葉長龍，萬繒齊，于蘇洋，姜春英

（沈陽航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110136）

1 引言

機(jī)器人以其多功能性以及良好的適應(yīng)性被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)踐中。而并聯(lián)機(jī)器人相對于串聯(lián)機(jī)器人又具有高剛度，高精度，高承載力以及累計(jì)誤差相對較小等的優(yōu)點(diǎn)，近年來被廣泛的研究與應(yīng)用。精度是衡量機(jī)器人性能的重要指標(biāo)，精度的提高將使機(jī)器人的應(yīng)用范圍更加廣泛。為了提高機(jī)器人的精度，國內(nèi)外研究人員進(jìn)行了一定的分析與研究。例如應(yīng)用于食品包裝工業(yè)的Delta 機(jī)器人[1]，通過改進(jìn)機(jī)構(gòu)使得其精度大大提高，改進(jìn)后可對易碎品進(jìn)行操作。文獻(xiàn)[2]通過改變機(jī)器人的DH 模型使其精度得以提高。文獻(xiàn)[3]通過關(guān)節(jié)反饋補(bǔ)償?shù)姆椒ㄌ岣吡藱C(jī)器人的精度。

剛度是評價(jià)機(jī)器人機(jī)構(gòu)抵抗變形能力的重要指標(biāo)。通過對機(jī)器人進(jìn)行剛度分析來提高機(jī)器人精度同樣是一種提高機(jī)器人精度的方法。文獻(xiàn)[4]通過位置逆解法對Bicept 機(jī)器人進(jìn)行了剛度分析。文獻(xiàn)[5]通過矢量疊加法提高了機(jī)器人的剛度。

針對目前的研究現(xiàn)狀，結(jié)合減小變形誤差的分析目的，對所研究機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行了剛度建模。結(jié)合旋量理論進(jìn)行了剛度分析并通過實(shí)驗(yàn)得出了變形誤差最大的產(chǎn)生位置，對誤差的減小提出了改進(jìn)方案。

2 機(jī)器人結(jié)構(gòu)分析

實(shí)驗(yàn)室自主研制的全方位機(jī)器人的結(jié)構(gòu)圖，如圖1 所示。該機(jī)器人主要由上平臺，驅(qū)動(dòng)支鏈，限位支鏈以及全方位下平臺組成。下平臺由四組全方位輪支撐，可以實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的全方位移動(dòng)。這里的分析對象主要為舉升機(jī)構(gòu)，如圖2 所示。其中，上下兩平臺間由四條支鏈組成，其中兩條驅(qū)動(dòng)支鏈由絲杠組成，絲杠可在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行伸縮。兩條限位支鏈由直線伸縮導(dǎo)軌組成。通過絲杠的伸縮改變驅(qū)動(dòng)支鏈的長度，可以實(shí)現(xiàn)上平臺的翻轉(zhuǎn)[6]。

圖1 全方位機(jī)器人的三維模型Fig.1 3D Model of Omni-Directional Robot

圖2 舉升機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Lifting Mechanism Structure

采用修正的G-K公式的一般的通用公式進(jìn)行自由度計(jì)算[7]：

式中：M—機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)；n—包含機(jī)架在內(nèi)的構(gòu)件數(shù)目；g—運(yùn)動(dòng)副數(shù)目；fi—第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)；μ—機(jī)構(gòu)中存在的全部過約束數(shù)目。

代入數(shù)據(jù)得M=6×（10-10-1）+8+0=2。

求得機(jī)構(gòu)自由度為2。加以分析可得在驅(qū)動(dòng)支鏈上伺服電機(jī)帶動(dòng)絲杠運(yùn)動(dòng)的條件下，可以實(shí)現(xiàn)平臺的繞x軸翻轉(zhuǎn)以及沿z軸升降兩個(gè)自由度的變化。機(jī)器人的結(jié)構(gòu)性能參數(shù)，如表1 所示。

表1 機(jī)器人的結(jié)構(gòu)性能參數(shù)Tab.1 Structural Performance Parameters of the Robot

3 機(jī)器人靜剛度分析

3.1 機(jī)器人剛度模型的建立

當(dāng)全方位機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，末端執(zhí)行器會(huì)對周圍環(huán)境施加一定的力旋量。該力旋量源于驅(qū)動(dòng)器，即電機(jī)，通過絲杠傳遞到上平臺。反之，這種力旋量也可能會(huì)使上平臺偏離理想位置，從而衍生出機(jī)器人一項(xiàng)重要的性能指標(biāo)，即靜剛度。

