075；2.中建二局第一建筑工程有限公司，北京，100023)

地震引起的地面運(yùn)動(dòng)加速度不僅受時(shí)變振幅的影響，而且受時(shí)變頻率的影響[1-2]。大量研究表明，地震動(dòng)的時(shí)頻非平穩(wěn)性對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)尤其是非線性反應(yīng)產(chǎn)生重要影響[3-5]。在進(jìn)行復(fù)雜結(jié)構(gòu)的時(shí)程分析中，常常要求采用與設(shè)計(jì)反應(yīng)譜兼容的人工地震動(dòng)作為輸入，因此，研究能反映地震動(dòng)時(shí)頻非平穩(wěn)特性且與反應(yīng)譜兼容的地震動(dòng)模擬方法具有重要意義。為了模擬時(shí)頻非平穩(wěn)特性且與反應(yīng)譜兼容的人工地震波，CACCIOLA[6]將人工地震動(dòng)合成分為2步：第一步由天然地震動(dòng)記錄生成具有時(shí)頻非平穩(wěn)特性的時(shí)程；第二步通過引入糾正隨機(jī)過程使得生成的地震動(dòng)與反應(yīng)譜兼容。該方法引入了隨機(jī)過程，增加了計(jì)算量。曲國巖等[7]通過引入具有統(tǒng)計(jì)參數(shù)的時(shí)頻包線描述地震動(dòng)非平穩(wěn)特性，建立了與反應(yīng)譜兼容的非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬方法，該方法的關(guān)鍵在于如何獲得具有統(tǒng)計(jì)意義的時(shí)頻包線。張郁山等[8]通過增量加速度小波函數(shù)實(shí)現(xiàn)合成地震動(dòng)與反應(yīng)譜擬合，該方法具有較快的收斂速度，但小波函數(shù)的選取具有不確定性。OHSAKI[9]采用相位差譜替代[0，2π]均勻分布的隨機(jī)相位以反映地震動(dòng)頻率非平穩(wěn)的影響。國內(nèi)一些學(xué)者[10-11]對(duì)相位差譜進(jìn)行了深入研究，并模擬生成了人工地震波，但此類方法合成得到的地震動(dòng)時(shí)頻特性與天然地震動(dòng)時(shí)頻特性有較大差別。由此可見，上述反應(yīng)譜兼容的地震動(dòng)合成方法存在難以準(zhǔn)確反映地震動(dòng)時(shí)頻特性或計(jì)算過程復(fù)雜等問題，存在應(yīng)用局限性。自PRIESTLEY[12]提出演變過程理論以來，利用演化譜模擬地震動(dòng)的研究得到很大發(fā)展。LIANG 等[13]由演化譜理論導(dǎo)出非平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬的一個(gè)譜表示方法，按照該方法可直接將樣本過程由余弦級(jí)數(shù)公式計(jì)算。樊劍等[14]分別利用均勻調(diào)制非平穩(wěn)模型和時(shí)變修正Kanai-Tajimi 非平穩(wěn)模型模擬地震波的時(shí)變譜，建立了非平穩(wěn)地震波的合成方法。何浩祥等[15]認(rèn)為小波包分解方法是建立時(shí)變功率譜的有效工具，依據(jù)統(tǒng)一時(shí)頻譜進(jìn)行調(diào)整，人工合成的地震動(dòng)具有較高的精度和較強(qiáng)的非平穩(wěn)性。上述基于演化譜的合成方法未考慮如何使地震動(dòng)與反應(yīng)譜兼容?；谘莼V理論的方法模擬生成人工地震波雖然計(jì)算過程簡(jiǎn)單，但難以獲取能準(zhǔn)確反映地震動(dòng)時(shí)頻特性的時(shí)變譜。Hilbert-Huang 變換(HHT)方法[16]作為一種新的時(shí)頻信號(hào)分析方法，其具有良好的時(shí)頻局部化特性，可以更客觀地估計(jì)地震的時(shí)變譜，從而模擬出時(shí)頻非平穩(wěn)特性且更符合實(shí)際情況的地震動(dòng)時(shí)程。WEN等[17]用HHT變換得到天然地震動(dòng)樣本的Hilbert 譜，建立了非平穩(wěn)隨機(jī)過程合成方法，并且將該方法應(yīng)用于多向量隨機(jī)過程的模擬過程中。LI 等[18]基于Hilbert 譜建立了三向地震動(dòng)的合成方法，通過HHT 變換調(diào)整合成的地震動(dòng)的時(shí)頻特性，可實(shí)現(xiàn)地震動(dòng)時(shí)程的反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜兼容。樓夢(mèng)麟等[19]指出，由HHT 方法中的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EMD)得到的固有模式分量(IMF)是不完全正交的，由此獲得的Hilbert時(shí)頻譜存在能量泄漏問題，進(jìn)而會(huì)影響Hilbert 時(shí)變功率譜的估計(jì)。HUANG 等[20]進(jìn)一步提出了3 種正交化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒凑换疕HT 方法，解決了Hilbert 時(shí)變功率譜估計(jì)中的能量泄漏問題，并給出了其在地震加速度譜分析中的應(yīng)用。胡燦陽等[21]采用正交化HHT 方法，在估計(jì)Hilbert 時(shí)變功率譜的基礎(chǔ)上，提出了基于正交Hilbert 譜模擬非平穩(wěn)隨機(jī)地震動(dòng)的方法。陳清軍等[22]結(jié)合演變譜理論和正交HHT 法的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種能同時(shí)反映強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)特性的地震動(dòng)人工合成方法，但未考慮與反應(yīng)譜的兼容問題。應(yīng)該指出的是，基于演化譜和正交HHT 方法合成的人工地震動(dòng)雖然可以準(zhǔn)確地描述地震動(dòng)的時(shí)頻特性，且計(jì)算簡(jiǎn)單，但未考慮將合成的地震動(dòng)與規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜兼容的問題。為此，本文在陳清軍等[22]提出的基于演化譜和正交HHT 方法合成地震動(dòng)基礎(chǔ)上，通過迭代調(diào)整時(shí)變功率譜，使合成的地震動(dòng)時(shí)程反應(yīng)譜擬合目標(biāo)反應(yīng)譜，提出一種與目標(biāo)反應(yīng)譜兼容的時(shí)頻非平穩(wěn)地震動(dòng)合成方法；以El Centro 地震加速度時(shí)程南北分量作為種子地震動(dòng)時(shí)程，設(shè)計(jì)與目標(biāo)反應(yīng)譜兼容的4 組加速度時(shí)程，分別對(duì)層數(shù)為7層和15 層的2 棟鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性時(shí)程分析，研究地震動(dòng)時(shí)頻非平穩(wěn)特性對(duì)框架結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)的影響規(guī)律。

