李興國，申 同，侯鵬斐，金 寬，陳云龍

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

牙本質(zhì)是牙齒的主要組成部分，對于人的咀嚼等日?；顒佑兄匾饔?。由于牙本質(zhì)有著特殊的微觀結(jié)構(gòu)，其力學(xué)性能隨著牙本質(zhì)的深度發(fā)生變化。這也是為什么老年人的牙齒顯得透明的緣故。因此研究牙本質(zhì)力學(xué)性能隨著牙本質(zhì)深度的變化對于臨床治療具有重要的意義。

由于牙本質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜以及可制作試樣尺寸很小，采用傳統(tǒng)的測試方法很難表征其梯度力學(xué)性質(zhì)，因此大量的研究采用壓痕法測量牙本質(zhì)及牙釉質(zhì)的力學(xué)性能[1-3]。徐遠志等[4]采用納米壓痕法測量了人牙本質(zhì)的硬度和彈性模量，發(fā)現(xiàn)牙本質(zhì)的硬度和彈性模量與壓痕點與牙髓腔的距離有很強的相關(guān)性。此外牙冠部牙本質(zhì)在釉牙本質(zhì)界面附近硬度和彈性模量會減小[5]。

牙本質(zhì)的非線性力學(xué)性能如塑性及損傷性能也非常重要，采用傳統(tǒng)的實驗的方法很難測量。而采用數(shù)值模擬可以很方便的研究牙本質(zhì)的塑性及損傷性能。An等[6]的采用數(shù)值模擬的方法研究了牙釉質(zhì)的力學(xué)性能，發(fā)現(xiàn)牙釉質(zhì)的塑性性能和彈性性能一樣具有明顯的梯度力學(xué)性質(zhì)。然而該方法采用理想彈塑性模型不能很好的擬合卸載曲線的最后階段。這是由于未考慮到壓痕載荷作用下的壓痕點附近材料發(fā)生損傷的情況[7]。然而關(guān)于牙本質(zhì)的塑性和損傷力學(xué)性能是否也和牙釉質(zhì)類似具有梯度力學(xué)性質(zhì)，尚未見諸報道。

本文通過數(shù)值模擬研究牙本質(zhì)距離牙髓腔不同區(qū)域的塑性及損傷力學(xué)性質(zhì)，探討這種影響對牙齒功能的影響。本文建立了在牙本質(zhì)納米壓痕作用下的塑性損傷模型，研究牙本質(zhì)的塑性力學(xué)性能和損傷力學(xué)性能，闡述牙本質(zhì)所在區(qū)域?qū)ρ辣举|(zhì)力學(xué)性質(zhì)的影響。

1 數(shù)值模型

1.1 模型的建立

采用壓痕法測試時，壓痕點附近的材料應(yīng)力非常復(fù)雜，因此很難獲得相應(yīng)的材料的力學(xué)參數(shù)。本文采用數(shù)值模擬的方法模擬牙本質(zhì)的納米壓痕測試來研究牙本質(zhì)的非線性力學(xué)性能。采用納米壓痕測試牙本質(zhì)力學(xué)性能時，其加載曲線和的卸載曲線不重合，表明牙本質(zhì)發(fā)生了塑性變形。此外卸載的最后階段，牙本質(zhì)的剛度顯著低于卸載的初始階段。由此可證明牙本質(zhì)發(fā)生了損傷。本文通過建立塑性損傷的數(shù)值模型，研究納米壓痕實驗過程中牙本質(zhì)的塑性及損傷力學(xué)性能。由于牙本質(zhì)和皮質(zhì)骨材料都是由礦物質(zhì)和蛋白質(zhì)組成，具有相似的微觀結(jié)構(gòu)，而皮質(zhì)骨是一種典型的粘聚-摩擦材料，采用Drucker-Prager屈服模型可以很好的描述其屈服行為。本文采用雙曲型的Drucker-Prager屈服函數(shù)f來描述牙本質(zhì)的塑性變形。

(1)