機(jī)器人的靜剛度與多種因素有關(guān)：如各組成單元的材料及其幾何特性、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)類型、驅(qū)動(dòng)器、控制器等。每一因素對于機(jī)器人的靜剛度都有不同的影響。對于研究的機(jī)器人機(jī)構(gòu)中有四根細(xì)長桿，這勢必會(huì)影響機(jī)構(gòu)的整體剛度，機(jī)器人的剛度性能會(huì)直接影響機(jī)器人的定位精度。為提高機(jī)器人的定位精度，對機(jī)器人進(jìn)行剛度分析是必要的。

這里的研究對象的靜剛度映射是指驅(qū)動(dòng)電機(jī)與傳動(dòng)絲杠的輸入剛度與并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺的輸出剛度之間的映射關(guān)系，驅(qū)動(dòng)電機(jī)以及絲杠的傳動(dòng)部分是研究對象僅有的柔性元。對于組成機(jī)器人的各桿件以及其他部件，柔性極小[8]，可忽略不計(jì)。剛度分析的具體過程如下：

基于旋量理論，對機(jī)構(gòu)加以分析后得出并聯(lián)機(jī)器人的旋量分布，如圖3 所示。

圖3 旋量分析Fig.3 Screw Analysis

式中：c1的大小—支鏈1 與上平臺鉸接處轉(zhuǎn)動(dòng)副旋轉(zhuǎn)中心與上平臺圓心沿平臺方向的直線距離的數(shù)值；d1的大小—支鏈1的長度大小；s11與s13—各自所在轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；s12—支鏈1 與上平臺鉸接處沿支鏈1 軸線方向的線速度；ζ11與ζ13的方向—沿各自轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線方向；ζ12的方向—沿支鏈1 的軸線方向。

根據(jù)螺旋理論，分析后可知支鏈1 具有一個(gè)約束反螺旋[9]：

3.2 各支鏈?zhǔn)芰η蠼?/h3>

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的受力分析，如圖4 所示。

圖4 受力分析Fig.4 Force Analysis

直線伸縮導(dǎo)軌的內(nèi)外兩條導(dǎo)軌之間的摩擦非常小，再加上導(dǎo)軌的放置方式為豎直放置，這種條件下的摩擦力更是幾乎為零。所以直線伸縮導(dǎo)軌不會(huì)受到來自上平臺以及載荷的豎直向下的壓力。

機(jī)構(gòu)的剛度與機(jī)構(gòu)所受到的力以及在力作用下所產(chǎn)生的變形有關(guān)，而機(jī)構(gòu)受力所產(chǎn)生的變形大小與機(jī)構(gòu)本身的形態(tài)以及制造機(jī)構(gòu)所用材料的彈性模量有關(guān)。為了求得所需參數(shù)，現(xiàn)對并聯(lián)機(jī)器人各部件長度加以分析。

圖5 長度標(biāo)定分析Fig.5 Length Calibration Analysis

在不影響將推得結(jié)論的正確性以及不會(huì)產(chǎn)生誤差的情況下，將機(jī)構(gòu)簡化，如圖5 所示。構(gòu)造兩輔助線b1，b2，則有：

兩條支鏈的變形均可各分為兩部分，即沿絲杠方向的壓縮變形以及垂直于絲杠方向的彎曲變形。

則由幾何關(guān)系可得兩絲杠長度變量如下：

上平臺變形主要為垂直于平臺方向的撓曲變形，垂直于平臺方向受力為Gcosα，即：

3.3 理論等效彈簧常數(shù)求解

下面對各支鏈的等效彈簧常數(shù)求解如下：

首先1，2 支鏈的等效彈簧常數(shù)求解方式相同，系數(shù)如下：

式中：E4—支鏈4 材料的彈性模量；I4—直線伸縮導(dǎo)軌截面的慣性矩；h—上平臺圓心與下平臺圓心之間的直線距離。

4 仿真分析

將機(jī)構(gòu)的基本參數(shù)代入之前建立的剛度模型，并對各個(gè)支鏈加以分別分析，得出的仿真結(jié)果，如圖6～圖8 所示[12]。

圖6 支鏈1，2 仿真結(jié)果Fig.6 Simulation Results of Branch 1，2

圖7 支鏈3 仿真結(jié)果Fig.7 Simulation Result of Branch 3

圖8 支鏈4 仿真結(jié)果Fig.8 Simulation Result of Branch 4

從圖6 的仿真結(jié)果可以看出，支鏈長度與載荷大小與支鏈1，2 變形量大小均成正比關(guān)系，變形量的量級很小，為10-6m。

從圖7 的仿真結(jié)果可以看出，載荷大小與支鏈3 變形量大小成正比關(guān)系。變形量的量級較大，為10-3m。

從圖8 的仿真結(jié)果可以看出，上平臺圓心到下平臺的垂直距離以及載荷與支鏈4 的變形量大小成正比關(guān)系。變形量的量級同樣較大，為10-4m。

5 實(shí)驗(yàn)分析

對全方位機(jī)器人的剛度性能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。實(shí)驗(yàn)用的全方位機(jī)器人，如圖9 所示。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容主要是通過剛度標(biāo)定傳感器對機(jī)器人的變形量進(jìn)行測定，然后對所得變形量與仿真所得的理論變形量進(jìn)行比對，從而得到理論值與實(shí)測值的偏差大小。

