劉靜，夏軍勇，劉璽，吳飛鵬，蒲春生

（1. 中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東青島 266580；2. 中國(guó)石油大學(xué)（華東）非常規(guī)油氣開(kāi)發(fā)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266580；3. 大慶油田采油工程研究院，黑龍江大慶 163453；4. 陜西延長(zhǎng)油田股份有限公司志丹采油廠，陜西延安 717500）

0 引言

泡沫調(diào)驅(qū)技術(shù)是裂縫性低滲透油藏水竄調(diào)控和提高采收率的有效途徑，泡沫的穩(wěn)定性及見(jiàn)效時(shí)間是影響其施工效果的重要因素[1-2]。因此，提高泡沫在油藏深部的穩(wěn)定性是改善泡沫調(diào)驅(qū)效果的關(guān)鍵[3]。目前主要通過(guò)化學(xué)劑復(fù)配、合成、添加劑使用等降低表面張力、改變界面層結(jié)構(gòu)、增強(qiáng)擴(kuò)張黏彈性等相關(guān)實(shí)驗(yàn)及機(jī)理分析研究泡沫穩(wěn)定性[4-7]。Marangoni效應(yīng)是指表面活性劑在液膜上不均勻分布所產(chǎn)生的表面張力梯度使表面活性劑分子自高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域流動(dòng)的現(xiàn)象，是影響泡沫穩(wěn)定性的內(nèi)在機(jī)理之一。Schwartz等[8]、Mysels等[9]建立了垂直液膜及多尺度液膜的排液及演化模型，其中以?xún)啥斯潭ǖ拇怪币耗づ乓耗Ｐ蜑榇淼呐菽乓哼^(guò)程簡(jiǎn)化模型較好地模擬了垂直液膜排液的全過(guò)程，并解釋了 Marangoni 現(xiàn)象。隨著研究的深入，葉學(xué)民等[10-11]、楊少東等[12]在垂直液膜排液模型的基礎(chǔ)上研究了活性劑濃度、分離壓及表面黏度變化對(duì)垂直液膜排液過(guò)程的影響規(guī)律，揭示了泡沫排液過(guò)程中的 Marangoni效應(yīng)、泡沫衰變演化規(guī)律與控制因素。

低頻人工地震波復(fù)合泡沫驅(qū)技術(shù)是利用低頻地震波對(duì)泡沫進(jìn)行動(dòng)態(tài)物理干預(yù)，提高泡沫在油藏深部穩(wěn)定性的新方法。該復(fù)合技術(shù)曾在鄂爾多斯盆地開(kāi)展了單井組礦場(chǎng)試驗(yàn)，并取得了顯著效果[13-14]，后續(xù)相關(guān)研究也表明低頻振動(dòng)確實(shí)可延長(zhǎng)不同孔隙介質(zhì)中泡沫的半衰期，降低泡沫Plateau邊界流體的滲流速度[15]。然而，低頻人工地震波激勵(lì)下的泡沫排液演化過(guò)程、穩(wěn)定性微觀動(dòng)力學(xué)機(jī)制與作用特征尚待深入研究。鑒于此，本文將低頻人工地震波擾動(dòng)作用力引入垂直液膜排液模型[16]，建立了低頻波激勵(lì)下泡沫垂直液膜排液演化模型，探索了低頻波對(duì)垂直液膜排液過(guò)程中Marangoni效應(yīng)的強(qiáng)化作用以及降低液膜排液速度的影響規(guī)律。

