田 園，汪可友，徐 晉，李國(guó)杰

（電力傳輸與功率變換控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（上海交通大學(xué)），上海市200240）

0 引言

在不斷增長(zhǎng)的經(jīng)濟(jì)壓力和電力需求下，電力系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)的穩(wěn)定裕度不斷減小。系統(tǒng)調(diào)度人員經(jīng)常需要在極度緊張的情況下，實(shí)時(shí)計(jì)算可用的傳輸能力或?qū)崟r(shí)管理?yè)砣麊栴}。其中，最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一就是如何在線快速評(píng)估系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性并采取進(jìn)一步預(yù)防控制措施。傳統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估方法中，時(shí)域仿真法［1］計(jì)算精度高、對(duì)模型沒有限制，但耗時(shí)過長(zhǎng)無法適應(yīng)在線應(yīng)用。而直接法［2］雖然提供了暫態(tài)穩(wěn)定性的定量分析，但存在難以構(gòu)建復(fù)雜系統(tǒng)能量函數(shù)以及保守性等問題。

近年來，機(jī)器學(xué)習(xí)方法［3-7］因其評(píng)估計(jì)算過程簡(jiǎn)單，不需要建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算模型，在暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估方面取得了顯著成就。相關(guān)研究主要涉及深度置信網(wǎng)絡(luò)（deep belief network，DBN）［3］、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（convolutional neural network，CNN）［4］、決策樹（decision tree，DT）［5］、支持向量機(jī)（support vector machine，SVM）［6］和極限學(xué)習(xí)機(jī)（extreme learning machine，ELM）［7］等方法。基于機(jī)器學(xué)習(xí)的暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估本質(zhì)是學(xué)習(xí)電力系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)特征量與系統(tǒng)穩(wěn)定與否等信息之間的映射關(guān)系。其中，文獻(xiàn)［3］提出了一種基于DBN 的暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估方法。該模型先使用無標(biāo)注樣本進(jìn)行貪心無監(jiān)督學(xué)習(xí)，后使用有標(biāo)注樣本進(jìn)行監(jiān)督學(xué)習(xí)以訓(xùn)練DBN 模型。能夠在少量訓(xùn)練樣本和含有無關(guān)特征的情況下獲得較好的評(píng)估性能。文獻(xiàn)［4］提出一種基于穩(wěn)態(tài)特征量的CNN 綜合評(píng)估模型。采用多個(gè)結(jié)構(gòu)相同、參數(shù)不同的CNN 模型進(jìn)行結(jié)果綜合，得到“穩(wěn)定”“不穩(wěn)定”“不確定”3 種分類預(yù)測(cè)結(jié)果。并將結(jié)果不確定的樣本送入時(shí)域仿真作進(jìn)一步評(píng)估。上述方法主要關(guān)注對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定與否進(jìn)行分類，無法直接給出相應(yīng)系統(tǒng)極限切除時(shí)間（critical clearing time，CCT）等暫態(tài)穩(wěn)定性指標(biāo)，距離實(shí)際應(yīng)用仍有一定差距。

另一方面，電力系統(tǒng)運(yùn)行方式多變，基于離線數(shù)據(jù)構(gòu)建暫態(tài)穩(wěn)定邊界（transient stability boundary，TSB）時(shí)無法也不可能涵蓋所有情況。因而，機(jī)器學(xué)習(xí)方法的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度受限于其訓(xùn)練樣本分布。而實(shí)際運(yùn)行中，不斷積累的電力系統(tǒng)數(shù)據(jù)能夠?yàn)樵杏成渫诰蛱峁┬碌臉颖緮U(kuò)充。在線應(yīng)用階段中當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)新樣本時(shí)，離線階段所構(gòu)建預(yù)測(cè)模型應(yīng)當(dāng)能夠在無須重新大規(guī)模計(jì)算的基礎(chǔ)上快速更新，以提高其適應(yīng)性。

為此，本文提出了一種電力系統(tǒng)參數(shù)空間暫態(tài)穩(wěn)定邊界構(gòu)建方法。對(duì)于給定的關(guān)鍵故障和故障前后網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，基于寬度學(xué)習(xí)系統(tǒng)（broad learning system，BLS）［8］構(gòu)建極限切除時(shí)間與電力系統(tǒng)參數(shù)之間的映射關(guān)系，并結(jié)合閾值確定暫態(tài)穩(wěn)定邊界。通過構(gòu)建二次比例因子對(duì)構(gòu)建模型進(jìn)行改進(jìn)，以保證暫態(tài)穩(wěn)定邊界附近的最高預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率。為提高在線應(yīng)用的適應(yīng)性，提出了適應(yīng)在線快速更新的增量策略，在無須重新訓(xùn)練整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的情況下進(jìn)行模型快速更新。