圖9 實(shí)驗(yàn)用機(jī)器人Fig.9 Experimental Robot

圖10 實(shí)驗(yàn)1Fig.10 Experiment 1

仿真分析的條件為理想條件，實(shí)際機(jī)構(gòu)中存在許多未被考慮到的誤差因素將影響機(jī)器人各支鏈的剛度，如支鏈橫截面積的變化以及鉸鏈處的裝配間隙造成的誤差。故通過實(shí)驗(yàn)測量并計(jì)算出實(shí)際的剛度值并與理論值進(jìn)行比較，使分析內(nèi)容實(shí)體化。

實(shí)驗(yàn)過程中的負(fù)載是通過在實(shí)驗(yàn)盒內(nèi)添加不同質(zhì)量的法碼來實(shí)現(xiàn)。

對支鏈1，2，3 進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)1，如圖10 所示。實(shí)驗(yàn)中支鏈1，2受力相同，均為盒內(nèi)添加載荷所受重力與上平臺自重的重力的和的一半。支鏈3 受力為盒內(nèi)添加載荷所受重力。通過改變盒內(nèi)載荷質(zhì)量進(jìn)行了多組實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表2～表4 所示。

表2 支鏈1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.2 Branch 1 Experiment Data

表3 支鏈2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.3 Branch 2 Experiment Data

表4 支鏈3 實(shí)驗(yàn)1 數(shù)據(jù)Tab.4 Branch 3 Experiment 1 Data

從表2，表3 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來看，實(shí)際剛度與理論剛度的變化趨勢是相同的，即隨著絲杠的伸長剛度隨之減小。但實(shí)際剛度的值相對于理論剛度的值較小，這是由于支鏈實(shí)際的橫截面積相對于理論橫截面積偏小所致。

圖11 支鏈3 實(shí)驗(yàn)2Fig.11 Branch 3 Experiment 2

從表4 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來看，實(shí)際剛度與理論剛度相差無幾。這主要是因?yàn)榇私M實(shí)驗(yàn)的誤差產(chǎn)生因素較少，可能的誤差產(chǎn)生因素只有兩驅(qū)動(dòng)支鏈的裝配間隙差引起的剛度誤差，故此組實(shí)驗(yàn)理論值與實(shí)際值偏差較小。當(dāng)載荷被施加在距上平臺邊緣5cm 時(shí)進(jìn)行了另一組實(shí)驗(yàn)，如圖11 所示。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如表5 所示。

表5 支鏈3 實(shí)驗(yàn)2 數(shù)據(jù)Tab.5 Branch 3 Experiment 2 Data

從表5 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來看，實(shí)際剛度與理論剛度偏差很大。這說明這一部分的裝配誤差很大。從結(jié)構(gòu)來看，引起此誤差的因素為驅(qū)動(dòng)支鏈上下鉸鏈的裝配誤差以及絲杠彎曲所造成的誤差。

最后對支鏈4 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，實(shí)驗(yàn)方法為翻轉(zhuǎn)上平臺并在其上施加載荷，測量支鏈的彎曲變形，如圖12 所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如表6 所示。

圖12 支鏈4 實(shí)驗(yàn)Fig.12 Branch 4 Experiment

表6 支鏈4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.6 Branch 4 Experiment Data

此組實(shí)驗(yàn)誤差同樣較大，造成的原因?yàn)殂q鏈處裝配精度誤差。對各支鏈的誤差進(jìn)行整合比對，如表7 所示。

表7 各支鏈變形誤差量級Tab.7 Deformation Error Magnitude of Each Branch

顯然，支鏈3 邊緣的變形誤差最大。為了提高機(jī)器人精度，減小變形誤差對機(jī)器人精度的影響，首先就要針對這一變形誤差加以改進(jìn)。改進(jìn)的方法可以通過在上平臺上加裝加強(qiáng)筋來提高這一部分的剛度。

6 結(jié)論

（1）運(yùn)用旋量理論對全方位并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行旋量分析，建立旋量與剛度之間的聯(lián)系，運(yùn)用旋量理論求解了機(jī)器人的剛度矩陣。（2）對全方位機(jī)器人進(jìn)行受力分析，建立了傳統(tǒng)力學(xué)模型下的變形模型。并對機(jī)器人進(jìn)行了特定工況下的剛度仿真，求解了并聯(lián)機(jī)器人的理論剛度。（3）對全方位機(jī)器人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析，并分析了理論值與實(shí)測值產(chǎn)生偏差的原因，進(jìn)而針對原因提出改進(jìn)思路，提高機(jī)器人精度。