趙少云，陳紹鋒

（南寧市第二中學 廣西 南寧 530029）

1 引言

萬有引力定律在雙星和三星系統(tǒng)中的應用，是高考和物理競賽中常見的考點。這部分內(nèi)容涉及到天體力學的基礎(chǔ)知識和基本研究方法，如果引導高中物理特長生研究三星系統(tǒng)規(guī)律，既可以提高他們的分析推理能力，還可以提升他們對天體力學的興趣，為國家儲備更多的理論研究人才，是一件非常有意義的事情。

有這么一道物理競賽題，題目是：有的三星系統(tǒng)由兩個質(zhì)量為m的小星體和質(zhì)量為M的大星體組成，兩個小星體在同一圓形軌道上運行，軌道半徑為r。引力常量為G，試說明三個星體的相對位置并求出小星體的運行周期。1該題目的一種解答是：

如圖1，大星體在軌道中心，兩個小星體保持在軌道的同一條直徑上繞大星體運行。小星體運動所需的向心力由大星體和另一個小星體對它的萬有引力F1和F2提供。根據(jù)萬有引力定律、牛頓第二定律和圓周運動公式有：

圖1 兩小星體在同一直徑繞位于圓心的大星體運行

筆者認為，這是一道考查中學生解題能力的好題，而且還可以進一步思考以下問題：

（1）若M不是靜止的而是運動的，三者還能保持一定的距離嗎？

（2）如果三星的質(zhì)量不相等，結(jié)論是否有變化？

2 孤立的三星系統(tǒng)的模型

2.1 穩(wěn)定的三星系統(tǒng)應滿足的條件

天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。這些雙星大多遠離其他星體，而且其中每個星體的線度都遠小于兩星體間的距離。我們暫且把僅在萬有引力作用而保持相對位置不變的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)內(nèi)的兩顆恒星在對方的萬有引力作用下，繞它們連線上某點做勻速圓周運動，而該點其實就是雙星系統(tǒng)的質(zhì)心。因為，兩個星體只有繞著它們的質(zhì)心做勻速圓周運動，保持到該點的距離不變，才可以使雙星的質(zhì)心在系統(tǒng)內(nèi)的相對位置不變，這樣的雙星系統(tǒng)才是穩(wěn)定的系統(tǒng)。

同樣，假若雙星系統(tǒng)中再增加一顆星體就可組成三星系統(tǒng)，只要滿足其中每個星體的線度都遠小于任意兩星體間的距離，且都遠離其他星體，該系統(tǒng)就是一個孤立的系統(tǒng)。穩(wěn)定的三星系統(tǒng)應該滿足這樣的條件：系統(tǒng)內(nèi)的任何一個星體在其他兩星的萬有引力作用下繞著系統(tǒng)的質(zhì)心做勻速圓周運動；保持三星的質(zhì)心在系統(tǒng)內(nèi)的相對位置不變。

2.2 由兩個質(zhì)量相等的小星體和一個大星體組成的三星系統(tǒng)模型

本文開始提到的那道競賽題答案中所提供的三星模型確實是穩(wěn)定三星系統(tǒng)的模型之一。在這個模型中，兩個小星體的質(zhì)量相同，所以大星體所在位置即是三星系統(tǒng)的質(zhì)心位置，兩小星體到質(zhì)心的距離相同，故做勻速圓周運動的半徑也相同，他們可在同一個圓形軌道上運行。但是，很明顯，這不是三星系統(tǒng)的唯一模型，三個星體只要圍繞著它們的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)即可維持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以三星可以不在同一條直線上，而應該可以分別位于三角形的三個頂點上。因題中要求兩個小星體在同一個圓形軌道上運轉(zhuǎn)，即它們的軌道半徑相同，這就要求兩個小星體到質(zhì)心的距離相同，這至少要求這個三角形是一個等腰三角形，大星體位于該等腰三角形頂角的頂點上。如圖2 所示。