本文采用IEEE 39 節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)和中國(guó)南方電網(wǎng)實(shí)例系統(tǒng)對(duì)所提方法進(jìn)行驗(yàn)證。通過對(duì)不同系統(tǒng)運(yùn)行方式和故障情況進(jìn)行分析，證明了本文所提模型相比其他方法具有更高的準(zhǔn)確率和泛化性能。另一方面，快速更新策略在保證更大范圍預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率的同時(shí)，大幅減少了模型訓(xùn)練時(shí)間，為在線暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估與后續(xù)優(yōu)化控制提供了支撐。

1 參數(shù)空間中的暫態(tài)穩(wěn)定邊界

暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估主要目的是探究受到大擾動(dòng)后，電力系統(tǒng)能否在一段時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定到可接受的運(yùn)行狀態(tài)［9］。為提供一種可同時(shí)描述不同運(yùn)行點(diǎn)暫態(tài)特性的方法，本文構(gòu)建了一種系統(tǒng)參數(shù)空間中的暫態(tài)穩(wěn)定邊界，并為后續(xù)計(jì)及暫態(tài)穩(wěn)定約束的最優(yōu)潮流計(jì)算以及暫態(tài)穩(wěn)定預(yù)防控制等問題提供暫態(tài)穩(wěn)定約束。因而，該暫態(tài)穩(wěn)定邊界需具備以下特點(diǎn)：以故障前系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)參數(shù)表示；最大程度減少實(shí)際系統(tǒng)故障切除時(shí)間閾值（穩(wěn)定邊界）附近的預(yù)測(cè)誤差；所構(gòu)建暫態(tài)穩(wěn)定邊界表達(dá)式必須是可微的。對(duì)于最優(yōu)潮流和預(yù)防控制等應(yīng)用，需要其可提供清晰的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。

為進(jìn)一步說明參數(shù)空間中暫態(tài)穩(wěn)定邊界的含義，以3 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例（系統(tǒng)結(jié)構(gòu)詳見附錄A 圖A1），繪制其參數(shù)空間暫態(tài)穩(wěn)定邊界如圖1 所示，其中P1和P2分別為發(fā)電機(jī)G1 和G2 的有功功率，均為標(biāo)幺值。

圖1 參數(shù)空間中的暫態(tài)穩(wěn)定邊界Fig.1 Transient stability boundary in parameter space

圖1 為極限切除時(shí)間映射曲面CCT( p)（詳見附錄A 圖A2，其中p=[ P1，P2]表示系統(tǒng)參數(shù)）在參數(shù)空間P1-P2中的等高線，即設(shè)置不同故障切除閾值tcl時(shí)暫態(tài)穩(wěn)定邊界在參數(shù)空間的投影。以設(shè)定故障切除時(shí)間閾值tcl=0.2 s 為例，暫態(tài)穩(wěn)定邊界CCT( p)-tcl=0 將潮流可行域［10］內(nèi)空間分為了“穩(wěn)定（極限切除時(shí)間大于0.2 s）”和“不穩(wěn)定（極限切除時(shí)間小于0.2 s）”兩部分。若在不考慮系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的情況下調(diào)整系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)，從運(yùn)行點(diǎn)1變?yōu)檫\(yùn)行點(diǎn)2，則預(yù)設(shè)故障發(fā)生后系統(tǒng)將失穩(wěn)。因而，若能提前確定暫態(tài)穩(wěn)定邊界，調(diào)度人員即可對(duì)當(dāng)前運(yùn)行狀態(tài)暫態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行快速評(píng)估，并在合理范圍內(nèi)調(diào)整系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)。另一方面，實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)所需情況選取不同tcl構(gòu)成相應(yīng)暫態(tài)穩(wěn)定邊界，以適應(yīng)具體的需求。例如，采取相對(duì)保守的策略，增大故障切除時(shí)間閾值以消除漏判（將不穩(wěn)定狀態(tài)判斷為穩(wěn)定狀態(tài)）的情況。

為此，若能夠準(zhǔn)確構(gòu)建極限切除時(shí)間與電力系統(tǒng)參數(shù)之間的函數(shù)映射關(guān)系CCT( p)，則可結(jié)合預(yù)設(shè)閾值tcl得到相應(yīng)暫態(tài)穩(wěn)定邊界以應(yīng)用于在線暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估和控制中。但需要注意的是，極限切除時(shí)間僅適用于包含故障切除的情況。為使穩(wěn)定性指標(biāo)適用于所有類型故障，可使用基于能量函數(shù)估算的暫態(tài)穩(wěn)定裕度替代極限切除時(shí)間。

2 暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估與控制框架

為說明擬構(gòu)建暫態(tài)穩(wěn)定邊界的實(shí)際應(yīng)用意義，本章提出了一種在線暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估與控制框架，如圖2 所示。

圖2 暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估與控制框架Fig.2 Framework of transient stability assessment and control