1 反應(yīng)譜兼容的時(shí)頻非平穩(wěn)地震動(dòng)合成方法

1.1 基于演化譜和正交HHT方法的地震動(dòng)合成

首先選定種子地震動(dòng)時(shí)程，通過HHT 或正交HHT 變換提取其Hilbert 時(shí)頻譜，并根據(jù)Hilbert 時(shí)頻譜估計(jì)其時(shí)變功率譜[21]，即

式中：f(t,wk)為時(shí)變功率譜；H(t,wk)為Hilbert時(shí)頻譜。

將種子地震動(dòng)時(shí)程的時(shí)變功率譜代入基于演化譜理論的非平穩(wěn)地震動(dòng)合成公式[22]，得

式中：x(t)為基于演化譜和正交HHT 方法合成的時(shí)頻非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程；φk為[0,2π]上均勻分布、相互獨(dú)立的隨機(jī)相位角。

1.2 基于解析方法的反應(yīng)譜計(jì)算

田玉基等[10]提出了先計(jì)算位移反應(yīng)譜，進(jìn)而求解加速度反應(yīng)譜的方法，該方法可有效避免結(jié)構(gòu)周期過短情況下積分步長(zhǎng)的選擇問題，使反應(yīng)譜的計(jì)算更加便捷。該反應(yīng)譜的計(jì)算流程簡(jiǎn)述如下。

單自由度結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)a(t)作用下的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：w為結(jié)構(gòu)自振頻率；ζ為結(jié)構(gòu)阻尼比；y，和分別為結(jié)構(gòu)的相對(duì)位移、相對(duì)速度和相對(duì)加速度。

將式(3)改寫成狀態(tài)方程形式：

式(4)的解可寫成如下迭代形式：

式中：A=eK?Δt；D=K-1(A-I)。

將式(5)展開，即可得到結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)時(shí)程及其峰值。對(duì)于不同頻率控制點(diǎn)wi，可以得到其位移響應(yīng)的峰值|yi,max|，即位移反應(yīng)譜Sd(wi)=|yi,max|，進(jìn)一步得到結(jié)構(gòu)的加速度反應(yīng)譜：