圖2 假設(shè)三星組成任意底角的等腰三角形

我們似乎可以得出這樣的結(jié)論：這樣的三星系統(tǒng)可以組成任意底角的等腰三角形，底角的大小由M和m的比例關(guān)系決定。我們不妨假設(shè)這個結(jié)論是正確的，在此前提之下尋找底角和三星質(zhì)量大小的關(guān)系。

如圖3 所示，設(shè)三個星體分別位于等腰三角形ABD的三個頂點上（M位于A點，兩m分別位于B點和D點上）。因兩小星體的質(zhì)量相等，所以兩個m的質(zhì)心在BD邊的中點E處，故三星的質(zhì)心C應位于BD邊的垂直平分線AE上，如圖。設(shè)兩個小星體間的萬有引力為F1，小星體和大星體間的萬有引力為F2，小星體所受的萬有引力的合力為Fm；三角形ABD的兩個底角為θ，F(xiàn)m與底邊的夾角為α；底邊BD的長為2a，兩小星體的軌道半徑為r，大星體的軌道半徑為R，即BC=DC=r，AC=R。

圖3 質(zhì)心C 位于兩小星體連線的垂直平分線上

由萬有引力定律得：

Fm的方向為：

把(1)(2)代入(3)整理得：

因為C為三星的質(zhì)心，由質(zhì)心公式可得：

所以得：

又由于CE=AE-AC=a·tanθ-R，所以再由質(zhì)心公式可得：

從(7)式中可解出：

把(8)式代入(6)式可把R消去：

而Fm是小星體做勻速圓周運動所需的向心力，必然指向質(zhì)心C，所以∠CBD=α，即式⑷=⑼，則：，整理得：，所以，即θ=600。

以上證明過程中，M、m和a均是任意的，所以這個結(jié)果表明，由兩個質(zhì)量相等的小星體和一個大星體組成的三星系統(tǒng)所圍的三角形是一個等邊三角形，而不是底角任意的等腰三角形。

2.3 任意質(zhì)量關(guān)系的三星系統(tǒng)模型

2.3.1 模型一

我們可以進一步推想，以上這個特殊的結(jié)論是否是由于系統(tǒng)內(nèi)有兩個星體的質(zhì)量相等才造成的？如果是這樣，那么當三星的質(zhì)量都不同時，是否會組成一個任意的三角形呢？我們也不妨假設(shè)這個猜想是正確的，在此前提之下來尋找這個任意三角形的三個角與三星的質(zhì)量間的關(guān)系。

如圖4 所示，設(shè)三個星體分別位于任意三角形ABD的三個頂點上（m1位于A點，m2位于B點，m3位于D點）；設(shè)∠ABD=θ，∠ADB=φ。過A點作BD邊的垂線交BD于O點，以O(shè)點為原點，BD方向為x方向，OA方向為y方向建立直角坐標系xOy。設(shè)AO=a，則A點的坐標為（0，a）；因為BO=a/tanθ，DO=a/tanφ，所以B點和D點的坐標分別為（-a/tanθ，0）和（a/tanφ，0）。

圖4 假設(shè)三星質(zhì)量都不同時組成一個任意的三角形

設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)心為C，其坐標為（xC，yC），則由質(zhì)心的公式可得：

設(shè)CB連線與x軸正向夾角為α，CD連線與x軸負向夾角為β，則由幾何關(guān)系得：

把(10)(11)式和B、D兩點坐標代入(12)式整理可得：

由萬有引力定律可得m1和m3對m2的引力分別為：。因為m2繞質(zhì)心C做勻速圓周運動所需的向心力由F12和F32的合力來提供，所以F12和F32的合力F2一定沿著BC連線指向C，即F2的方向與x軸正向的夾角也為α，則：。整理得：

同樣，也可以根據(jù)⒀式和m3所受的萬有引力導出與⒃式對稱的式子：

對比(16)和(17)式可知θ=φ，并由此解出：cosθ=1/2，所以θ=φ=600。

因為以上推導所用三星質(zhì)量和a均是任意的，所以可以得出一個普遍的規(guī)律：即任意質(zhì)量關(guān)系的三星系統(tǒng)所圍的三角形也是等邊三角形，而不會是任意三角形。

