劉文奇, 崔皆凡, 李柏昕, 郝景申

沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110000)

0 引 言

永磁同步直線電機(PMSLM)發(fā)展迅速，因其質(zhì)量輕、體積小、結(jié)構(gòu)簡單、無中間驅(qū)動裝置、推力密度大、響應(yīng)速度快等優(yōu)勢在機床進給系統(tǒng)、機器人，航空航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。其中，特別是分數(shù)槽永磁同步直線電機(FPMSLM)，具有端部繞組短、銅耗小、轉(zhuǎn)矩波動小等優(yōu)點[1-3]。準確計算出PMSLM的氣隙磁密是對其進行優(yōu)化設(shè)計和性能分析的前提條件，國內(nèi)外的許多學(xué)者利用多種方法對其進行了較為深入的研究。

目前廣泛采用的方法有傳統(tǒng)磁路法、有限元法、解析計算法[4-6]。文獻[7]基于許克變換，借助許克變換工具箱分析了電機定子繞組產(chǎn)生的氣隙磁場和永磁體產(chǎn)生的氣隙磁場，該方法需要設(shè)計者精通許克變換工具箱的使用。文獻[8]運用解析法獲得電機磁場，但氣隙磁導(dǎo)函數(shù)采用了相應(yīng)的替代函數(shù)。文獻[9]用傅氏級數(shù)法推導(dǎo)出FPMSLM的氣隙磁場，雖然解析法和有限元法具有良好的擬合度，但利用分布卡氏系數(shù)計算鐵心開槽對分數(shù)槽電機磁場的影響，增加了計算的復(fù)雜度。文獻[10]將電機細分成多個求解區(qū)域，進而獲得整個電機的磁場分布情況，此類方法可獲得較高計算精度，但其求解過程較為復(fù)雜，不利于電機性能的快速分析。

對于FPMSLM，每個磁極下氣隙磁場并不相同，因此不能只計算一對極下的氣隙磁場。本文以單元電機整體為研究對象，對定子不開槽下的氣隙磁場進行計算，再考慮定子開槽影響下的氣隙磁密，推導(dǎo)了FPMSLM定轉(zhuǎn)子整體耦合長度下任意位置的空載氣隙磁場解析式，最后以2臺單元電機，即10極 9槽、10極12槽FPMSLM為例，對其空載氣隙磁場進行有限元仿真。將有限元法結(jié)果與解析法結(jié)果進行對比分析，驗證了解析法計算空載氣隙磁密的可行性，節(jié)約了時間成本，為FPMSLM空載氣隙磁場的優(yōu)化提供了理論支持。

1 PMSLM的氣隙磁場分析

1.1 單元電機的基本概念

分數(shù)槽繞組產(chǎn)生的磁動勢波形不是以每對極為一個重復(fù)周期，而是以一個單元電機為一個重復(fù)周期，因此在一個周期內(nèi)每極所占槽數(shù)不同。對FPMSLM來說，其每極每相槽數(shù)q如下:

(1)

式中：Z為槽數(shù);p為極對數(shù);m為相數(shù);F、d為經(jīng)計算化簡之后，所得最簡分式的分子與分母。

當d為偶數(shù)時，單元電機的磁極數(shù)為d；當d為奇數(shù)時，單元電機的磁極數(shù)為2d。

1.2 氣隙磁場基本關(guān)系式

本文對FPMSLM空載氣隙磁場的解析表達式進行推導(dǎo)計算定子不開槽情況下永磁體磁密方波的解析式。

在定子不開槽的時候，氣隙是均勻分布的，因此氣隙中單位面積的磁導(dǎo)為

(2)

式中：δ為定子不開槽時永磁體磁化方向長度與氣隙長度之和。

又有：

δ=hm+δ0

(3)

式中：hm為永磁體磁化方向長度；δ0為氣隙長度。

在定子開槽的情況下，氣隙是周期性均勻變化的，此時氣隙中單位面積的磁導(dǎo)為

Λ(x)=μ0/δ(x)

(4)

式中：δ(x)為定子開槽時隨位置周期變化的氣隙長度。

定子開槽情況下，永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密表達式為

(5)

式中：B(x)為定子開槽下的空載氣隙磁密；Bδ(x)為定子不開槽下的空載氣隙磁密。

1.3 定子不開槽時的氣隙磁場分布

在進行氣隙磁密解析式推導(dǎo)前，需要作以下3點假設(shè)：

(1) 鐵心沖片材料各向同性, 且磁化曲線是單值的；

(2) 忽略鐵心的渦流效應(yīng)以及磁滯效應(yīng)；

(3) 永磁體的磁導(dǎo)率與空氣磁導(dǎo)率相同。

以單元電機為例，因為每極下氣隙磁場不同，不能單獨推導(dǎo)一對磁極下的氣隙磁場，所以把整個磁極看作一個整體，分成極對數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)2種情況。圖1為極對數(shù)為奇數(shù)時FPMSLM氣隙磁密分布圖。坐標原點選在單元電機的極中心點。