1）離線階段

首先，基于時(shí)域仿真法獲取關(guān)鍵故障下的初始訓(xùn)練樣本。然后，基于BLS 構(gòu)建極限切除時(shí)間與系統(tǒng)參數(shù)之間的映射關(guān)系。步驟如下：通過網(wǎng)絡(luò)搜索法確定算法系統(tǒng)參數(shù)；基于誤差修正（減少預(yù)設(shè)故障切除時(shí)間閾值附近的預(yù)測(cè)誤差）構(gòu)建相應(yīng)故障下的CCT( p)；結(jié)合預(yù)設(shè)故障切除時(shí)間閾值tcl，確定暫態(tài)穩(wěn) 定 邊 界 CCT( p)-tcl=0。 其 中 ，p=[ p1，p2，…，pn]表示故障前系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)參數(shù)向量（如發(fā)電機(jī)輸入、負(fù)荷、線路傳輸功率和節(jié)點(diǎn)電壓、相角等），n 表示特征參數(shù)個(gè)數(shù)。

2）在線階段

基于離線階段所構(gòu)建的CCT( p)，結(jié)合預(yù)設(shè)故障切除時(shí)間閾值tcl，運(yùn)行點(diǎn)p 暫態(tài)穩(wěn)定裕度Δ CCT( p)可表示為：

當(dāng)Δ CCT( p)＞0 時(shí)表示穩(wěn)定裕度大于0，即此時(shí)在發(fā)生給定故障的情況下系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于該方法首先構(gòu)建極限切除時(shí)間與電力系統(tǒng)參數(shù)之間的函數(shù)映射關(guān)系CCT( p)，在實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)所需情況，選取不同tcl構(gòu)成相應(yīng)暫態(tài)穩(wěn)定邊界，當(dāng)預(yù)設(shè)閾值tcl發(fā)生變化時(shí)無須重復(fù)構(gòu)建CCT( p)。另一方面，在線評(píng)估過程中，當(dāng)未包含在原始樣本集中的新運(yùn)行狀態(tài)出現(xiàn)時(shí)，將基于增量更新算法對(duì)已構(gòu)建暫態(tài)穩(wěn)定邊界進(jìn)行快速更新，以提高其對(duì)更大跨度的運(yùn)行點(diǎn)變化的適應(yīng)性。

同時(shí)，由于構(gòu)建算法過程中采用指示函數(shù)的變體形式的非線性激活函數(shù)，因而所構(gòu)建暫態(tài)穩(wěn)定邊界表達(dá)式高階可微，其將用于暫態(tài)穩(wěn)定預(yù)防控制模型中。以計(jì)及暫態(tài)穩(wěn)定約束的極限傳輸功率（transient stability constrained total transfer capability，TSC-TTC）計(jì)算為例，如圖2 所示，其過程循環(huán)以下步驟：關(guān)鍵故障篩選與排序→運(yùn)行狀態(tài)再分配→新運(yùn)行狀態(tài)暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估，該研究將在后續(xù)工作展開。

3 暫態(tài)穩(wěn)定邊界構(gòu)建與快速更新策略

3.1 基于寬度學(xué)習(xí)系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定邊界構(gòu)建

對(duì)于多機(jī)系統(tǒng)，針對(duì)某故障/故障后系統(tǒng)，潮流可行域內(nèi)故障前系統(tǒng)運(yùn)行點(diǎn)與暫態(tài)穩(wěn)定性指標(biāo)之間存在唯一的映射關(guān)系［11］。但計(jì)算中涉及大量耦合的非線性代數(shù)和微分方程，無法使用解析方法推導(dǎo)該映射函數(shù)。基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法研究暫態(tài)問題的理論基礎(chǔ)在于：包含物理機(jī)理的因果關(guān)系數(shù)據(jù)通常也表現(xiàn)出數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)關(guān)系的外在特征［12］。但由于堆疊層和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，深度學(xué)習(xí)系統(tǒng)訓(xùn)練所得模型的堆疊特性往往非常復(fù)雜，難以直接應(yīng)用于后續(xù)優(yōu)化控制模型中［13-14］。而BLS［8］從橫向上進(jìn)行神經(jīng)元擴(kuò)展，不在深度上進(jìn)行堆疊，在提高模型訓(xùn)練速度的同時(shí)提供了更為清晰的映射表達(dá)式，在后續(xù)應(yīng)用中更具優(yōu)勢(shì)。

BLS 架構(gòu)如圖3 所示。

圖3 BLS 架構(gòu)Fig.3 Framework of BLS

如圖3 所示，BLS 原始輸入通過轉(zhuǎn)換表征為特征節(jié)點(diǎn)Z，并且通過增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)E 從寬度上進(jìn)行擴(kuò)展。時(shí)域仿真法由于其可靠性和對(duì)模型沒有限制的特性，用于離線階段獲取初始訓(xùn)練樣本。某關(guān)鍵故障下初始數(shù)據(jù)樣本集{ P，TCC}表示為：