1.3 基于時(shí)變功率譜迭代調(diào)整擬合反應(yīng)譜

通過迭代調(diào)整種子地震動(dòng)時(shí)程的時(shí)變功率譜，直到合成的人工地震動(dòng)時(shí)程反應(yīng)譜以一定精度擬合目標(biāo)反應(yīng)譜為止。合成的人工地震動(dòng)時(shí)程與給定的反應(yīng)譜兼容，也準(zhǔn)確地描述了種子地震動(dòng)時(shí)程的時(shí)頻特性。

定義調(diào)整系數(shù)Rj(wi)為n個(gè)頻率控制點(diǎn)wi(i=1，2，…，n)處目標(biāo)反應(yīng)譜STa(wi)與經(jīng)j次調(diào)整后地震動(dòng)時(shí)程的計(jì)算反應(yīng)譜Sja(wi)之比，即

對(duì)n個(gè)頻率控制點(diǎn)wi處的時(shí)變功率譜f j(t,wi)乘以調(diào)整系數(shù)Rj(wi)進(jìn)行迭代調(diào)整，得到調(diào)整后新的時(shí)變功率譜f j+1(t,wi)，即

式中：j表示第j次迭代。

為使合成的地震動(dòng)時(shí)程反應(yīng)譜以一定精度與目標(biāo)反應(yīng)譜擬合，采用式(9)定義的反應(yīng)譜誤差精度E(wk)，即

當(dāng)E(wk)≤ε時(shí)，結(jié)束對(duì)頻率控制點(diǎn)wk處的時(shí)變功率譜調(diào)整(其中，ε為設(shè)定的反應(yīng)譜誤差精度，本文取5%)。

時(shí)變功率譜經(jīng)式(8)調(diào)整后，再采用1.1節(jié)基于演化譜和正交HHT方法合成人工地震動(dòng)，重復(fù)1.2節(jié)和1.3節(jié)的步驟，直至合成人工地震動(dòng)的反應(yīng)譜以一定精度與目標(biāo)反應(yīng)譜吻合，由此得到與目標(biāo)反應(yīng)譜兼容且與種子地震動(dòng)時(shí)程的時(shí)頻特性一致的非平穩(wěn)地震動(dòng)。圖1所示為此調(diào)整時(shí)變功率譜獲得反應(yīng)譜兼容的時(shí)頻非平穩(wěn)地震動(dòng)合成方法流程圖。

圖1 反應(yīng)譜兼容的時(shí)頻非平穩(wěn)地震動(dòng)合成流程Fig.1 flowchart for simulating target response spectrum compatible time-frequency non-stationary ground motions

2 地震動(dòng)時(shí)程方案設(shè)計(jì)及擬合結(jié)果

2.1 種子地震動(dòng)及目標(biāo)反應(yīng)譜確定

選擇1940-05-18 美國加州帝王谷(Imperial Valley)El Centro 臺(tái)站記錄的El Centro 地震加速度時(shí)程南北分量作為種子地震動(dòng)時(shí)程，如圖2(a)所示。圖2(b)所示為基于正交HHT 方法獲取的該地震動(dòng)時(shí)程的正交Hilbert時(shí)頻譜。

圖2 El Centro地震加速度時(shí)程和正交Hilbert時(shí)頻譜Fig.2 Recorded El Centro earthquake accelerogram and its orthogonal Hilbert spectrum

2.2 與目標(biāo)反應(yīng)譜兼容的地震動(dòng)時(shí)程合成

假定某建筑物抗震設(shè)防烈度為7度，場(chǎng)地類別為Ⅱ類，設(shè)計(jì)地震分組為第1 組，考慮罕遇地震作用，根據(jù)GB 50011—2010“建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范”確定目標(biāo)反應(yīng)譜，如圖3所示。

選擇目標(biāo)反應(yīng)譜的80 個(gè)頻率控制點(diǎn)，設(shè)定擬合誤差精度為5%，以El Centro地震動(dòng)加速度時(shí)程作為種子地震動(dòng)，采用圖1所示時(shí)變功率譜迭代調(diào)整方法，使調(diào)整后的地震動(dòng)時(shí)程反應(yīng)譜以設(shè)定的精度擬合目標(biāo)反應(yīng)譜。

