李 雪,王海龍，胡 敏，賈召賽，曹 鑫

（曲阜師范大學，山東 曲阜 273165）

0 引言

近年來，隨著低維半導體材料的發(fā)展以及分子束外延（MBE）、金屬有機化合物氣相沉積（MOCVD）等技術的成熟，人們對低維半導體結構的制備和表征進行了大量的工作。低維半導體材料所具有的獨特的電、磁、光、力學等物理特性[1-6]使其在光電器件的制備和應用方面展現出很大的潛力[7-20]。其中，Ⅲ-Ⅴ族窄帶隙半導體材料InAs具有電子遷移率高、有效質量小和自旋軌道耦合強等特點，是制備高速低功耗電子器件、紅外電子器件和自旋電子器件的理想材料。其異質結構InAs/InAlAs系統(tǒng)的導帶不連續(xù)性大，電子有效質量小，有利于提高電子量子化程度和電子相干性，適合制備高速、微波甚至毫米波場效應器件。

激子效應對于半導體光電器件的設計與制備有重要影響，因此有不少學者對激子進行了相關研究[21-25]。與體材料相比，一維量子線中的載流子在二維空間中受限，在三維空間中可以自由移動，即載流子被限制在納米尺度的線性區(qū)域內，激子效應更強，在半導體激光器、紅外光探測器等器件的制備方面得到了實際應用，引起了研究人員的廣泛關注。

在之前的工作中，采用變分法已經研究了InGaAsP/InP不同結構中的激子態(tài)[26-28]，在此基礎上，本文主要研究InAs/InAlAs圓形截面量子線中的激子態(tài)，并且重點計算了組分、量子線半徑、電場強度對激子結合能和發(fā)射能的影響，為InAs/InAlAs光電器件的設計提供一定的理論依據。

1 理論方法

定義量子線長和電場方向沿著z軸，圖1給出了量子線在x-y平面的截面圖。在有效質量包絡函數近似下，激子體系的哈密頓量可以表示為：

圖1 x-y平面內InAs/InAlAs量子線的橫截面

式中，He(h)代表電場作用下的電子（空穴）的哈密頓量，這兩項的具體形式為：

式中，R是量子線半徑。

He-h是電子-空穴的相互作用項（包括電子和空穴在x-y平面內相對運動的動能和電子與空穴之間的庫侖勢能），即：

式中，P⊥表示相對運動平面上的動量算符，μ是x-y平面的約化質量，ε為材料的介電常數，r是電子和空穴之間的距離，可分別寫為：

試探波函數采用如下形式[29]：

式中，ψe(re)和ψh(rh)是電子和空穴的本征函數，滿足方程：

ψr是一種類氫波函數，代表電子與空穴的相互作用，表達式為：

式中，λ是波爾半徑，作為變分參數來最小化系統(tǒng)的總能量，r′代表相對運動，形式為：

激子體系滿足薛定諤方程：

綜上，總的激子能量的期望值為：

2 結果與討論

研究對象為InAs/InxAl1-xAs量子線中的重空穴激子，計算過程中帶階取為67:33，其他物理參數與In組分x的關系為[30]：

圖2 不同電場強度下InAs/In0.95Al0.05As量子線中量子限制勢和波函數隨位置的變化

圖2所示為不同電場強度下InAs/In0.95Al0.05As量子線中量子限制勢和波函數的變化，可以看出，加入電場后，量子限制勢的對稱性被破壞，并且這種變化是線性的，與式（2）和式（3）中項有關。還可以看出，電場的存在使波函數發(fā)生了右移，這表示電子更容易向右穿透勢壘。此外，電場強度越大，量子限制勢和波函數的變化越明顯。

圖3顯示了不同量子線半徑下電子和空穴分離的非相關概率的變化情況。非相關概率是指沿著生長軸找到間隔為一定距離的電子和空穴的不相關概率（也就是在計算過程中可以忽略電子-空穴庫侖相互作用）?？梢钥闯?，隨著量子線半徑的增大，非相關逐漸減小，并且電子與空穴之間的距離越小，非相關概率的變化越快。這是因為電子和空穴之間的距離越大，庫侖相互作用就越弱，非相關概率變小。此外，由于庫侖相互作用與粒子間距離的平方成反比，因此距離越小，非相關概率變化得越快。