式中：P 為運(yùn)行點(diǎn)參數(shù)矩陣；TCC為對(duì)應(yīng)系統(tǒng)極限切除時(shí)間向量；N 為總樣本個(gè)數(shù)，每個(gè)樣本表示該故障情況下系統(tǒng)的一種運(yùn)行狀態(tài)；行向量p1，p2，…，pN為空間Rn中的向量；tcc，N為對(duì)應(yīng)第N 個(gè)樣本的極限切除時(shí)間。

基于訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù){ P，TCC}∈RN×(n+1)和NF個(gè)特征映射函數(shù)φi(?)，第i 個(gè)特征節(jié)點(diǎn)Zi表示為：

式中：We，i和βe，i為［-1，1］內(nèi)隨機(jī)生成的算法參數(shù)。為克服其隨機(jī)性，本文使用稀疏自動(dòng)編碼［8］將隨機(jī)特征調(diào)整為一組稀疏、緊湊的特征。

令特征節(jié)點(diǎn)集合Zn?[ Z1，Z2，…，ZNF]，則第j 個(gè)增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)Ej表示為：

式中：Wh，j和βh，j為在［-1，1］內(nèi)隨機(jī)生成的算法參數(shù)；φj(?)為激活函數(shù)；NE為增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

設(shè)增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)集合為Em?[ E1，E2，…，ENE]，則輸入（運(yùn)行點(diǎn)參數(shù)矩陣P）和輸出（對(duì)應(yīng)系統(tǒng)極限切除時(shí)間向量TCC）之間的映射表示為：

式中：函數(shù)φi(?)和φj(?)的選取沒有特殊限制，可根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行篩選［8］。

本文中，使用如下映射函數(shù)進(jìn)行模型構(gòu)建：

1）線性函數(shù)：φ(w，b，x)=wx+b。

2）高斯函數(shù)：φ(w，γ，x)=exp(-γ‖x-w‖2)。

3）指數(shù)函數(shù)：φ(w，b，x)=exp(-(wx+b))。

4）Sigmoid 函數(shù)：φ(w，b，x)=1/(1+exp(-(w?x+b)))。

上述函數(shù)中：w，b，γ 為模型系數(shù)；x 為輸入樣本。

進(jìn)而，由于所使用非線性激活函數(shù)均采用指數(shù)函數(shù)的變體形式，因此所構(gòu)建的CCT( p)高階可微，存在一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。同時(shí)，由式（5）可知，構(gòu)建參數(shù)空間中極限切除時(shí)間映射函數(shù)即為確定輸出權(quán)重矩陣Wout。給定懲罰因子λ 時(shí)，Wout由下述優(yōu)化問題求得：

綜上，極限切除時(shí)間與運(yùn)行點(diǎn)p 的映射關(guān)系為：

基于式（8），結(jié)合預(yù)設(shè)故障切除時(shí)間閾值tcl即可獲得當(dāng)前故障情況下的參數(shù)空間暫態(tài)穩(wěn)定邊界。

3.2 在線快速更新策略

為充分利用實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行中新出現(xiàn)的樣本，本節(jié)提出一種暫態(tài)穩(wěn)定邊界快速更新策略?；谟?jì)及增量學(xué)習(xí)的BLS（incremental strategy based BLS，IS-BLS）［8］，當(dāng)新樣本{ Pnew，TCC，new}加入時(shí)，首先增加NFA個(gè)特征節(jié)點(diǎn)：

如圖3 所示，基于新增加的特征節(jié)點(diǎn)Zn，new，新增NEA個(gè)增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)，合并表示為：

基于嶺回歸對(duì)輸出矩陣進(jìn)行更新，表示為：

其中：

由式（12）可知，當(dāng)有新樣本{ Pnew，TCC，new}加入時(shí)，輸出矩陣Wout，new的更新過程僅需計(jì)算對(duì)應(yīng)矩陣的偽逆，無須重新訓(xùn)練整個(gè)網(wǎng)絡(luò)。因此，基于ISBLS 的增量學(xué)習(xí)策略，可在保證預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率的同時(shí)對(duì)暫態(tài)穩(wěn)定邊界進(jìn)行快速更新，提高了所構(gòu)建暫態(tài)穩(wěn)定邊界在線應(yīng)用的適應(yīng)性。綜上，暫態(tài)穩(wěn)定邊界構(gòu)建及快速更新策略算法偽代碼詳見附錄B。