圖3 基于El Centro地震加速度調(diào)整的地震動(dòng)時(shí)程及其反應(yīng)譜Fig.3 Adjusted earthquake ground motion and its response spectrum based on El Centro earthquake acceleration

圖3(a)所示為采用El Centro地震加速度作為種子時(shí)程，經(jīng)調(diào)整后的地震動(dòng)時(shí)程，該地震動(dòng)時(shí)程的計(jì)算反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合結(jié)果見圖3(b)。從圖3(b)可以看出：在短周期(0.01～0.10 s)和長(zhǎng)周期(0.40～6.00 s)，調(diào)整后的地震動(dòng)時(shí)程反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜較吻合，擬合效果較好。在中等周期(0.10～0.40 s)范圍內(nèi)，由于地震動(dòng)能量在該分布范圍較弱，可供迭代調(diào)整的數(shù)據(jù)量較少，故調(diào)整后的地震動(dòng)時(shí)程反應(yīng)譜存在“奇點(diǎn)”，經(jīng)過多次調(diào)整之后雖然仍無法收斂，但擬合精度滿足要求。

2.3 輸入地震動(dòng)時(shí)程方案設(shè)計(jì)

為研究地震動(dòng)時(shí)頻非平穩(wěn)特性對(duì)框架結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)的影響，設(shè)計(jì)了4種輸入地震動(dòng)時(shí)程。

1)地震動(dòng)時(shí)程1。采用2.2 節(jié)基于El Centro 地震加速度時(shí)程調(diào)整的地震動(dòng)時(shí)程如圖3(a)所示。

2)地震動(dòng)時(shí)程2。僅考慮地震動(dòng)強(qiáng)度非平穩(wěn)特性，采用式(10)所示三段式強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)在時(shí)域內(nèi)對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程進(jìn)行調(diào)整。

式中：t1和t2分別為地震動(dòng)的振幅上升和下降的起始時(shí)間；T為地震動(dòng)的總持續(xù)時(shí)間；c為峰值衰減系數(shù)。參數(shù)t1和t2分別取El Centro地震加速度記錄的5%和75%Arias 強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的時(shí)間，即t1=6.28 s，t2=16.56 s，峰值衰減系數(shù)c=0.10，采用圖1所示的時(shí)變功率譜迭代調(diào)整方法調(diào)整時(shí)程，使其與目標(biāo)反應(yīng)譜兼容。調(diào)整后的地震動(dòng)時(shí)程如圖4(a)所示，時(shí)程的計(jì)算反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合結(jié)果如圖4(b)所示。

3)地震動(dòng)時(shí)程3。利用HHT方法提取El Centro波的時(shí)頻特性，根據(jù)演化譜理論合成人工地震動(dòng)樣本，并采用圖1所示的時(shí)變功率譜迭代調(diào)整方法調(diào)整時(shí)程，使其與目標(biāo)反應(yīng)譜兼容。調(diào)整后的地震動(dòng)時(shí)程如圖4(c)所示，時(shí)程的計(jì)算反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合結(jié)果如圖4(d)所示。

4)地震動(dòng)時(shí)程4。利用正交HHT 方法提取El Centro波的時(shí)頻特性，根據(jù)演化譜理論合成人工地震動(dòng)樣本，并采用圖1所示的時(shí)變功率譜迭代調(diào)整方法調(diào)整時(shí)程，使其與目標(biāo)反應(yīng)譜兼容。調(diào)整后的地震動(dòng)時(shí)程如圖4(e)所示，時(shí)程的計(jì)算反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合結(jié)果如圖4(f)所示。

2.4 時(shí)程擬合結(jié)果分析

圖3(a)以及圖4(a)，(c)和(e)所示分別為4 種輸入地震動(dòng)方案的時(shí)程曲線。從圖3和圖4可以看出：地震動(dòng)時(shí)程1，3 和4 的波形與El Centro 原始記錄波形相似；而地震動(dòng)時(shí)程2的波形與El Centro原始記錄波形相差較大。圖3(b)及圖4(b)，(d)和(f)所示為4種時(shí)程的計(jì)算反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜擬合結(jié)果，可以看出各時(shí)程的計(jì)算反應(yīng)譜都能與目標(biāo)反應(yīng)譜較吻合。

圖5所示為輸入的4 種地震動(dòng)時(shí)程的正交Hilbert時(shí)頻譜。對(duì)比圖5和圖2(b)所示El Centro原始記錄的正交Hilbert時(shí)頻譜可以發(fā)現(xiàn)：

