蔣昌波， 徐進(jìn)， 屈科

(1.長沙理工大學(xué) 水利工程學(xué)院，湖南 長沙 410114； 2.水沙科學(xué)與水災(zāi)害防治湖南省重點實驗室，湖南 長沙 410114； 3.洞庭湖水環(huán)境治理與生態(tài)修復(fù)湖南省重點實驗室，湖南 長沙 410114)

近年來，為滿足海洋油氣工程的需要，工程人員設(shè)計了一種新型的海底管線稱為“子母管線”。其常見的布置是將2條不同直徑的管線平行地捆綁為一個整體，其中直徑大的母管用于傳輸油氣，直徑小的子管線用來安裝監(jiān)測、通信設(shè)施或傳輸置換介質(zhì)[1]。相比傳統(tǒng)的海底管線，這種子母管線不僅更加安全，而且可以節(jié)省大量的工程建設(shè)費用，降低時間成本[2]。子母管線的布置是工程上比較關(guān)心的問題[3]，子母管線相對位置會直接影響其水動力特性。因此對子母管線的振動特性進(jìn)行系統(tǒng)的研究有助于確定合理的子母管線布置，為工程實踐提供設(shè)計方案。

國內(nèi)外的學(xué)者針對單管線和等直徑雙管線的水動力特性開展了系統(tǒng)的實驗[4-6]和數(shù)值模擬研究[7-9]，但是對于不等直徑雙管線的振動特性研究較少。早期，學(xué)者們對子母管線的研究主要針對空間固定的管線[10]，不考慮子母管線的運動，沒有系統(tǒng)研究子母管線的渦激振動特性。然而渦激振動是導(dǎo)致海底管道疲勞斷裂的主要原因[1]，因此需要對子母管線的渦激振動特性進(jìn)行研究。Zang等[11-12]采用實驗手段研究不同布置條件下的單自由度子母管線尾渦強(qiáng)度和管線振幅的變化規(guī)律，分析了子母管線的布置對其渦激振動的抑制作用，找到最優(yōu)的子母管線布置方案。但是這些研究只考慮了管線的橫向運動，忽略了子母管線在流向的振動過程。然而，相比管線的橫向振動，流向振動對管線的破壞作用也不可忽略[13]。而且，在子母管線小質(zhì)量比的情況下，管線的橫向運動和流向運動存在明顯的耦合效應(yīng)[14]。因此有必要對子母管線雙自由度渦激振動特性進(jìn)行深入研究。

為了彌補(bǔ)現(xiàn)有研究不足，本文采用高精度浸沒邊界方法的數(shù)值模擬了低雷諾數(shù)下(Re=150)雙自由度子母管線的渦激振動現(xiàn)象，對比單自由度和雙自由度情況下子母管線渦激振動特性的區(qū)別，分析不同的管線布置對雙自由度子母管線振動特性和鎖定區(qū)間的影響。

1 數(shù)值方法

1.1 控制方程

對于流固耦合問題，其不可壓縮流的連續(xù)性方程和動量方程分別為：

(1)

(2)

式中：ui為笛卡爾坐標(biāo)系下的流速；p為真實壓強(qiáng)除以密度ρ；雷諾數(shù)Re=UD/υ；U為流體的速度；υ為動力粘度；D為特征長度。

假設(shè)圓柱用彈簧固定，考慮結(jié)構(gòu)阻尼，其運動控制方程為：

(3)

式中：對于物體平動；M為質(zhì)量；Yi分別為x、y2個方向上的位移；C為阻尼因子；K為彈簧的勁度系數(shù)；Fi分別為x、y2個方向上所受到的水流力。

物體與流體交界面上的邊界條件為：

(4)

為了求解式(3)，將其轉(zhuǎn)化成一階常微分方程：

(5)

(6)

1.2 流固耦合求解

式(3)右側(cè)流體作用在物體上的力矢量F是位移Y和流場信息w的函數(shù)，式(3)可以改寫成：

(7)

式中:w為包含所有流場變量的向量，即w=(up)T。將式(7)半離散為：

(8)

式中：a和b為常數(shù)(a+b=1，a>0，b>0)，若采用松耦合(顯式)求解，則b=0，若采用強(qiáng)耦合(隱式)求解，則b≠0。本文主要探討松耦合情況：

