劉新和，鄭頂偉，陳占和

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530004)

下面引入奇點(diǎn)、奇線以及廣義二重積分收斂性的定義。

設(shè)D為平面上的一個(gè)有界區(qū)域，點(diǎn)P0∈D。若f(x,y)在D{P0}上有定義，但在P0的任意的去心鄰域內(nèi)無界，則稱P0為f(x,y)的奇點(diǎn)。設(shè)γ為D內(nèi)含有P0的面積為0的閉曲線。若函數(shù)f(x,y)在Dγ有定義，但在任意包含曲線γ的區(qū)域上無界，則稱γ為f(x,y)的奇線。

記Dε,δ={(x,y)|0≤x≤ε, 0≤y≤δ}，則

下面討論2014年全國(guó)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)(三)第12題及其參考答案。

對(duì)任意的δ>0，令D1={(x,y)|0≤x<δ, 0≤y≤x}，D2={(x,y)|δ≤y≤1,y≤x≤1}，D3={(x,y)|δ≤x≤1,0≤y<δ}，則o(0,0)∈D1且DD1=D2∪D3。

由積分第一中值定理可得

這是某高校高等數(shù)學(xué)期末考試中的一個(gè)考察二重積分的計(jì)算題，參考答案為：

由對(duì)稱性可以得到

作為考察輪換對(duì)稱性的期末考試試題，要避免出現(xiàn)奇點(diǎn)或奇線的問題。

由輪換對(duì)稱性可得

類似于定義1，可以把具有奇點(diǎn)、奇線的無界函數(shù)的廣義二重積分的概念推廣到具有奇點(diǎn)、奇線或奇面的無界函數(shù)的n(n≥3)重積分的情形。

利用球面坐標(biāo)變換x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosθ計(jì)算，這時(shí)Ω對(duì)應(yīng)于Ω1={(r,φ,θ)|0≤r<1,0≤θ≤2π,0≤φ≤π}。因此，