圖4 輸入的地震動(dòng)時(shí)程及其反應(yīng)譜擬合情況Fig.4 Inputted earthquake ground motions and their calculated response spectra

1)對(duì)El Centro地震波時(shí)變功率譜迭代調(diào)整后，得到與反應(yīng)譜兼容的地震動(dòng)時(shí)程1，其很好地保留了El Centro地震波的時(shí)頻特性。

2)基于三段式強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)生成的僅考慮強(qiáng)度非平穩(wěn)特性的地震動(dòng)時(shí)程2，其能量在時(shí)頻上分布較均勻，主要分布在0～20 s 時(shí)間段和0～5 Hz 頻率段內(nèi)，未能有效地反映El Centro 地震動(dòng)的時(shí)頻非平穩(wěn)特性。

3)采用基于演化譜和HHT、正交HHT方法合成的地震動(dòng)時(shí)程2和4，經(jīng)過時(shí)變功率譜迭代調(diào)整后與反應(yīng)譜兼容，其能量在時(shí)頻上的分布與El Centro地震動(dòng)的時(shí)頻分布較相似，這2種時(shí)程均很好地保留了原始地震動(dòng)的時(shí)頻非平穩(wěn)特性。

圖5 輸入4種地震動(dòng)時(shí)程的正交Hilbert時(shí)頻譜Fig.5 Orthogonal Hilbert spectra of four kinds of inputted earthquake ground motions

3 框架結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)分析

為研究地震動(dòng)時(shí)頻非平穩(wěn)特性對(duì)框架結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)的影響，選擇層數(shù)為7層和15層的2棟鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，輸入上述4種地震動(dòng)時(shí)程，對(duì)結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程進(jìn)行分析。

3.1 結(jié)構(gòu)模型

模型1為3跨7層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，模型2為5跨15層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，其立面如圖6所示。模型1 和模型2 的底層框架柱截面長(zhǎng)×寬為600 mm×600 mm，其余框架柱截面長(zhǎng)×寬均為500 mm×500 mm，框架梁截面長(zhǎng)×寬均為300 mm×500 mm，現(xiàn)澆板厚度為120 mm。框架結(jié)構(gòu)的柱、梁和板的混凝土強(qiáng)度等級(jí)皆為C40，樓面、屋面恒載為4 kN/m2，樓面、屋面活載為2 kN/m2。模型1和模型2的前4階周期和自振頻率如表1所示。

3.2 非線性時(shí)程分析結(jié)果

采用SAP2000 軟件建立框架有限元模型，將上述4種地震動(dòng)時(shí)程作為輸入，分別對(duì)2個(gè)模型進(jìn)行非線性時(shí)程分析，并對(duì)模型的樓層最大位移和層間位移進(jìn)行比較分析。

特別地，以地震動(dòng)時(shí)程1作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，定義地震動(dòng)時(shí)程2，3，4 與時(shí)程1作用下的結(jié)構(gòu)各樓層層間位移相對(duì)誤差δi(i=2,3,4)，即

式中：Di為第i個(gè)地震動(dòng)時(shí)程作用下框架結(jié)構(gòu)層間位移；D1為地震動(dòng)時(shí)程1 作用下框架結(jié)構(gòu)層間位移。

3.2.1 模型1

圖7所示為4 種地震動(dòng)作用下，模型1 的樓層最大位移曲線。從圖7可以看出：

圖6 模型1和模型2的立面布置圖Fig.6 Elevation layout of model 1 and model 2

表1 模型1和模型2的前4階周期和自振頻率Table 1 The first four periods and natural frequencies of model 1 and model 2

1)在4 種地震動(dòng)時(shí)程作用下，隨著樓層數(shù)增加，結(jié)構(gòu)的樓層最大位移增加，且各曲線之間的差距也不斷增加，差距在頂層達(dá)到最大值。

2)地震動(dòng)時(shí)程2作用下結(jié)構(gòu)的樓層最大位移響應(yīng)總體上比地震動(dòng)時(shí)程1 作用下的最大位移響應(yīng)小，其頂層最大位移比地震動(dòng)時(shí)程1作用下的頂層最大位移小5.34%；地震動(dòng)時(shí)程3 和4 作用下結(jié)構(gòu)的頂層最大位移比地震動(dòng)時(shí)程1作用下的頂層最大位移分別增大4.16%和2.82%；地震動(dòng)時(shí)程4 作用下結(jié)構(gòu)的樓層最大位移與基準(zhǔn)值最接近，由此表明在基于正交HHT 方法合成的地震動(dòng)時(shí)程與天然地震動(dòng)時(shí)程作用下，框架結(jié)構(gòu)樓層的最大位移響應(yīng)較一致。