1)根據(jù)已知物體位置Yn，即物體邊界條件，通過求解式(2)得到un+1和pn+1；

2)利用n步的位置Yn和n+1步的流場向量wn+1計算得到物體上受到的力(或力矩)，F(xiàn)=F(Yn,wn+1)；

3)

(9)

(10)

通過式(9)、(10)離散格式求解式(8)得到Y(jié)n+1，實現(xiàn)浸沒邊界方法重要的一步是將網(wǎng)格節(jié)點分為流體、邊界和物體內(nèi)部網(wǎng)格，如圖1所示。物體周圍網(wǎng)格節(jié)點作為邊界節(jié)點需要進(jìn)行邊界條件重構(gòu)，邊界外的網(wǎng)格節(jié)點為流體，而物體內(nèi)部的節(jié)點不參與計算，詳細(xì)的數(shù)值方法參考文獻(xiàn)[15]。

圖1 浸沒邊界網(wǎng)格劃分Fig.1 The schematic of immersed-boundary grid

1.3 無量綱化

將式(3)的變量無量綱化，得到：

(11)

2 模型驗證

當(dāng)圓柱的自然頻率與渦脫落頻率一致時，發(fā)生鎖定現(xiàn)象，此時圓柱有較大的振幅。為了驗證本模型模擬渦激振動問題的準(zhǔn)確性，采用與文獻(xiàn)[15-16]相同的工況進(jìn)行驗證。計算區(qū)域為34D×16D的二維矩形區(qū)域，圓柱距離進(jìn)口和底邊界皆為8D。在圓柱周圍3D×3D的矩形區(qū)域中對網(wǎng)格進(jìn)行加密，最小網(wǎng)格尺寸為dx=dy=0.02D，計算時間步長為0.008 s。雷諾數(shù)Re和圓柱的質(zhì)量比m*不變分別為150和2，改變圓柱的約化速度Ur，并將計算結(jié)果與文獻(xiàn)[15-16]的結(jié)果進(jìn)行對比。圖2展示了最大橫向振幅與約化速度的關(guān)系，圖中的Ay為最大橫向無因次振幅，Ay=(ymax-ymin)/2D，其中ymax和ymin分別為橫向位移的最大值和最小值。從圖中可以看出本模型的計算值與文獻(xiàn)[15-16]結(jié)果吻合度高，圓柱的鎖定區(qū)域為3.5≤Ur≤7.5。通過驗證可以證明本模型能夠準(zhǔn)確地模擬出圓柱渦激振動的振幅和鎖定發(fā)生的范圍。

圖2 最大橫向振幅Ay隨約化速度Ur的變化Fig.2 The relationship between the maximum cross-flow amplitude Ay and reduced velocity Ur

3 問題描述

如圖3所示，直徑為D的大圓與直徑為d的小圓捆綁在一起組成一個整體，該整體稱為“子母管線”，同時擁有x和y方向2個平動自由度，且在x、y方向具有相同的自然頻率。由于子管與母管之間存在剛性連接，因此兩者作為一個整體同時運動。坐標(biāo)原點位于母管圓心處。圖中D為母管直徑、d為子管直徑、G為母管與子管之間的間距，e為母管與床面之間的間隙，θ為母管與子管圓心的連線與x軸負(fù)方向的夾角。為了研究子母管線的布置對渦激振動的影響，設(shè)置母管與子管的間距比G/D為0.2～0.5、母管與床面之間的空隙比e/D的范圍為0.2～1.0、角度θ分別為0°、90°和180°、子母管整體的質(zhì)量比m*分別為1、2和7。子管直徑d=0.5D、雷諾數(shù)Re=150和阻尼系數(shù)ξ=0.01固定不變。具體計算工況如表1所示。

圖3 子母管線布置Fig.3 The layout of piggyback pipeline

表1 計算工況表Table 1 The computational case

計算區(qū)域為35D×10D的矩形區(qū)域，母管至進(jìn)口的距離為10D，母管與床底的空隙e是變化的。在子母管線周圍6D×4D的區(qū)域?qū)W(wǎng)格進(jìn)行局部加密，最小網(wǎng)格尺寸dx=dy=0.02D，計算的時間步長為0.008 s。