4 算例分析

4.1 參數(shù)空間中暫態(tài)穩(wěn)定邊界分析

首先，采用IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)［9］進(jìn)行分析（系統(tǒng)圖詳見附錄C 圖C1）。該系統(tǒng)共包含10 臺(tái)發(fā)電機(jī)、39 條母線和46 條線路，代表美國(guó)新英格蘭州1 個(gè)345 kV 的電力網(wǎng)絡(luò)，其中1 號(hào)母線上的發(fā)電機(jī)是平衡機(jī)。根據(jù)系統(tǒng)潮流分布可將整個(gè)系統(tǒng)分為3 個(gè)區(qū)域。為繪制2 維參數(shù)空間示意圖，改變節(jié)點(diǎn)3 和4 的發(fā)電機(jī)組出力：PGi=PGi，0[1+(k-2)×0.05]，其中PGi，0為發(fā)電機(jī)i 初始有功出力值，k=1，2，…，20。發(fā)電機(jī)采用二階經(jīng)典模型，負(fù)荷模型采用恒阻抗模型。令關(guān)鍵故障分別發(fā)生在靠近母線4 和16 處（記為故障1 和故障2），故障類型為最嚴(yán)重的三相短路故障。分別考慮不同切除策略，故障1 切除后不切除線路，系統(tǒng)拓?fù)洳蛔?；故? 切除母線15 和16 之間線路。選取發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)3 和4 的機(jī)組出力作為系統(tǒng)參數(shù)p=[ PG3，PG4]，每種故障情況包含400 個(gè)樣本。選取70%樣本作為算法網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練集，剩余30%作為測(cè)試集?；诰W(wǎng)絡(luò)搜索法確定模型的最優(yōu)參數(shù)(NF，NE)，搜索參數(shù)空間維度為[1，300]×[1，300]。φ(?)和φ(?)分別選取線性、指數(shù)函數(shù)。由于篇幅限制，正文中僅列出效果最優(yōu)的映射函數(shù)，其他映射函數(shù)組合構(gòu)建結(jié)果對(duì)比詳見附錄C 表C1。使用以下指標(biāo)驗(yàn)證模型效果。

1）均方根誤差（root mean squared error，RMSE）：

RMSE 主要反映模型構(gòu)建精度，提供實(shí)際值與預(yù)測(cè)值之間的絕對(duì)差距。

2）相對(duì)誤差平均值（relative error mean value，REMV）：

REMV 主要用于測(cè)量模型預(yù)測(cè)的質(zhì)量，反映預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的相對(duì)誤差。

計(jì)及和不計(jì)及臨界誤差修正時(shí)算法預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比如表1 所示，其中TSB1 和TSB2 分別表示故障1和故障2 情況下所構(gòu)建暫態(tài)穩(wěn)定邊界。其中，故障切除時(shí)間閾值tcl設(shè)為0.2 s［15］；臨界誤差表示在tcl±0.01 s 范圍內(nèi)的樣本誤差；最大測(cè)試誤差為所有測(cè)試樣本中誤差的最大值。特別地，時(shí)間閾值tcl對(duì)CCT( p)構(gòu)建并無影響，實(shí)際使用時(shí)需根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)情況靈活調(diào)整。

表1 不同故障情況下暫態(tài)穩(wěn)定邊界構(gòu)建結(jié)果Table 1 Construction results of transient stability boundaries with different faults

從表1 中可以看出，計(jì)及臨界誤差修正后樣本的臨界誤差RMSE 均小于0.1 ms，提高了暫態(tài)穩(wěn)定邊界附近的預(yù)測(cè)精度。雖然降低臨界誤差的同時(shí)，總預(yù)測(cè)誤差RMSE 比不計(jì)及臨界誤差修正時(shí)稍有增大，但總預(yù)測(cè)誤差仍在0.4 ms 內(nèi)，不同故障情況下最大測(cè)試誤差也均小于0.8 ms，在可接受范圍內(nèi)，說明了臨界誤差修正的合理性。計(jì)及臨界誤差修正后所構(gòu)建的2 種故障情況下的CCT( p)曲面如圖4所示。

圖4 2 種故障下極限切除時(shí)間映射關(guān)系Fig.4 Mapping relationship of critical clearing time with two faults

圖5 為所構(gòu)建極限切除時(shí)間映射曲面（圖4 中藍(lán)色和綠色曲面）在參數(shù)空間PG3-PG4中的投影。如圖5 所示的2 維參數(shù)空間中，TSB1 與TSB2 分別表示故障1 和故障2 的暫態(tài)穩(wěn)定邊界?；赥SB1 和TSB2，參數(shù)空間被劃分為“故障1 和2 穩(wěn)定”“故障1和2 不穩(wěn)定”“僅故障1 穩(wěn)定”和“僅故障2 穩(wěn)定”4 個(gè)部分。進(jìn)而，對(duì)于給定的當(dāng)前系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)可快速對(duì)其暫態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

圖5 電力系統(tǒng)參數(shù)空間中的暫態(tài)穩(wěn)定邊界Fig.5 Transient stability boundaries in parameter space of power system