圖7 4種地震動(dòng)作用下模型1的樓層最大位移曲線Fig.7 The maximum floor displacement curves of model 1 under action of inputted four earthquake ground motions

圖8所示為4 種地震動(dòng)作用下，模型1 的各樓層層間位移曲線；表2所示為4種地震動(dòng)作用下模型1的1～4層層間位移及地震動(dòng)時(shí)程2，3和4與地震動(dòng)時(shí)程1作用下1～4層層間位移相對(duì)誤差。從圖8和表2可以看出：

1)在4種地震動(dòng)作用下，隨著樓層數(shù)增加，層間位移均出現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，其中第2層層間位移最大，由此可推斷模型1 的第2 層為薄弱層，這與結(jié)構(gòu)第2層柱截面面積減小是一致的。

表2 模型1第1～4層層間位移和相對(duì)誤差Table 2 Interlayer displacements and relative errors from the 1st to 4th floor of model 1

圖8 4種地震動(dòng)作用下模型1的各樓層層間位移曲線Fig.8 Interlayer displacement curves of model 1 under action of inputted four earthquake ground motions

2)在4種地震動(dòng)作用下，結(jié)構(gòu)各層間位移均呈現(xiàn)以下規(guī)律，即時(shí)程3、時(shí)程4、時(shí)程1和時(shí)程2的位移依次減小。在地震動(dòng)時(shí)程2作用下，各層間位移最小，其原因在于地震動(dòng)時(shí)程2僅考慮了強(qiáng)度非平穩(wěn)特征，未考慮頻率非平穩(wěn)特性。由此可見，在結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程分析中，忽視輸入地震動(dòng)時(shí)程的頻率非平穩(wěn)特性可能會(huì)低估天然地震動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。

3)在4種地震動(dòng)作用下，結(jié)構(gòu)1～4層的層間位移誤差峰值出現(xiàn)在第3層即薄弱層附近；隨著樓層增加，各層層間位移誤差逐漸縮小。其中，地震動(dòng)時(shí)程2的各樓層層間位移相對(duì)誤差最大，最大值為-7.43%；地震動(dòng)時(shí)程4的各樓層層間位移相對(duì)誤差最小，最大值為4.30%；時(shí)程3 的各樓層層間位移相對(duì)誤差介于地震動(dòng)時(shí)程2和4的位移相對(duì)誤差之間，最大值為6.66%。在地震動(dòng)時(shí)程4 和1 作用下，計(jì)算得到的樓層層間位移最接近，由此表明基于正交HHT 方法合成的地震動(dòng)能更準(zhǔn)確地反映天然地震動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)的影響。

3.2.2 模型2

圖9所示為4 種地震動(dòng)作用下，模型2 的樓層最大位移曲線。從圖9可以看出：

圖9 4種地震動(dòng)作用下模型2的樓層最大位移曲線Fig.9 The maximum floor displacement curves of model 2 under action of inputted four earthquake ground motions

1)在4種地震動(dòng)作用下，隨著樓層數(shù)增加，各樓層最大位移迅速增加；在地震動(dòng)時(shí)程1 作用下，模型2 頂層位移為177.42 mm。由此可見，對(duì)于高層建筑結(jié)構(gòu)，為滿足建筑結(jié)構(gòu)的功能要求和適用性，控制頂層位移至關(guān)重要。

2)地震動(dòng)時(shí)程2 作用下的位移最小，為156.48 mm，比地震動(dòng)時(shí)程1 作用下的位移小11.80%；在地震動(dòng)時(shí)程3和4作用下，結(jié)構(gòu)的頂層位移均大于地震動(dòng)時(shí)程1作用下結(jié)構(gòu)頂層位移。在地震動(dòng)時(shí)程4作用下，結(jié)構(gòu)的頂層位移與基準(zhǔn)值最接近。對(duì)比圖7和圖9可以看出：模型2 中地震動(dòng)時(shí)程2，3 和4 作用下的頂層位移與基準(zhǔn)值的偏差均比模型1中對(duì)應(yīng)的偏差要大，時(shí)程2，3和4與基準(zhǔn)值的偏差都隨著樓層數(shù)的增加而增大。