α=(σb0/σc0-1)/(2σb0/σc0-1)

(2)

β=

(3)

牙本質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系可以表示為：

(4)

Cijkl=Mδijδkl+G(δikδjl+δilδjk)

(5)

其中M和G是Lame常數(shù)，δij為Kronecker delta符號。塑性應(yīng)變率通過流動法則來確定：

(6)

(7)

塑性勢f為:

(8)

其中φ是膨脹角。

圖1為本模型在受到單軸壓縮時的應(yīng)力應(yīng)變曲線示意圖，由圖可知，材料在屈服之后發(fā)生損傷。

圖1 塑性損傷模型的在單軸壓縮作用下的應(yīng)力應(yīng)變曲線示意圖

在本數(shù)值模型中，牙本質(zhì)彈性模量由納米壓痕實驗得到；其屈服強度通過數(shù)值模擬擬合實驗所測量得到的載荷與壓入深度曲線得到，先前的研究表明這種擬合方法在確定生物材料力學(xué)性質(zhì)時非常有效。本模型中，牙本質(zhì)的彈性模量和屈服強度如表1所示。其他參數(shù)選取v=0.3；σb0/σc0=1.125，φ=15°.由于在納米壓痕加載過程中材料發(fā)生的損傷主要由壓應(yīng)力引起，本文中牙本質(zhì)的損傷由壓力引起的等效塑性應(yīng)變來表征。牙本質(zhì)損傷D為：

表1 數(shù)值模型參數(shù)[4]

D=p(1-e-qεp)

(9)

參數(shù)p和q通過數(shù)值計算擬合實驗測得的載荷與壓入深度曲線得到。本模型中分別為0.9和5.

1.2 有限元分析

在本數(shù)值模型中，納米壓痕測試時的Berkovich壓頭簡化為半頂角70.3°的圓錐壓頭，由于實驗過程中壓頭變形極小，為簡化計算設(shè)置壓頭為剛體[6-7]。并假定牙本質(zhì)與壓頭無摩擦接觸[8-9]。由于簡化后壓頭為圓錐形具有軸對稱性，結(jié)合實驗的加載過程可將模型簡化為軸對稱模型。牙本質(zhì)材料模型選擇塑性損傷模型，加載方式與納米壓痕實驗過程相同選擇力加載方式。分別模擬三個區(qū)域的牙本質(zhì)的納米壓痕測試。在本模型中，采用24 764個四節(jié)點雙線性軸對稱單元(CAX4R，ABAQUS 6.10-1)對牙本質(zhì)進行離散，離散網(wǎng)格如圖2所示。

圖2 有限元模型

2 結(jié)果

本文建立的牙本質(zhì)塑性損傷數(shù)值模型所得的數(shù)值結(jié)果與實驗吻合得很好。圖3是數(shù)值模擬和實驗對比的結(jié)果。由圖3可知，采用塑性損傷模型不僅可以描述了卸載階段與加載階段曲線不重合現(xiàn)象，并且材料在卸載階段剛度出現(xiàn)下降也能很好的體現(xiàn)出來。說明塑性損傷模型可以很好的描述壓痕作用下牙本質(zhì)的力學(xué)行為。

圖3 牙本質(zhì)的納米壓痕實驗曲線與數(shù)值模擬結(jié)果

由數(shù)值模擬得到牙本質(zhì)從內(nèi)層到外層的屈服強度分別為35 MPa、49 MPa和50 MPa.結(jié)果表明內(nèi)層牙本質(zhì)的屈服強度低于中層和外層牙本質(zhì)的屈服強度。

圖4 外層牙本質(zhì)的載荷壓入深度曲線

數(shù)值模擬不僅描述了卸載曲線與加載曲線不重合現(xiàn)象，而且還準確描述了卸載過程中的剛度降低現(xiàn)象。這證明該數(shù)值模型能夠有效描述在壓痕作用下的力學(xué)行為。圖5表明與壓頭接觸區(qū)域的牙本質(zhì)受到損傷最嚴重。并且隨著牙本質(zhì)深度的增加，損傷加重。