1 模型建立

泡沫液膜由金屬線框形成，側(cè)面平視如圖1所示，為了使模型簡(jiǎn)化，提出如下假設(shè)：①泡沫為垂直泡沫液膜；②表面活性劑溶液為不可壓縮流體，且流體的密度與黏度為定值；③忽略液膜排液過(guò)程中表面活性劑溶液的蒸發(fā)現(xiàn)象；④泡沫液膜的頂部與底部都被固定在金屬線框上，滿足泡沫液膜無(wú)滑移的邊界條件；⑤泡沫液膜的厚度關(guān)于y=0對(duì)稱(chēng)，并且滿足y= ±h（x,t），所以?xún)H考慮y≥0時(shí)泡沫液膜的變化；⑥泡沫液膜的初始厚度（h0）與泡沫液膜特征長(zhǎng)度（L）的比值很小，即ε=h0/L遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，保證其適用潤(rùn)滑理論[17]；⑦波動(dòng)力為正弦作用力且假設(shè)波動(dòng)力的初始方向與重力方向相反，文中引入波動(dòng)力的表達(dá)式為ρa(bǔ)e-ακtsin（ 2πft） 。

圖1 低頻波作用下垂直液膜排液過(guò)程示意圖

1.1 低頻波作用下的控制方程

根據(jù)質(zhì)量守恒方程和動(dòng)量守恒方程，將低頻波產(chǎn)生的作用力引入運(yùn)動(dòng)方程，得到低頻波激勵(lì)下液膜中流體流動(dòng)的連續(xù)方程和運(yùn)動(dòng)方程為：

邊界條件如下：

當(dāng)y=0時(shí)，

當(dāng)y=h時(shí)，

當(dāng)y=h時(shí)，液膜所受切向應(yīng)力和表面壓力分別為：

x方向上泡沫液膜排液速度可以分解為滑移速度和剪切速度[8]，即：

（7）式中液膜表面壓力由毛管壓力和分離壓組成，即：

分離壓的計(jì)算模型采用雙項(xiàng)分離壓模型[11]，表達(dá)式為：

表面活性劑溶液的表面張力隨表面活性劑濃度的變化關(guān)系為：

在泡沫液膜表面，剪切應(yīng)力可簡(jiǎn)單近似等于泡沫液膜的表面張力梯度，即：

由于Marangoni現(xiàn)象的存在，在確定滑移速度u0時(shí)需要考慮表面活性劑濃度變化對(duì)滑移速度的影響。表面活性劑的對(duì)流-擴(kuò)散演化方程為：

1.2 無(wú)因次化方程推導(dǎo)

定義一組特征項(xiàng)：

對(duì)前文變量進(jìn)行無(wú)因次化：

將特征項(xiàng)和無(wú)因次變量代入（1）—（8）式得無(wú)因次切應(yīng)力方程：

結(jié)合潤(rùn)滑理論和質(zhì)量守恒積分表達(dá)式可得無(wú)因次液膜厚度方程為：

無(wú)因次排液量方程為：

將（11）、（12）式無(wú)因次化后與（14）式聯(lián)立求解得無(wú)因次方程式：

將（9）、（10）式無(wú)因次化后與（16）、（17）式一起代入（15）式得到無(wú)因次方程式：

將（13）式無(wú)因次化得：

（18）—（20）式即為低頻人工地震波作用下表示液膜表面活性劑濃度、液膜厚度、排液速度演化的主控方程。

1.3 方程邊界、初始條件

假設(shè)液膜上端和液膜下端的厚度為定值，即：

頂部和底部流體、表面活性劑不流動(dòng)，即：

泡沫液膜的無(wú)因次初始厚度為：

泡沫液膜中無(wú)因次表面活性劑初始濃度為：

2 模型求解與驗(yàn)證

2.1 模型求解

將主控方程（18）—（20）式、邊界條件方程（21）—（22）式、初始條件方程（23）—（24）式寫(xiě)成差分格式。為計(jì)算方便，將泡沫液膜的厚度和泡沫液膜中表面活性劑的濃度取整點(diǎn)差分，泡沫液膜的排液速度取半點(diǎn)差分，采用隱式和顯式結(jié)合進(jìn)行差分求解。在求解過(guò)程中，根據(jù)流動(dòng)尺度選取0＜xD＜1內(nèi)的一維區(qū)域進(jìn)行計(jì)算，在保證滿足精確度和縮短計(jì)算時(shí)間的條件下，將計(jì)算區(qū)域劃分為 100等份進(jìn)行計(jì)算，可得無(wú)因次模擬結(jié)果。