4 結(jié)果分析

4.1 流向振動對橫向振動的影響

以m*=1、2、7和Ur=6的工況為例，分析流向振動對橫向振動產(chǎn)生的影響。圖4(a)給出了m*=1，Ur=6時橫向無因次位移隨時間變化曲線，圖4中A=y/D，其中y為圓柱瞬時位移。此時雙自由度管線的最大橫向振幅和平均振幅分別比單自由度時大8.1%和14%。除了振幅不同外，雙自由度管線的振動頻率也略快于單自由度的情況。圖4(b)展示了m*=2，Ur=6時橫向無因次振幅隨時間變化曲線，與m*=1時相同，也是雙自由度的管線具有更大的振幅，但是由于質(zhì)量比的增大，其振幅增大的幅度略有減小，雙自由度的管線最大橫向振幅和平均振幅分別比單自由度時增大7.9%和12%。圖4(c)展示了m*=7，Ur=6時橫向無因次位移隨時間變化曲線，此時雙自由度與單自由度時管線的最大橫向振幅和平均振幅的差值均小于1%，且兩者具有相同的振動頻率。

4.2 質(zhì)量比對子母管線渦激振動的影響

為了研究質(zhì)量比對子母管線渦激振動的影響，共設(shè)置3個不同的質(zhì)量比，分別為m*=1、2、7。除了質(zhì)量比外，其余參數(shù)皆不變，即母管和子管的直徑比d/D=0.5、子管相對于母管的角度θ=90°、間距比G/D=0.5、空隙比e/D=0.5。

圖5(a)展示了不同質(zhì)量比子母管線的橫向最大振幅隨約化速度的變化，從圖中可看出質(zhì)量比越小Ay的最大值越大，鎖定區(qū)間也越寬。當(dāng)m*=1時，橫向最大振幅出現(xiàn)了2個峰值，分別在Ur=6和Ur=13處，而m*=2和m*=7時的最大橫向振幅只有一個峰。當(dāng)m*=2時Ay的最大值與m*=1時的最大值相近，但是其鎖定區(qū)間較m*=1時有所縮窄。當(dāng)m*=7時，只在Ur=4和5時出現(xiàn)較大振幅，鎖定區(qū)間較m*=2時進(jìn)一步縮窄，此時Ay的最大值只有m*=1時的33.4%。圖5(b)展示了不同質(zhì)量比子母管線的最大流向振幅隨約化速度的變化，圖中Ax為最大流向無因次振幅，Ax=(xmax-xmin)/2D，其中xmax和xmin分別為流向位移的最大值和最小值。從圖中可看出流向振幅與橫向振幅有相同的變化規(guī)律，m*=1時,出現(xiàn)2個峰值，m*=2,7時,只有一個峰值。通過對比可發(fā)現(xiàn)，在該組工況下流向振幅相對于橫向振幅是不可忽略的，m*=1,2,7時,Ax最大值分別為Ay最大值的32.4%、20.4%和20.0%。

圖4 Ur=6時橫向位移時程曲線Fig.4 Time history of cross-flow displacement under Ur=6

圖5 不同質(zhì)量比情況下最大振幅隨約化速度的變化Fig.5 The relationship between the maximum amplitude and reduced velocity under different mass ratio

為了研究質(zhì)量比對管線振動頻率和振動軌跡的影響，以Ur=5的工況為例。圖6分別展示了Ur=5，m*=1,2,7時，橫向和流向無因次位移的譜分析。從圖6(a)看出所有的質(zhì)量比情況下橫向位移的譜只有一個譜峰，而且質(zhì)量比越小譜峰越高，譜峰頻率越小。圖6(b)中m*=1和7時的流向位移的譜峰較m*=2時要小，但是從圖5(b)可以發(fā)現(xiàn)m*=1時的最大流向振幅要大于m*=2，導(dǎo)致m*=1時的譜峰小于m*=2時的原因是:m*=1時出現(xiàn)2個譜峰，分別在f=0.18 Hz和0.35 Hz處，頻率分布更分散，而m*=2時只有一個主頻，且其振動頻率主要集中于主頻附近。由于m*=1時有多個不同的振動頻率，所以子母管線的振動軌跡沒有明顯的周期性(圖7(a))。而m*=2和m*=7時橫向振動頻率和流向振動頻率相近，因此圖7(b)和(c)中的軌跡呈現(xiàn)出“0”字形。

圖6 Ur=5時橫向振幅和流向振幅的譜分析Fig.6 The spectrum analysis of cross-flow amplitude and down-stream amplitude under Ur=5

圖7 Ur=5，m*=1,2,7時子母管線的運動軌跡Fig.7 The piggyback pipeline movement under Ur=5,m*=1, 2, 7