為進(jìn)一步分析不同輸入特征（PG3和PG4）對(duì)預(yù)期目標(biāo)響應(yīng)（極限切除時(shí)間）的邊際影響，附錄C 圖C2中繪制了不同輸入特征對(duì)應(yīng)的部分依賴圖和個(gè)體條件期望圖。如圖C2 所示，不同故障下PG3和PG4對(duì)預(yù)期目標(biāo)響應(yīng)極限切除時(shí)間影響程度不同。對(duì)比圖C2（a）中2 幅圖可知，故障1（靠近母線4 處發(fā)生三相短路）發(fā)生時(shí)，極限切除時(shí)間對(duì)發(fā)電機(jī)G4 的出力變化更為敏感。PG3對(duì)模型輸出幾乎沒有影響；發(fā)電機(jī)G4 的出力PG4與模型輸出之間呈現(xiàn)單調(diào)遞減關(guān)系，即PG4增加，極限切除時(shí)間降低，系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性降低；而當(dāng)故障發(fā)生在靠近母線16 時(shí)，發(fā)電機(jī)G3 和G4 的出力與模型輸出之間均呈現(xiàn)單調(diào)遞減關(guān)系，其變化都將在較大程度上影響系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性?；诖耍娋W(wǎng)調(diào)度人員可進(jìn)一步了解不同系統(tǒng)參數(shù)對(duì)暫態(tài)穩(wěn)定性的影響，進(jìn)而為其在暫態(tài)穩(wěn)定極限內(nèi)調(diào)整傳輸功率提供依據(jù)。

此時(shí)，所構(gòu)建CCT( p)的緊湊形式表示為：

式中：a、bi、c、di和ei為訓(xùn)練所得模型系數(shù)。結(jié)合預(yù)設(shè)斷路器故障切除時(shí)間閾值tcl，其對(duì)應(yīng)暫態(tài)穩(wěn)定邊界表示為CCT( p) -tcl= 0。

4.2 不同負(fù)荷運(yùn)行方式下的算法性能分析

考慮更大范圍運(yùn)行點(diǎn)變化，改變IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)區(qū)域3 中各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)有功功率：PLi=PLi，0[1+(k-2)×0.3]，其中PLi，0為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)i 初始有功值，i=16，20，21，23，24，k=1，2，…，5。相應(yīng)改變區(qū)域1和3 發(fā)電機(jī)出力保證系統(tǒng)功率平衡。故障點(diǎn)與故障類型同4.1 節(jié)，每種故障情況包含1 024 個(gè)樣本。為測(cè)試不同算法的泛化性能，按照樣本空間分布分別選取總樣本前10%、30%至70%樣本作為訓(xùn)練集，末尾30%作為測(cè)試集。首先，對(duì)比如下2 種運(yùn)行點(diǎn)參數(shù)選取策略：

策略1：選取除平衡節(jié)點(diǎn)外區(qū)域1 和3 中發(fā)電機(jī)出力作為系統(tǒng)參數(shù)。

策略2：選取除平衡節(jié)點(diǎn)外發(fā)電機(jī)出力與各變化負(fù)荷節(jié)點(diǎn)有功功率作為系統(tǒng)參數(shù)。

2 種運(yùn)行點(diǎn)參數(shù)選取策略對(duì)比結(jié)果如附錄D 圖D1 所示。觀察圖D1，對(duì)比策略1 和2 結(jié)果可知，當(dāng)選取總樣本前10%樣本作為訓(xùn)練集時(shí)，由于訓(xùn)練樣本在參數(shù)空間的分布與測(cè)試樣本在參數(shù)空間的分布差異較大，其測(cè)試誤差均較其訓(xùn)練誤差有較大差異，泛化誤差大。但隨著訓(xùn)練樣本量的增加，當(dāng)使用前30%樣本訓(xùn)練模型時(shí)，測(cè)試誤差與訓(xùn)練誤差基本相同。后續(xù)增加訓(xùn)練樣本，模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率變化不大。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)空間維數(shù)超過2 維時(shí)，高維空間中暫態(tài)穩(wěn)定邊界無法直觀畫出，需要通過降維方法投影至三維空間以進(jìn)行可視化。由于篇幅限制，降維至三維空間的暫態(tài)穩(wěn)定邊界及部分依賴圖詳見附錄D 圖D2 和圖D3。

另一方面，當(dāng)訓(xùn)練樣本較少時(shí)（僅以總樣本前10%～20%進(jìn)行模型訓(xùn)練），策略2 的訓(xùn)練結(jié)果略差于策略1。這是由于當(dāng)樣本量過少時(shí)，樣本包含參數(shù)越多越容易產(chǎn)生過擬合問題。但隨著樣本的增加，策略2 的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率迅速提高。如表2 所示，當(dāng)使用30%樣本進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，策略2 預(yù)測(cè)結(jié)果與使用70%樣本訓(xùn)練結(jié)果基本一致，誤差均在0.4 ms 以內(nèi)，說明算法具有良好的泛化性能。