2.2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本模型求解結(jié)果的準(zhǔn)確性，將本模型（18）—（20）式中加速度設(shè)為 0（波動(dòng)力為 0），得到波動(dòng)條件的簡(jiǎn)化模型（簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)化模型），參照文獻(xiàn)模型中的基礎(chǔ)參數(shù)取值（見(jiàn)表 1），分別計(jì)算簡(jiǎn)化模型中不同無(wú)因次排液時(shí)間條件下無(wú)因次液膜表面活性劑濃度、無(wú)因次液膜厚度與無(wú)因次液膜排液距離（為表述方便，后面將省略“無(wú)因次”，如無(wú)特別說(shuō)明，文中、圖中所涉及物理量均為無(wú)因次量）間的關(guān)系曲線并分別與文獻(xiàn)[8, 11]中模型（簡(jiǎn)稱(chēng)文獻(xiàn)模型）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比（見(jiàn)圖2），由圖2可知，兩種模型計(jì)算所得液膜表面活性劑濃度和液膜厚度具有一致的分布規(guī)律，進(jìn)而驗(yàn)證了模型的正確性。

表1 模型對(duì)比計(jì)算基礎(chǔ)參數(shù)表

3 Marangoni效應(yīng)影響因素

3.1 振動(dòng)頻率的影響

根據(jù)葉學(xué)民等[11]的研究成果可知，液膜排液過(guò)程中液膜頂部形成半月形區(qū)，底部因液體累積形成不斷膨脹的球形凸起，中間部分為液膜曲率較小、形狀近乎直線的區(qū)域。隨著排液時(shí)間的增加，在半月形區(qū)域末端液膜厚度出現(xiàn)最小值，且當(dāng)液膜排液時(shí)間tD=4×10?3時(shí)，中間部分有較長(zhǎng)區(qū)域液膜厚度與最小液膜厚度非常接近，這與實(shí)驗(yàn)中的黑膜區(qū)域相對(duì)應(yīng)，因此將與最小液膜厚度非常接近的區(qū)域稱(chēng)為“黑膜”，且此時(shí)Marangoni效應(yīng)最強(qiáng)。因此，當(dāng)tD=4×10?3時(shí)泡沫液膜排液達(dá)到排液后期階段。設(shè)置振動(dòng)加速度為0.5倍重力加速度，計(jì)算不同振動(dòng)頻率下泡沫液膜中表面活性劑的濃度分布（見(jiàn)圖3）。由圖3可知，泡沫液膜中表面活性劑濃度自上而下呈現(xiàn)逐漸增加的趨勢(shì)。無(wú)振動(dòng)時(shí)，泡沫液膜中表面活性劑濃度最大值與最小值之差為64；有振動(dòng)后，表面活性劑濃度最大值與最小值之差明顯降低，且該差值隨著振動(dòng)頻率的增加呈現(xiàn)先降低后增加的趨勢(shì)，當(dāng)振動(dòng)頻率為50 Hz和60 Hz時(shí)最大值與最小值之差達(dá)到最?。s為44），比無(wú)振動(dòng)時(shí)降低了31.3%。當(dāng)振動(dòng)頻率與物體固有頻率接近時(shí)，物體易產(chǎn)生共振效應(yīng)，振動(dòng)效果最佳[18-19]，由前述分析可知50 Hz和60 Hz與泡沫液膜的固有頻率較為接近。