4.3 間距比對子母管線渦激振動的影響

本節(jié)設(shè)置間距比G/D分別為0、0.15、0.25、0.50，研究間距比對子母管線渦激振動的影響。直徑比d/D、空隙比e/D、質(zhì)量比m*、子管相對于母管的角度θ皆不變，分別為0.5、1.0、2和90°。

圖8展示了最大橫向振幅和最大流向振幅隨約化速度的變化，從圖中可發(fā)現(xiàn)間距比不同的情況下出現(xiàn)Ay和Ax峰值時的約化速度是不同的。從圖8(a)中發(fā)現(xiàn)G/D=0,0.15時,Ay最大值出現(xiàn)在Ur=5處，G/D=0.25,0.50時,在Ur=6處出現(xiàn)Ay的峰值。圖8(b)中看出G/D=0,0.15和0.25時,分別在Ur=6、5和5處出現(xiàn)Ax的最大值，而G/D=0.50的流向振幅較小可以忽略。同時，不同間距比子母管線的振幅也不同，子母管線Ay和Ax的峰值均隨著G/D的增大而減小，其中G/D=0時Ay的最大值是G/D=0.50時的2.26倍。除此之外，間距比G/D=0時的鎖定區(qū)間最寬，而G/D=0.15,0.25,0.50時的鎖定區(qū)間較為接近。

圖9分別展示了G/D=0，0.15，0.25，0.50，Ur=5時，子母管線周圍瞬時渦量云圖。圖9(a)中子管與母管的間距比為0，可以看到該工況下的子管與母管作為整體一起脫渦，2個圓柱間的相互干擾較少，導(dǎo)致了G/D=0時出現(xiàn)最大的橫向和流向振幅。從圖9(b)～(d)中可以看出隨著G/D的增大，2個圓柱不再作為整體一起脫渦，子管與母管之間的相互干擾增強(qiáng)。圖9(d)中間距比G/D=0.50，子管與母管上均有明顯的渦脫落，在此時刻子管的渦向下脫落對母管的脫渦產(chǎn)生了干擾。通過上述的分析可看出，子管與母管之間的間距較小時，2個圓柱作為一個整體，其相互間的干擾較少，從而導(dǎo)致其振幅較大。隨著間距的增大，子管與母管各自皆有渦脫落，兩圓柱間的相互干擾增強(qiáng)，會對子母管線的渦激振動產(chǎn)生抑制作用，使得振幅逐漸減小。

圖8 不同間距比情況下最大振幅隨約化速度的變化Fig.8 The relationship between the maximum amplitude and reduced velocity under different the spacing-to-diameter ratio

圖9 不同間距比情況下子母管線周圍瞬時渦量云圖Fig.9 The instantaneous vorticity around piggyback pipeline under different spacing-to-diameter ratio

4.4 空隙比對子母管線渦激振動的影響

子管與母管的直徑比d/D=0.5、間距比G/D=0.5、子管相對于母管的角度θ=90°、質(zhì)量比m*=2保持不變，空隙比分別為0.2、0.3、0.5和1.0，研究空隙比對子母管線渦激振動的影響。

圖10分別展示了最大橫向和流向無因次振幅隨約化速度的變化。從圖10(a)中可看出，不同的空隙比情況下，出現(xiàn)Ay最大值時的約化速度是不同的，e/D=0.2，0.3，0.5，1.0時出現(xiàn)橫向最大振幅峰值的約化速度分別為Ur=8，7，5，6。此外，所有的空隙比情況下Ay的峰值相差較小。圖10(b)中發(fā)現(xiàn)所有的工況下流向振幅均比較小，可以忽略。

圖11分別展示了子母管線振動的橫向和流向振動平衡位置，圖中的Px=(xmax+xmin)/2D和Py=(ymax+ymin)/2D，分別為x和y方向的平衡位置。從圖11(a)中可以看出e/D=0.5和1.0時，管線橫向振動的平衡位置更接近于初始位置(Py=0)，而e/D=0.2和0.3時，管線的平衡位置比e/D=0.5和1.0時偏上些，這是由于管線離床面近使其向下振動的過程受到了床面的抑制。圖11(b)中的流向平衡位置與空隙比無關(guān)，而隨著約化速度的增大不斷增大。

圖10 不同空隙比情況下最大振幅隨約化速度的變化Fig.10 The relationship between the maximum amplitude and reduced velocity under different the gap-to-diameter ratio