由于BLS 的本質(zhì)是一種隨機(jī)向量函數(shù)鏈接單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因而選用SVM 和ELM 模型［16］進(jìn)行對(duì)比。以策略2 構(gòu)建系統(tǒng)參數(shù)集合，其中，SVM 模型采用高斯函數(shù)作為核函數(shù)，ELM 模型采用Sigmoid 函數(shù)作為激活函數(shù)。由于篇幅限制，正文中僅列出了效果最優(yōu)的映射函數(shù)，更多映射函數(shù)構(gòu)建結(jié)果參見附錄D 表D1 和表D2。2 種算法均采用網(wǎng)格法和交叉驗(yàn)證進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)［14］。模型預(yù)測(cè)結(jié)果如表3 所示。

表2 不同系統(tǒng)參數(shù)選取策略結(jié)果對(duì)比Table 2 Results of different strategies for system parameter selection

表3 SVM 和ELM 模型預(yù)測(cè)結(jié)果Table 3 Prediction results of SVM and ELM models

對(duì)比表2 中策略2 的結(jié)果，BLS 模型預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于SVM 和ELM 模型?？梢杂^察到，當(dāng)訓(xùn)練樣本達(dá)到總樣本量的30%時(shí)BLS 模型和ELM 模型預(yù)測(cè)結(jié)果較10%時(shí)均有較大提高，但BLS 模型預(yù)測(cè)誤差僅為ELM 模型的1/2。說明當(dāng)訓(xùn)練樣本有限時(shí)，BLS 模型具有更好的泛化性能，應(yīng)用于在線暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估過程中更具優(yōu)勢(shì)。

4.3 快速更新策略適應(yīng)性分析

為驗(yàn)證暫態(tài)穩(wěn)定邊界快速更新策略的效率及其預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率，本節(jié)選取4.2 節(jié)總樣本中前70%樣本作為訓(xùn)練集備選，剩余30%作為測(cè)試集。首先，以總訓(xùn)練樣本的前20%進(jìn)行訓(xùn)練，然后在最初20%訓(xùn)練樣本基礎(chǔ)上，每次增加20%樣本對(duì)已構(gòu)建暫態(tài)穩(wěn)定邊界進(jìn)行更新，直到所有樣本都被訓(xùn)練為止，結(jié)果如表4 所示。同時(shí)，使用計(jì)及增量策略的在線序列ELM（online sequential ELM，OS-ELM）模型［15］進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表5 所示。

表4 更新策略結(jié)果Table 4 Result of update strategy

表5 OS-ELM 模型預(yù)測(cè)結(jié)果Table 5 Prediction result of OS-ELM model

表4 對(duì)比了使用和不使用更新策略時(shí)暫態(tài)穩(wěn)定邊界的構(gòu)建結(jié)果。觀察訓(xùn)練樣本比率為40%～60%和60%～100%時(shí)的IS-BLS 模型預(yù)測(cè)結(jié)果，使用更新策略的IS-BLS 模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率與直接使用對(duì)應(yīng)數(shù)量樣本重新訓(xùn)練整個(gè)模型時(shí)基本一致，但訓(xùn)練時(shí)間僅為其1/3，說明了IS-BLS 模型在無須重新大規(guī)模計(jì)算的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。另一方面，使用訓(xùn)練集前60% 樣本進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，2 種模型的RMSE 已小于0.4 ms，最大誤差小于1 ms，說明BLS 模型在訓(xùn)練樣本較少的情況下，仍能達(dá)到可接受的準(zhǔn)確率。

對(duì)比表4 和表5 結(jié)果可見，當(dāng)可用于訓(xùn)練暫態(tài)穩(wěn)定邊界的樣本較多時(shí)（40%～60% 和60%～100%），OS-ELM 訓(xùn)練結(jié)果與IS-BLM 結(jié)果相差不大，IS-BLM 略優(yōu)。但當(dāng)訓(xùn)練樣本較少時(shí)，IS-BLM預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率高于OS-ELM，泛化性能更好。同時(shí)，由于模型結(jié)構(gòu)具有一定相似性，IS-BLM 和OSELM 訓(xùn)練時(shí)間相差不大，均比未使用增量策略減少了2/3 左右。

4.4 實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法在實(shí)際電力系統(tǒng)中的適用性，本文使用中國(guó)南方地區(qū)電網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)例分析，其主網(wǎng)架結(jié)構(gòu)如附錄E 圖E1 所示。