圖3 不同振動(dòng)頻率下表面活性劑濃度分布

圖4為無(wú)振動(dòng)和振動(dòng)頻率為50 Hz時(shí)，不同時(shí)間泡沫液膜中表面活性劑的濃度分布（圖中tD=8×10?7與tD=1×10?8時(shí)無(wú)振動(dòng)和有振動(dòng)數(shù)據(jù)線重合）。無(wú)論有、無(wú)振動(dòng)，當(dāng)0＜tD≤8×10?7時(shí)，隨著時(shí)間增加，液膜上部區(qū)域表面活性劑濃度逐漸降低，底部表面活性劑濃度逐漸增加；當(dāng) 1×10?4≤tD≤4×10?3時(shí)，隨著時(shí)間增加泡沫液膜上部表面活性劑濃度增加、下部液膜表面活性劑濃度逐漸降低。這表明從tD=1×10?4時(shí)刻開(kāi)始表面活性劑分子在 Marangoni效應(yīng)作用下逆流而上，使表面活性劑濃度最大值與最小值之差逐漸降低，同時(shí)Marangoni效應(yīng)的存在遲滯了泡沫液膜的排液速度，泡沫液膜穩(wěn)定性得到提高。當(dāng)tD=4×10?3時(shí)，泡沫液膜排液趨于穩(wěn)定，表面活性劑濃度最大值與最小值之差達(dá)到最小。

圖4 有振動(dòng)與無(wú)振動(dòng)條件下表面活性劑濃度分布

對(duì)比振動(dòng)頻率為50 Hz和無(wú)振動(dòng)兩種情況下的整個(gè)排液過(guò)程發(fā)現(xiàn)：早期tD=1×10?8與tD=8×10?7兩種情況下的表面活性劑分布曲線重合，說(shuō)明在泡沫排液早期低頻波動(dòng)對(duì)排液沒(méi)有影響；隨著排液的進(jìn)行，Marangoni效應(yīng)從tD=1×10?4時(shí)出現(xiàn)，此時(shí)低頻振動(dòng)對(duì)液膜中Marangoni效應(yīng)的影響開(kāi)始顯現(xiàn)；當(dāng)tD=4×10?3時(shí)，低頻振動(dòng)對(duì) Marangoni效應(yīng)的影響達(dá)到最大，泡沫液膜中表面活性劑濃度最大值與最小值之差最小。低頻振動(dòng)有利于排液后期泡沫液膜中表面活性劑濃度的恢復(fù)，進(jìn)而強(qiáng)化Marangoni效應(yīng)，提高泡沫液膜的穩(wěn)定性。

圖5、圖6分別為無(wú)振動(dòng)、振動(dòng)頻率為50 Hz和60 Hz，tD=4×10?3時(shí)不同位置液膜厚度和液膜排液速度分布?？梢钥闯?，當(dāng)tD=4×10?3時(shí)，與無(wú)振動(dòng)相比，振動(dòng)能顯著降低液膜排液速度和液膜底部因液體積累而形成的凸起半徑；振動(dòng)頻率為50、60 Hz時(shí)液膜排液速度和底部凸起半徑基本相同，進(jìn)一步說(shuō)明低頻振動(dòng)可改變液膜厚度分布，減緩排液速度，提高泡沫穩(wěn)定性，這與前期實(shí)驗(yàn)和理論研究結(jié)果一致[15]，進(jìn)一步證實(shí)模型是可靠的。

圖5 不同振動(dòng)頻率下液膜厚度分布

由于液膜初始厚度相同，與無(wú)振動(dòng)相比，振動(dòng)時(shí)液膜底部形成的凸起半徑較小，因此在排液方向上，當(dāng) 0.65＜xD＜0.80時(shí)，振動(dòng)時(shí)泡沫液膜厚度更大，最小厚度液膜的長(zhǎng)度更短。這主要是因?yàn)檎駝?dòng)延緩了液膜的排液速度，相同時(shí)間內(nèi)泡沫液膜的厚度變化小，達(dá)到與無(wú)振動(dòng)相同的最小液膜厚度對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度需要更長(zhǎng)時(shí)間，即振動(dòng)提高了泡沫的穩(wěn)定性。由圖6還可看到，與無(wú)振動(dòng)相比，有振動(dòng)時(shí)液膜排液速度最大值對(duì)應(yīng)的排液位置靠上，這是因?yàn)槌霈F(xiàn)最大液膜排液速度的位置與最小液膜厚度結(jié)束時(shí)的位置相對(duì)應(yīng)。