圖11 不同空隙比情況下橫向平衡位置和流向平衡位置隨約化速度的變化Fig.11 The relationship between the cross-flow mean position， down-stream mean position and reduced velocity under different the gap-to-diameter ratios

4.5 角度對子母管線渦激振動的影響

為了研究角度對子母管線渦激振動的影響，改變子管與母管的相對角度，θ分別為0°、90°和180°。保持子母管線管的直徑比d/D=0.5、間距比G/D=0.5、質(zhì)量比m*=2和空隙比e/D=0.5不變。

圖12分別展示了θ=0°，90°，180°時橫向最大振幅和流向最大振幅隨約化速度的變化。從圖12(a)中可發(fā)現(xiàn)θ=90°即雙圓柱并列時，最大橫向振幅的峰值出現(xiàn)在Ur=6處，其峰值是θ=0°和180°時的2.5倍以上。當(dāng)θ=0°即子管位于母管上游時，子母管線的Ay較小而且只有很窄的鎖定區(qū)間，只在Ur=4和5的情況下出現(xiàn)較大振幅；當(dāng)θ=180°即子管位于母管下游時，Ay的峰值與θ=0°時相近，但是其鎖定區(qū)間更寬。從圖12(b)中看出θ=90°時最大流向振幅與最大橫向振幅相差較大，Ax的峰值只有Ay峰值的20.4%，而θ=0°和180°時的最大Ax的最大值占到Ay最大值的50%以上。

圖12 不同角度情況下最大振幅隨約化速度的變化Fig.12 The relationship between the maximum amplitude and reduced velocity under different angles

圖13分別展示了θ=0°,90°,180°，約化速度Ur=5時，子母管線周圍的渦量云圖，其中圖13(a)、(b)、(c)中的子母管線處于上升趨勢，圖13(d)、(e)、(f)處于下降趨勢。圖13(a)、(d)中母管位于子管的下游，母管有渦脫落，而由于兩圓柱的間距小于子管尾渦的長度，使得子管的脫渦受到母管的抑制。圖13(b)、(e)中的母管和子管皆有渦脫落，當(dāng)子母管線處于上升階段時，圓柱的渦向下脫落，而當(dāng)子母管線處于下降階段時，圓柱的渦向上脫落，可看出在運動過程中子管與母管脫渦相互干擾。圖13(c)、(f)中子管位于母管的尾渦區(qū)中，受到母管尾渦的屏蔽，子管上沒有渦脫落，同時由于子管的存在對母管的脫渦產(chǎn)生了干擾。通過上述的分析可得出在該組工況下，子管和母管串列時兩圓柱之間的干擾對子母管線渦激振動的抑制作用更強(qiáng)，而子管與母管并列時的干擾相對較弱，因此并列情況下子母管線有更大的振幅。

圖13 不同角度情況下子母管線周圍瞬時渦量云圖Fig.13 The instantaneous vorticity around piggyback pipeline under different angles

5 結(jié)論

1)低質(zhì)量比時流向自由度對子母管線的橫向振動的影響較大，導(dǎo)致雙自由度的子母管線比單自由度時具有更大的橫向振幅。此外，隨著質(zhì)量比的增大，雙自由度子母管線的橫向振幅和流向振幅的峰值均減小，而且鎖定區(qū)間也逐漸縮窄。

2)在間距比G/D=0時，子管與母管作為一個整體一起脫渦，相互之間的干擾較小，導(dǎo)致了子母管線有最大的橫向和流向振幅。而隨著間距比的增大，子管與母管之間的干擾增強(qiáng)，管線的最大振幅逐漸減小。尤其是當(dāng)間距比為0.50時，管線上的流向振幅很小，可以忽略。

3)空隙比對子母管線最大橫向振幅的影響相對較小，但是會導(dǎo)致出現(xiàn)最大橫向振幅峰值時的約化速度不同。流向平衡位置與空隙比是無關(guān)的，而橫向平衡位置與其有關(guān)，當(dāng)空隙比較小時，床底會抑制子母管線向下的振動，導(dǎo)致管線的平衡位置相對偏上。

4)通過分析可以看出θ=90°時，子母管線上最大橫向振幅的峰值最大，是θ=0°和θ=180°時的2.5倍以上，說明子母管線并列時對子母管線渦激振動的抑制作用更強(qiáng)。