基于PSD-BPA 軟件，在初始潮流方式基礎(chǔ)上，在80%～120%（以1%為變化步長(zhǎng)）基準(zhǔn)負(fù)荷下，改變區(qū)域XY 中負(fù)荷有功功率和無功功率（對(duì)應(yīng)調(diào)整發(fā)電機(jī)出力保證潮流收斂），共得到1 600 個(gè)潮流方式?？紤]N -1 關(guān)鍵故障：在區(qū)域XY 和N6 聯(lián)絡(luò)線靠近送端母線處發(fā)生三相短路故障。選取故障前區(qū)域XY 中各發(fā)電機(jī)出力與各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)有功功率作為系統(tǒng)參數(shù)。從總樣本中選取前70%樣本作為訓(xùn)練集，剩余30%作為測(cè)試集。首先，以訓(xùn)練集樣本的前50%構(gòu)建基礎(chǔ)暫態(tài)穩(wěn)定邊界，然后每次添加訓(xùn)練集剩余樣本的25%作為新增輸入樣本，直到將所有1 120 個(gè)訓(xùn)練樣本輸入模型為止。同時(shí)，采用OSELM 模型［17］進(jìn)行對(duì)比。試驗(yàn)結(jié)果如表6 所示。

表6 IS-BLS 和OS-ELM 模型結(jié)果對(duì)比Table 6 Result comparison between IS-BLS and OS-ELM models

對(duì)比OS-ELM 模型所得結(jié)果，當(dāng)訓(xùn)練樣本較少時(shí)基于IS-BLS 的暫態(tài)穩(wěn)定邊界構(gòu)建方法表現(xiàn)出了更優(yōu)越的預(yù)測(cè)和泛化性能。同時(shí)，與4.3 節(jié)結(jié)論一致，基于IS-BLS 的更新策略保證了實(shí)時(shí)更新模型的快速性和有效性。

需要注意的是，本文所構(gòu)建暫態(tài)穩(wěn)定邊界針對(duì)給定的關(guān)鍵故障和既定故障前后的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。當(dāng)系統(tǒng)故障類型和故障位置發(fā)生變化時(shí)需要重新構(gòu)建。為適應(yīng)在線應(yīng)用，實(shí)際中對(duì)所有可能故障情況和故障位置進(jìn)行離線構(gòu)建是不現(xiàn)實(shí)的。因而，需要先對(duì)系統(tǒng)關(guān)鍵故障進(jìn)行篩選以獲取關(guān)鍵故障集合，進(jìn)而考慮對(duì)系統(tǒng)影響最嚴(yán)重的故障類型進(jìn)行暫態(tài)穩(wěn)定邊界構(gòu)建。另一方面，由于電力系統(tǒng)拓?fù)湓诓煌收锨闆r下變化不大、電氣耦合關(guān)系不變，滿足基于特征選擇的遷移學(xué)習(xí)算法特征。因而，可以利用遷移學(xué)習(xí)方法在樣本較少的情況下快速構(gòu)建其他故障暫態(tài)穩(wěn)定邊界。該部分內(nèi)容將與關(guān)鍵故障集合的快速篩選方法一起作為后續(xù)研究?jī)?nèi)容。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種電力系統(tǒng)參數(shù)空間暫態(tài)穩(wěn)定邊界構(gòu)建和在線快速更新方法。通過橫向擴(kuò)展的BLS 算法構(gòu)建了故障前系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)參數(shù)和極限切除時(shí)間之間的映射關(guān)系，并結(jié)合穩(wěn)定閾值給出了相應(yīng)暫態(tài)穩(wěn)定邊界。為保證暫態(tài)穩(wěn)定邊界附近的預(yù)測(cè)可靠性，構(gòu)建了二次比例因子對(duì)臨界誤差進(jìn)行了修正。通過對(duì)算例進(jìn)行分析，計(jì)及臨界誤差修正后，模型大幅度減小了穩(wěn)定邊界附近的預(yù)測(cè)誤差，提高了暫態(tài)穩(wěn)定評(píng)估的可靠性。與其他方法相比，該模型具有更高的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率和泛化性能。同時(shí)，計(jì)及更新策略的IS-BLS 模型能夠在提高更新速度的同時(shí)保證預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率，為模型在線快速更新提供了可能。

另一方面，BLS 模型提供了清晰的暫態(tài)穩(wěn)定邊界表達(dá)式，可快速分析不同運(yùn)行點(diǎn)暫態(tài)穩(wěn)定裕度，在實(shí)際應(yīng)用中更具優(yōu)勢(shì)。此外，所構(gòu)建暫態(tài)穩(wěn)定邊界高階可微，將作為暫態(tài)穩(wěn)定約束用于后續(xù)暫態(tài)穩(wěn)定預(yù)防控制研究中。此內(nèi)容將作為研究的下一階段目標(biāo)。

本文中實(shí)驗(yàn)方案制定是在瑞典皇家理工學(xué)院Marina Oluic 博士和Mehrdad Ghandhari教授大力支持下完成，在此向他(她)們表示衷心的感謝。同時(shí)感謝博士后創(chuàng)新人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(BX20200221)的支持。

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