圖6 不同振動(dòng)頻率下液膜排液速度分布

當(dāng)振動(dòng)頻率為50 Hz與60 Hz時(shí)，泡沫液膜中表面活性劑濃度、液膜厚度和排液速度相差不大，結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際情況，選擇50 Hz作為最佳振動(dòng)頻率。

3.2 振動(dòng)加速度的影響

在最佳振動(dòng)頻率下，改變振動(dòng)加速度，結(jié)合表 1中的參數(shù)取值，計(jì)算tD=4×10?3時(shí)，不同振動(dòng)加速度下泡沫液膜中表面活性劑的濃度分布（見(jiàn)圖7）。可以看到：振動(dòng)加速度小于等于0.8倍重力加速度時(shí)，泡沫液膜中表面活性劑濃度自上而下逐漸步增加，達(dá)到一定值后保持不變；活性劑濃度最大值與最小值之差隨振動(dòng)加速度的增加而降低，且均小于無(wú)振動(dòng)時(shí)的差值，說(shuō)明振動(dòng)加速度越大越能提高泡沫液膜中表面活性劑濃度的恢復(fù)速度，Marangoni效應(yīng)延緩泡沫液膜排液的能力就越強(qiáng)，穩(wěn)泡性能越好；當(dāng)振動(dòng)加速度等于3.0倍重力加速度時(shí)，泡沫液膜頂部的表面活性劑濃度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于液膜底部，表現(xiàn)為表面活性劑逆流而上在液膜頂部聚集，這與液膜向下排液的事實(shí)相悖。表面活性劑在 Marangoni效應(yīng)的作用下發(fā)生逆向擴(kuò)散，在一定程度上能恢復(fù)液膜局部表面活性劑濃度，延緩液膜排液的速度，但 Marangoni效應(yīng)的作用能力有限，只能延緩液膜排液，并不能逆轉(zhuǎn)排液流動(dòng)方向。因此，振動(dòng)加速度并非越大越好。

圖7 不同振動(dòng)加速度下液膜中表面活性劑濃度分布

圖8、圖9分別為tD=4×10?3時(shí)，不同振動(dòng)加速度下液膜厚度、排液速度的分布。由圖可知，當(dāng)振動(dòng)加速度小于0.8倍重力加速度時(shí)，因液膜排液累積而形成的凸起半徑、液膜排液速度隨振動(dòng)加速度的增加而降低；當(dāng)振動(dòng)加速度等于3.0倍重力加速度時(shí)，泡沫液膜的排液方向向上，且最大液膜排液速度約為無(wú)振動(dòng)時(shí)的 2倍，這導(dǎo)致泡沫液膜逆向積累在液膜頂部形成凸起，這明顯與事實(shí)不符。

圖8 不同振動(dòng)加速度下液膜厚度分布

圖9 不同振動(dòng)加速度下液膜排液速度分布

振動(dòng)加速度、振動(dòng)頻率和振動(dòng)位移滿足：

可見(jiàn)對(duì)于同一臺(tái)振動(dòng)設(shè)備而言，其振動(dòng)位移的范圍是確定的，最佳振動(dòng)頻率確定后，最大振動(dòng)加速度也隨之確定。李星紅等[14]研究表明，振動(dòng)加速度過(guò)大或過(guò)小均對(duì)起泡效果有抑制作用，結(jié)合本文的認(rèn)識(shí)，最佳振動(dòng)加速度可取0.5倍重力加速度。