圖5 納米壓痕作用下牙本質(zhì)在內(nèi)層、中層質(zhì)和外層區(qū)域的損傷分布

3 討論

本文建立了牙本質(zhì)的塑性損傷力學(xué)模型并研究了在壓痕載荷作用下其塑性及損傷力學(xué)性質(zhì)，分析其力學(xué)性能隨牙本質(zhì)深度的變化。牙本質(zhì)的納米壓痕實驗結(jié)果表明，中層和外層牙本質(zhì)的抵抗變形能力高于內(nèi)層牙本質(zhì)抵抗變形的能力。這與本文數(shù)值模擬預(yù)測的牙本質(zhì)屈服強度隨牙本質(zhì)深度的變化是一致的。即內(nèi)層牙本質(zhì)屈服強度低與中層和外層牙本質(zhì)的屈服強度。此外在相同載荷作用下，中外層牙本質(zhì)更不容易發(fā)生損傷。壓痕實驗過程中牙本質(zhì)剛度下降是由于牙本質(zhì)發(fā)生損傷，這種損傷是以其內(nèi)部的微裂紋為主要形式的微損傷[10]。當(dāng)牙本質(zhì)受到外載荷作用時，這些微裂紋萌生于牙本質(zhì)小管附近，然后發(fā)生擴展。而牙本質(zhì)小管之間的管間牙本質(zhì)可顯著減少這些微裂紋的擴展。因此牙本質(zhì)小管的微觀結(jié)構(gòu)對損傷力學(xué)性能影響很大。而先前的研究表明：內(nèi)層牙本質(zhì)小管的直徑和密度大于中層和外層牙本質(zhì)小管的直徑和密度。例如外層牙本質(zhì)小管直徑和密度約為0.9 μm和20 000 tubules/mm2，而在靠近牙髓腔處約為2.5μm 和45 000 tubules/mm2[11].這就解釋了中層及外層牙本質(zhì)更易抵抗損傷。

牙本質(zhì)的這種力學(xué)性質(zhì)與其功能有關(guān)。作為牙齒中體積分數(shù)最大的部分，其具有充當(dāng)牙釉質(zhì)基底的作用，并且可有效保護牙髓腔不受外界刺激。當(dāng)牙齒受到外載荷作用時，載荷作用在牙釉質(zhì)上并將其傳遞給牙本質(zhì)。而外層的牙釉質(zhì)具有很高的剛度，處于外層的牙本質(zhì)需要較大的剛度減小牙釉質(zhì)的變形。

牙本質(zhì)在納米壓痕實驗結(jié)果表明，其在卸載的初始階段和最后階段剛度出現(xiàn)明顯的下降。以外層牙本質(zhì)為例，其在卸載的初始和最后階段的接觸剛度分別為88.2 μN/nm和5.1 μN/nm.即在卸載過程中接觸剛度下降約90%.本文建立的塑性損傷模型可以很好的解釋這種現(xiàn)象。如圖6所示，在壓痕實驗測試卸載初始階段與最后階段，壓頭與牙本質(zhì)的接觸半徑比值為3∶1，即接觸面積比約為9∶1.而圖5表明損傷主要發(fā)生在壓頭壓入點附近。當(dāng)壓頭和牙本質(zhì)接觸面較大時，即卸載的初始階段損傷對剛度的影響比較小，而在卸載的最后階段，其接觸面很小，接觸處的損傷都比較大，此時計算的剛度可認為是牙本質(zhì)發(fā)生損傷后的剛度。Berkovich壓頭的納米壓痕測試彈性模量為:

圖6 納米壓痕測試(a)卸載初始時刻與(b)卸載結(jié)束時刻壓頭與試樣的接觸狀態(tài)

(10)

根據(jù)公式(10)，計算可得牙本質(zhì)在卸載最后階段的彈性模量是其在卸載初始階段計算彈性模量的15%～20%，這與壓頭附近的損傷最大值約為0.8一致。