2.3.2 模型二

當然，三星也可以不圍成一個等邊三角形，還有另一種簡單的模型，就是三星排成一條直線，中間一顆星剛好在旁邊兩星的質(zhì)心上，兩星圍繞著中間星體做勻速圓周運動，如圖5 所示。

圖5 三星排成一條直線

3 孤立的三星系統(tǒng)的運動規(guī)律

3.1 模型一

3.1.1 運轉(zhuǎn)周期

通過以上推導，可以推斷，在模型一中，三星繞它們的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的周期應由三星的質(zhì)量關(guān)系和它們所圍的等邊三角形的邊長來決定，我們同樣也可以通過萬有引力定律和幾何關(guān)系推出周期公式。

設(shè)三星的質(zhì)量分別為m1、m2和m3，它們分別位于邊長為a的等邊三角形ABD的三個頂點上，如圖6。用E表示m2和m3的質(zhì)心，則由質(zhì)心的定義可得：，

圖6 任意質(zhì)量的三星分別位于等邊三角形的三個頂點

由余弦定理得：AE2=AB2+BE2-2AB·BEcos600=。

用C表示m1、m2和m3的質(zhì)心，則C在AE上，設(shè)m1、m2和m3繞C做勻速圓周運動的軌道半徑分別為r1、r2和r3，則有：

同理可得：

根據(jù)萬有引力定律得m2和m3對m1的引力分別為：

F21和F31的合力F1的作用線一定過質(zhì)心C，其大小為：，把(21)式代入上式可得：

同理，m2和m3所受引力的合力F2和F3的作用線也一定過質(zhì)心C，大小分別為：

設(shè)三星繞質(zhì)心做勻速圓周運動的角速度為ω，由牛頓第二定律可得：F1=m1ω2r1

把(18)和(22)式代入上式解出ω：

則周期為：

可見，三星的運轉(zhuǎn)周期由三星的質(zhì)量之和與邊長的立方的比值決定。

3.1.2 線速度關(guān)系

由(18)(19)(20)式和公式v=rω可得三星的線速度之比為：

3.2 模型二

3.2.1 運轉(zhuǎn)周期

如圖5 所示，設(shè)m1和m2之間的距離為L，m3位于質(zhì)心C上，m1和m2的軌道半徑分別為r1和r2，它們繞m3旋轉(zhuǎn)的角速度為ω。由萬有引力定律可得m1和m3對m2的引力分別為：

由牛頓第二定律得：F2=F12+F32==m2ω2r2

上式經(jīng)整理得：

由質(zhì)心公式可得：

把(30)式代入(29)式，解出角速度得：

則周期為：

3.2.2 線速度關(guān)系

再由(30)式和公式v=ωr可得m1和m2的線速度之比為：v1:v2=r1:r2=m2:m1

4 三星系統(tǒng)的特例

4.1 特例一

本文開頭所提到的那道競賽題，所涉及到的是三星系統(tǒng)中較特殊的一種，即其中兩星的質(zhì)量相等。由以上討論可知，質(zhì)量相等的兩星軌道半徑一定相同，也一定會在同一個圓形軌道上繞系統(tǒng)的質(zhì)心運行。這樣的三星系統(tǒng)模型應該有兩種，一種就是原題中答案所提供的模型，即本文所提到的三星模型二；另一種應該是三星圍成一個等邊三角形的模型一，如圖7 所示。

圖7 三星圍成一個等邊三角形

根據(jù)上面第(32)式，把m1=m2=m，m3=M，L=2r代入該式，就可以得到題中的答案：。

而把m1=m2=m，m3=M，r1=r2=r代入⒅式可得：a=，再把該式代入(26)式，即可得該題的另一個答案：。

4.2 特例二

假若三星的質(zhì)量均相同，即m1=m2=m3=m，則當三星排成一條直線時，其周期公式為：，而當三星圍成一個等邊三角形時，三星圍繞該等邊三角形的中心，即三星的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，如圖8 所示，其周期公式為：。

圖8 三星圍成一個等邊三角形且繞三角形的中心旋轉(zhuǎn)