圖10所示為4種地震動(dòng)作用下，模型2的各樓層層間位移曲線，表3所示為4 種地震動(dòng)作用下，模型2第1～8層層間位移及地震動(dòng)時(shí)程2，3和4與地震動(dòng)時(shí)程1作用下的層間位移相對(duì)誤差。從圖10和表3可以看出：

表3 模型2第1～8層層間位移和相對(duì)誤差Table 3 the interlayer displacements and the relative errors from the 1st to 8th floor of model 2

圖10 4種地震動(dòng)作用下模型2的各樓層層間位移曲線Fig.10 Interlayer displacement curves of model 2 under action of inputted four earthquake ground motions

1)在4種地震動(dòng)作用下，模型2的各樓層層間位移隨層數(shù)的增加呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，其中，第4 層層間位移最大，可推斷模型2 的第4 層為薄弱層。

2)在4種地震動(dòng)時(shí)程作用下，隨著樓層層數(shù)增加，地震動(dòng)時(shí)程2，3 和4 的各樓層層間位移與基準(zhǔn)值的相對(duì)誤差也呈現(xiàn)先增大再減小的趨勢(shì)，并且在薄弱層達(dá)到最大值。其原因是：結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性后，地震動(dòng)的時(shí)頻非平穩(wěn)特性對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響更加顯著，合成的地震動(dòng)與天然地震動(dòng)之間的時(shí)頻特性仍存在差別，這種差別因結(jié)構(gòu)在地震作用下產(chǎn)生局部破壞，材料進(jìn)入非線性而被放大。其中，在地震動(dòng)時(shí)程4作用下，樓層層間位移與基準(zhǔn)值的相對(duì)誤差最小，為12.37%，這是由于基于正交HHT 方法合成的地震動(dòng)時(shí)程，其時(shí)頻非平穩(wěn)特性與天然地震動(dòng)記錄更接近。

圖11所示為模型1和模型2的1～7層的層間位移與基準(zhǔn)值的相對(duì)誤差絕對(duì)值。從圖11可以看出：隨著樓層層數(shù)增加，地震動(dòng)時(shí)程2，3 和4 與地震動(dòng)時(shí)程1作用下的樓層層間位移相對(duì)誤差增大；模型1 和模型2 中，地震動(dòng)時(shí)程2 作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)均小于地震動(dòng)時(shí)程1作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)，其原因在于地震動(dòng)時(shí)程2僅考慮了強(qiáng)度非平穩(wěn)特征，未考慮頻率非平穩(wěn)特性。因此，在結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程分析中，輸入的地震動(dòng)僅考慮強(qiáng)度非平穩(wěn)特征，會(huì)低估實(shí)際地震動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，隨著建筑高度增加，這種頻率非平穩(wěn)特性對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響被放大。

圖11 模型1和模型2第1～7層層間位移相對(duì)誤差絕對(duì)值曲線Fig.11 Absolute values of relative error from the 1st to the 7th floor of model 1 and model 2

4 結(jié)論

1)基于演化譜和正交HHT 方法的地震動(dòng)合成方法，通過迭代調(diào)整時(shí)變功率譜，提出了一種與目標(biāo)反應(yīng)譜兼容的地震動(dòng)合成方法。由該方法合成的地震動(dòng)時(shí)程中，不僅其計(jì)算反應(yīng)譜以一定精度擬合目標(biāo)反應(yīng)譜，而且其時(shí)頻特性與種子地震動(dòng)時(shí)程的時(shí)頻特性基本一致。

2)基于正交HHT 方法合成的人工地震動(dòng)能更好地描述天然地震動(dòng)的時(shí)頻特性，且框架結(jié)構(gòu)在其作用下的響應(yīng)與天然地震動(dòng)作用下的響應(yīng)最接近。

3)在結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程分析中，基于強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)生成的人工地震動(dòng)時(shí)程由于僅考慮了強(qiáng)度非平穩(wěn)特性，未考慮地震動(dòng)的頻率非平穩(wěn)特性，故存在低估結(jié)構(gòu)響應(yīng)的問題。因此，采用合成人工地震動(dòng)作為地震輸入時(shí)，應(yīng)考慮地震動(dòng)的頻率非平穩(wěn)特性，以確保結(jié)構(gòu)安全。