3.3 表面活性劑初始濃度的影響

在最佳振動(dòng)參數(shù)下，改變表面活性劑初始濃度分別為 100，1 000，1 500和 5 000，計(jì)算排液時(shí)間為tD=4×10?3時(shí)不同初始表面活性劑濃度下液膜厚度分布（見(jiàn)圖10）。可以看到，在相同條件下，液膜底部凸起半徑隨著初始表面活性劑濃度的增大而降低，這是因?yàn)楫?dāng)液膜中表面活性劑濃度較低時(shí)，活性劑濃度差相對(duì)較小，Marangoni效應(yīng)相對(duì)較弱，難以長(zhǎng)久保持液膜穩(wěn)定存在；當(dāng)表面活性劑初始濃度不斷增加時(shí)，液膜中活性劑濃度差相應(yīng)增大，Marangoni效應(yīng)逐漸增強(qiáng)，表面活性劑初始濃度高的液膜底部形成的凸起半徑相對(duì)較小。

圖10 不同初始濃度條件下兩種排液方式的液膜厚度分布

此外，當(dāng)表面活性劑初始濃度不同時(shí)，在相同的振動(dòng)參數(shù)下，振動(dòng)對(duì)液膜底部凸起半徑的影響程度也不相同（見(jiàn)表2），隨著液膜中表面活性劑初始濃度的增加，振動(dòng)與無(wú)振動(dòng)對(duì)應(yīng)的液膜底部凸起半徑之差逐漸降低，說(shuō)明表面活性劑初始濃度越小，振動(dòng)效果越好。這是因?yàn)楸砻婊钚詣┏跏紳舛容^低時(shí)，液膜中Marangoni效應(yīng)相對(duì)較弱，對(duì)延緩液膜排液速度的能力有限，振動(dòng)會(huì)大幅提高M(jìn)arangoni效應(yīng)的作用效果。

表2 不同初始濃度下兩種排液方式底部凸起參數(shù)統(tǒng)計(jì)

改變不同初始表面活性劑濃度參數(shù)，計(jì)算排液時(shí)間為tD=4×10?3時(shí)不同初始活性劑濃度下液膜的排液速度分布（見(jiàn)圖11）?？梢钥闯?，無(wú)振動(dòng)時(shí)液膜的排液速度隨液膜中表面活性劑初始濃度的增加而降低；相同表面活性劑初始濃度下，無(wú)振動(dòng)與有振動(dòng)時(shí)液膜的排液速度的差值隨表面活性劑初始濃度的增加而降低，說(shuō)明表面活性劑初始濃度越小振動(dòng)效果越好。

圖11 不同初始濃度條件下兩種排液方式的排液速度分布

圖中還可看到，在無(wú)振動(dòng)情況下，xD約為0.65處，表面活性劑初始濃度為 1 000時(shí)的最大液膜排液速度比初始濃度為 100時(shí)大，該現(xiàn)象較為反常。分析認(rèn)為表面活性劑初始濃度為 100的液膜率先達(dá)到“黑膜”階段，該階段液膜排液速度很??；表面活性劑初始濃度為1 000的液膜厚度相對(duì)較厚，且最大速度出現(xiàn)在液膜下端凸起附近，與液膜重力相比，此時(shí) Marangoni效應(yīng)的影響較小，因而液膜排液速度較大；表面活性劑初始濃度為 1 500的液膜排液速度最大值與初始濃度為 100的液膜基本相同，說(shuō)明該濃度下 Marangoni效應(yīng)逐漸增強(qiáng)，液膜排液速度降低；表面活性劑初始濃度進(jìn)一步增大為5 000，Marangoni效應(yīng)進(jìn)一步增強(qiáng)，液膜排液速度大幅降低。

4 結(jié)論

低頻振動(dòng)可降低排液后期泡沫液膜中表面活性劑濃度最大值與最小值之差，強(qiáng)化Marangoni效應(yīng)的作用效果，提高泡沫液膜的穩(wěn)定性；當(dāng)振動(dòng)頻率接近泡沫液膜固有頻率時(shí)振動(dòng)效果最佳，最佳振動(dòng)頻率約為50 Hz。