圖1 極對數(shù)為奇數(shù)時定子不開槽氣隙磁密分布

在x∈[-pτ,pτ]區(qū)間內(nèi)，氣隙磁密的表達式如下：

Bδ(x)=

(6)

式中：τ為極距；αi是計算極弧系數(shù),k=0,±1，…，±[p/2]。

Bδ永磁體產(chǎn)生的方波氣隙磁密的幅值:

Bδ=Brhm/δ

(7)

式中:Br為永磁體剩磁。

由于Bδ(x)為奇函數(shù)，表示成傅里葉級數(shù)形式如下：

(8)

(9)

可得：

x∈[-pτ,pτ]

(10)

圖2為極對數(shù)為偶數(shù)時FPMSLM氣隙磁密分布圖。坐標原點選在單元電機的極中心點。

圖2 極對數(shù)為偶數(shù)時定子不開槽氣隙磁密分布

在x∈[0,Zt/2]區(qū)間內(nèi)，氣隙磁密表達式為

Bδ(x)=

(11)

其中，k=0,±1,…,±[p/2]。

對其進行傅里葉變換，得定子不開槽，則極對數(shù)為偶數(shù)時永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密如下：

x∈[-pτ,pτ]

(12)

對比式(10)和式(12)可以看出，極對數(shù)為奇數(shù)與極對數(shù)為偶數(shù)的單元電機，在定子不開槽情況下，其表達形式相同。由此可得，單元電機定子不開槽情況下，氣隙磁密表達式為

x∈[-pτ,pτ]

(13)

2 定子開槽空載氣隙磁場分布

定子開槽后，由永磁體產(chǎn)生的氣隙磁場會發(fā)生變化。把整個槽數(shù)看作一個整體，分成槽數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)2種情況。圖3為定子開槽后，單元電機槽數(shù)為奇數(shù)時等效氣隙長度隨x的變化情況。坐標原點選在整個單元電機的槽中心點。

(14)

式中：hs為槽深；t為齒距；b為槽寬。

圖3 槽數(shù)為奇數(shù)時氣隙長度分布圖

式(14)氣隙長度隨x的變化規(guī)律如下：

(15)

式中：w為齒寬，k=0,±1,…,[Z/2]。

其傅里葉分解表達式為

(16)

其中，

(17)

(18)

(19)

由Bo(x)=δBδ(x)do(x)可得，奇數(shù)槽FPMLSM的氣隙磁密表達式為

x∈[-Zt/2,Zt/2]

(20)

單元電機的槽數(shù)為奇數(shù)時任意位置下的定轉(zhuǎn)子耦合部分氣隙磁密解析式為

x∈[-Zt/2,Zt/2]

(21)

式中：l1為極中心線相對于齒中心線向左偏移的距離。

圖4為定子開槽后，單元電機槽數(shù)為偶數(shù)時等效氣隙長度隨x的變化情況。坐標原點選在整個單元電機的槽中心點。

圖4 槽數(shù)為偶數(shù)時氣隙長度分布圖

槽數(shù)為偶數(shù)時d(x)的求解同理于槽數(shù)為奇數(shù)時d(x)的求解，得：

(22)

當槽數(shù)為偶數(shù)時，F(xiàn)PMSLM的空載氣隙磁密表達式為

x∈[-Zt/2,Zt/2]

(23)

單元電機的槽數(shù)為偶數(shù)時任意位置下定轉(zhuǎn)子耦合部分的氣隙磁密解析式為

x∈[-Zt/2,Zt/2]

(24)

式中：l2為極中心線相對于齒中心線向右偏移的距離。

由此可以看出，定子開槽后，改變了原本定子不開槽下的氣隙磁密次數(shù)和幅值。

3 解析法與有限元法對比

為了驗證氣隙磁場解析式推導(dǎo)的有效性， 選取2臺FPMSLM，即10極12槽FPMSLM、10極9槽FPMSLM，進行氣隙磁場解析計算。

10極12槽FPMSLM的永磁體磁化方向長度hm=7 mm，極弧系數(shù)αi=0.858，齒距t=17 mm，槽寬b=9 mm，極距τ=20.4 mm，氣隙長度δ0=1 mm。同時利用解析法與有限元法對其氣隙磁場進行計算。