圖3 不同半徑下InAs/In0.95Al0.05As量子線中非相關概率隨距離的變化

圖4顯示了電場為0 kV/cm和5 kV/cm時，不同Al組分下的激子結合能與量子線半徑的變化關系。從圖4（a）中可以看出，激子結合能隨量子線半徑的減小呈現先增大后減小的變化趨勢，在4 nm左右出現最大值。這是因為半徑從較大值開始減小時，波函數被壓縮，量子線對粒子的限制作用變強，導致電子和空穴之間的距離變小，從而激子結合能開始增大。當半徑減小到4 nm左右時，電子和空穴之間的庫侖相互作用和量子限制作用最強，因此激子結合能出現最大值。隨著半徑的繼續(xù)減小，量子線對粒子的限制作用開始減弱，系統(tǒng)的波函數開始向勢壘中滲透，使得電子和空穴之間的庫侖相互作用變弱，激子結合能逐漸減小。此外，從圖4（a）中還可以看出，Al組分含量越高，激子結合能越大，這是因為Al組分含量的增加導致了更大的帶隙，提高了量子限制效應。圖4（b）與圖4（a）的變化趨勢基本一致，5 kV/cm的電場對激子結合能的影響不是很大。為了更明顯地看到二者的差別，圖4（c）給出了二者的差值，可以看到激子結合能的變化為0～0.75 meV，并且只有在量子線半徑過小或過大時，這種差異才較為明顯，這是因為當量子線半徑很小或很大時，電場效應占主導地位。

圖5給出了不同電場強度下InAs/In0.95Al0.05As量子線中激子結合能與半徑的關系?？梢钥闯?，當F取0 kV/cm、5 kV/cm以及10 kV/cm時，激子結合能隨量子線半徑的減小都呈現先增大后減小的趨勢，這是因為外加電場較小時對量子限制勢和波函數影響較小，所以電子和空穴受到的影響也較小，激子結合能變化趨勢一致。而當F取50 kV/cm時，激子結合能不再隨半徑的變化而變化，這是因為電場越大，電子和空穴之間的庫侖相互作用越弱，激子效應被破壞，激子結合能變得非常小，并且電場對激子的影響遠遠超過量子線半徑對激子的影響。

圖4 不同Al組分下激子結合能隨量子線半徑的變化和激子結合能的差值

圖5 不同電場強度下InAs/In0.95AL0.05As量子線中激子結合能隨量子線半徑的變化

圖6為InAs/In0.95Al0.05As量子線取不同半徑時激子結合能隨電場強度的變化情況?？梢钥闯?，激子結合能隨電場強度的增加呈現逐漸減小的趨勢，并且量子線的半徑越大，這種變化越明顯。這是因為量子線半徑越大，對載流子的約束作用越小，電子和空穴之間的庫侖相互作用越弱，因此激子更容易受到外加電場的影響。然而在量子線半徑較小的情況下，電子和空穴之間的庫侖相互作用較強，在一定程度上克服了電場的影響，激子結合能變化不大。

圖6 不同InAs/In0.95Al0.05As量子線半徑下激子結合能隨電場強度的變化

圖7給出了發(fā)射能與量子線半徑以及外加電場強度的關系。從圖中可以清楚地看到，發(fā)射能隨著量子線半徑和電場強度的增加而減小，這是因為當量子線半徑或電場強度增加時，粒子的能級變低，有效帶隙減小，所以發(fā)射能減小。

圖7 InAs/In0.95Al0.05As量子線中發(fā)射能隨電場強度和量子線半徑的變化

3 結語

本文在有效質量近似下采用變分法計算了InAs/InxAl1-xAs量子線中的激子結合能和發(fā)射能，考慮了組分和量子線半徑取不同值的情況，同時也討論了外加電場對激子結合能、發(fā)射能的影響。從計算結果可以看出,由于庫侖相互作用和量子限制作用的變化,激子結合能隨量子線半徑的減小呈現先增加后減小的趨勢，在4 nm左右出現最大值；Al組分的增加引起帶隙的增加，從而導致激子結合能增加；較小的電場對激子結合能的影響不大，然而當電場較大時會破壞激子效應，降低激子結合能；量子線半徑或電場強度的增大都會使發(fā)射能減小。計算結果可以為InAs/InAlAs光電器件的設計提供一定的理論依據。