振動(dòng)加速度越大，泡沫液膜中表面活性劑濃度的恢復(fù)速度越快，Marangoni效應(yīng)延緩泡沫液膜排液的能力越強(qiáng)，穩(wěn)泡性能越好；但振動(dòng)加速度并非越大越好，最佳振動(dòng)加速度約為0.5倍重力加速度。

合理的振動(dòng)參數(shù)會(huì)大幅提高 Marangoni效應(yīng)的作用效果，表面活性劑初始濃度越小，振動(dòng)提高M(jìn)arangoni效應(yīng)的效果越好。

符號(hào)注釋?zhuān)?/p>

a——振動(dòng)加速度，m/s2；A——分離壓強(qiáng)度系數(shù)，Pa；AD——無(wú)因次分離壓強(qiáng)度系數(shù)；BD——無(wú)量綱修正邦德數(shù)，表示重力和毛細(xì)管力之比；CD——無(wú)量綱毛細(xì)管數(shù)；CS——表面活性劑濃度，mol/L；CS0——初始表面活性劑濃度，mol/L；CSD——無(wú)因次表面活性劑濃度；CS0D——無(wú)量綱初始表面活性劑濃度；CSD（0,tD）——液膜上端無(wú)因次表面活性劑濃度；CSD（1,tD）——液膜下端無(wú)因次表面活性劑濃度；CSD（xD, 0）——液膜初始時(shí)刻無(wú)因次表面活性劑濃度；D——擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；DD——無(wú)因次擴(kuò)散系數(shù)；f——振動(dòng)頻率，Hz；fD——無(wú)因次振動(dòng)頻率；Fb——波動(dòng)力，N/m3；g——重力加速度，m/s2；h——液膜厚度，m；h0——液膜初始厚度，m；hD——無(wú)因次液膜厚度；heq——平衡液膜厚度，m；hD（0,tD）——液膜上端無(wú)因次厚度；hD（1,tD） ——液膜下端無(wú)因次厚度；hD（xD, 0）——液膜初始時(shí)刻無(wú)因次厚度；K——與表面活性劑濃度相關(guān)的系數(shù)，N·L/（mol·m）；L——液膜特征長(zhǎng)度，m；p——液膜所受壓力，Pa；pD——無(wú)因次液膜所受壓力；pf——特征壓力，Pa；pse——分離壓，Pa；pseD——無(wú)因次分離壓；pS——液膜表面壓力，Pa；pSD——無(wú)因次液膜表面壓力；Q0D——無(wú)因次滑移流量；Q1D——無(wú)因次剪切流量；t——排液時(shí)間，s；tD——無(wú)因次排液時(shí)間；T——特征時(shí)間，s；u——泡沫液膜排液速度，m/s；u0——滑移速度，m/s；u0D——無(wú)因次滑移速度；u1——剪切速度，m/s；u1D——無(wú)因次剪切速度；u1D（0）——無(wú)因次剪切速度級(jí)數(shù)展開(kāi)式首項(xiàng)；U0——特征滑移速度，m/s；U1——特征剪切速度，m/s；v——泡沫液膜厚度變化速度，m/s；V——泡沫液膜厚度特征變化速度，m/s；vD——無(wú)因次泡沫液膜厚度變化速度；x——泡沫液膜排液距離，m；xD——無(wú)因次泡沫液膜排液距離；y——垂直于x的泡沫液膜排液距離，m；yD——垂直于x的無(wú)因次泡沫液膜排液距離；z——振動(dòng)位移，m；α——衰減系數(shù)，s?1；ε——泡沫液膜初始厚度與泡沫液膜特征長(zhǎng)度的比值，無(wú)因次；κ——修正系數(shù)，無(wú)因次；λ——液膜表面曲率，m?1；μ——泡沫液黏度，Pa·s；ρ——起泡劑溶液密度，kg/m3；σ——表面張力，N/m；σ0——初始表面張力，N/m；τ——切應(yīng)力，Pa；τD——無(wú)因次切應(yīng)力。