圖5為開口槽結(jié)構(gòu)10極12槽FPMSLM結(jié)構(gòu)圖。 該FPMSLM的極中心線相對于齒中心線右移18.4 mm。

圖5 開口槽結(jié)構(gòu)10極12槽FPMSLM結(jié)構(gòu)圖(單位：mm)

圖6為電機處于圖5位置時，電機空載氣隙磁密解析法與有限元法結(jié)果對比。

圖6 電機處于圖5位置時，電機空載氣隙磁密解析法與有限元法結(jié)果對比

由圖6可得，解析法可以較為準確地反映FPMSLM的空載氣隙磁場。2種方法也反映了開口槽結(jié)構(gòu)FPMSLM氣隙磁場諧波含量大的問題。因此，在實際工程應(yīng)用中一般采用閉口槽結(jié)構(gòu)。

利用解析法和有限元法同時對半閉口槽結(jié)構(gòu)的10極12槽FPMSLM空載氣隙磁密進行計算。

圖7為半閉口槽結(jié)構(gòu)10極12槽FPMSLM結(jié)構(gòu)圖，極中心線與齒中心線對齊。

圖7 半閉口槽結(jié)構(gòu)10極12槽FPMSLM結(jié)構(gòu)圖

圖8為半閉口槽10極12槽FPMSLM空載氣隙磁密解析法與有限元法計算結(jié)果對比。

圖8 半閉口槽10極12槽FPMSLM空載氣隙磁密解析法與有限元法計算結(jié)果對比

由圖8可得，解析法計算同樣可以反映半閉口槽10極12槽FPMSLM的空載氣隙磁密。

10極9槽FPMSLM的永磁體磁化方向長度hm=7 mm，極弧系數(shù)αi=0.858，齒距t=22 mm，槽寬b=14.03 mm，極距τ=20.4 mm，氣隙長度δ0=1 mm。同時利用解析法與有限元法對其氣隙磁場進行計算。

圖9為開口槽結(jié)構(gòu)10極9槽FPMSLM結(jié)構(gòu)圖。該FPMSLM的極中心線相對于齒中心線右移10 mm。

圖9 開口槽結(jié)構(gòu)10極9槽FPMSLM結(jié)構(gòu)圖(單位：mm)

圖10為電機處于圖9位置時，電機空載氣隙磁密解析法與有限元法結(jié)果對比圖。

圖10 電機處于圖9位置時，電機空載氣隙磁密解析法與有限元法結(jié)果對比

圖11為半閉口槽結(jié)構(gòu)10極9槽FPMSLM結(jié)構(gòu)圖，極中心線與齒中心線對齊。

圖11 半閉口槽結(jié)構(gòu)10極9槽FPMSLM結(jié)構(gòu)圖

圖12為半閉口槽10極9槽FPMSLM空載氣隙磁密解析法與有限元法計算結(jié)果對比。

圖12 半閉口槽10極9槽FPMSLM空載氣隙磁密解析法與有限元法計算結(jié)果對比

表1為解析法與有限元法的基波幅值及其誤差對比。表2為解析法與有限元法的3次諧波幅值及其誤差對比。

表1 解析法與有限元法基波幅值對比

表2 解析法與有限元法3次諧波幅值對比

由表2的數(shù)據(jù)可知，解析法與有限元法存在誤差。在實際情況中，由于鐵心磁導(dǎo)率遠大于氣隙，受媒質(zhì)突變和邊緣效應(yīng)的影響在槽口邊沿處磁密會出現(xiàn)短距離的激增現(xiàn)象，而解析法不存在磁密突增的情況；解析法在計算過程中，磁力線垂直槽底，而有限元法中，磁力線在槽中轉(zhuǎn)向槽壁，這2點均是解析法比有限元法存在誤差的原因。

4 結(jié) 語

本文采用解析計算的方法，對FPMSLM的空載氣隙磁密進行了分析和計算，得出FPMSLM的空載氣隙磁密解析式。并以2單元電機， 即10極12槽、10極9槽FPMSLM為例，分別用解析法和有限元法對電機的空載氣隙磁密進行計算，計算了解析法與有限元法所得結(jié)果的誤差。誤差的主要原因為，當解析法計算時，槽深為實際槽深，而實際情況下，磁力線并不會垂直指向槽底，可通過經(jīng)驗系數(shù)來計算等效槽深，以此減小誤差。解析法給出了FPMSLM空載氣隙磁場與電機結(jié)構(gòu)尺寸的直接關(guān)系式，與有限元方法相比，解析法提高了計算速度，降低了計算的規(guī)模，節(jié)約了時間成本，為進一步分析FPMSLM的工作特性提供了參考。