高嫄嫄,王維玉,趙慶新,焦彥鵬

(1. 燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院,河北 秦皇島 066004; 2. 河北省建筑科學(xué)研究院,河北 石家莊 050021)

水泥混凝土路面中的板底自下而上裂縫是其在使用過(guò)程中由車輛荷載所引起的一種疲勞破壞形式.裂縫出現(xiàn)后,由于裂縫尖端的應(yīng)力集中現(xiàn)象將會(huì)加速裂縫擴(kuò)展,進(jìn)而影響水泥混凝土路面的使用壽命.因此,有必要對(duì)影響這類裂縫擴(kuò)展的因素開(kāi)展相關(guān)的研究工作.為了預(yù)估水泥混凝土路面中裂縫擴(kuò)展的情況,Maitra等[1]采用虛構(gòu)裂縫的方法建立裂縫在水泥混凝土路面中擴(kuò)展的數(shù)值計(jì)算模型,計(jì)算車輛荷載在路面內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力,對(duì)影響裂縫擴(kuò)展的原因進(jìn)行分析.Gotlif等[2]利用有限元軟件建立了含有一定深度裂縫的水平受限和不受限情況下的水泥混凝土路面的理論分析模型,并對(duì)路面的受力狀態(tài)進(jìn)行研究.通過(guò)有限元軟件建立含裂縫水泥混凝土路面的理論分析模型,并對(duì)路面受力狀態(tài)及影響裂縫擴(kuò)展的因素進(jìn)行研究是一種十分有效的方式,已經(jīng)取得了很多研究成果[3-5].通過(guò)有限元法獲得的結(jié)果有時(shí)不易為路面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)所應(yīng)用,而解析法在一定程度上可以有效地解決這一問(wèn)題.目前,一些學(xué)者通過(guò)解析的方法對(duì)水泥混凝土路面在車輛荷載作用下的動(dòng)力特性開(kāi)展了相關(guān)的研究工作[6-9],但是這些研究都是針對(duì)完好的水泥混凝土路面結(jié)構(gòu),對(duì)于路面含裂縫的情況沒(méi)有加以考慮.

在以往的研究中多將車輛荷載簡(jiǎn)化為靜荷載處理,但是有研究[10-12]表明車輛在行駛過(guò)程中使路面結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動(dòng)力效應(yīng)要遠(yuǎn)大于將車輛荷載視為靜荷載所產(chǎn)生的應(yīng)力.一些學(xué)者針對(duì)路面在車輛荷載作用下的動(dòng)力特性開(kāi)展了相關(guān)的研究工作[13-15].但是,大部分研究也都是針對(duì)完好的水泥混凝土路面,對(duì)含有裂縫水泥混凝土路面裂縫尖端動(dòng)力特性的研究還相對(duì)較少.

本次研究以斷裂力學(xué)理論為基礎(chǔ),建立板底有裂縫的水泥混凝土路面理論分析模型,考慮車輛荷載的作用效應(yīng),通過(guò)解析的方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解,獲得路面結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)及裂縫尖端動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式及數(shù)值解,對(duì)影響裂縫擴(kuò)展的主要因素進(jìn)行研究.

1 模型的建立

將板底含裂縫的水泥混凝土路面簡(jiǎn)化為Winkler地基上的彈性板,如圖1所示.其中h為水泥混凝土路面的厚度,x為水泥混凝土路面深度方向,y為水泥混凝土路面縱向方向,γ為地基模量,P(y)為車輛靜荷載.為考慮車輛荷載所以引起的路面結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性并簡(jiǎn)化公式推導(dǎo)過(guò)程,將車輛荷載視為P(y)H(y).其中H(t)為Heaviside單位階躍函數(shù);L為荷載作用范圍;a和b為裂縫兩端點(diǎn)到路表面的豎向距離,對(duì)于板底出現(xiàn)裂縫的情況b=h.

圖1 含裂縫水泥混凝土路面計(jì)算模型

為簡(jiǎn)化公式推導(dǎo)過(guò)程,由線彈性疊加原理,可將圖1所示模型簡(jiǎn)化為三部分疊加的形式,如圖2～4所示.圖2所示子模型一為水泥混凝土路面不含裂縫且路面作用有車輛荷載的問(wèn)題,圖3所示子模型二為水泥混凝土路面含有裂縫且裂縫表面作用有對(duì)稱荷載的問(wèn)題,圖4所示子模型三為水泥混凝土路面含有裂縫且裂縫表面作用有反對(duì)稱荷載的問(wèn)題.三個(gè)子模型疊加等價(jià)于圖1所示模型問(wèn)題.由于子問(wèn)題一的求解過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單,子問(wèn)題二和子問(wèn)題三的求解過(guò)程相類似,所以本次以子問(wèn)題二的公式推導(dǎo)過(guò)程為例說(shuō)明問(wèn)題的求解過(guò)程.由線彈性疊加原理,子問(wèn)題二中裂縫表面作用荷載與子問(wèn)題一在同一位置同一時(shí)刻產(chǎn)生的應(yīng)力大小相等且方向相反,即p(x,t)=-σyy(x,0,t).

子問(wèn)題二所示模型邊界條件為

σxx(0,y,t)=0, -∞

(1)

圖2 子模型一Fig.2 Sub-model 1

圖3 子模型二

圖4 子模型三

2 子問(wèn)題二的求解

平面動(dòng)力問(wèn)題的位移控制平衡方程可以統(tǒng)一表示為

其中：u為沿x方向位移;v為沿y方向位移;t為時(shí)間變量;c11=G(1+k)/(k-1);c22=G(1+k)/(k-1);c12=G(3-k)/(k-1);c66=G;G為剪切模量,對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題k=(3-μ)/(1+μ),對(duì)平面應(yīng)變問(wèn)題k=3-4μ,μ為泊松比.

子問(wèn)題二屬于平面應(yīng)變問(wèn)題,即k=3-4μ.

為求解位移控制方程組(9)和(10),對(duì)方程組中時(shí)間變量t做Laplace變換,可以得到

對(duì)偏微分方程組(11)和(12)中變量x和y分別做Fourier積分變換,將偏微分方程組轉(zhuǎn)化為常微分方程組進(jìn)行求解,并經(jīng)過(guò)Fourier積分逆變換可以得到位移在頻域內(nèi)的一組解：

其中：A1j、A2j分別為s和α的函數(shù)(j=1,…,4),

Re(λmj)≥0, (j=1,2)

Re(λmj)<0, (j=3,4)

由胡克定律應(yīng)力與位移的關(guān)系,應(yīng)力可以表示為

(15)

(16)

(17)

其中:

為公式推導(dǎo)方便,引入位錯(cuò)密度函數(shù),其定義為[16]

(18)

由邊界條件式(8)可以得到

A1j=0 (j=3,4)

(19)

將位移和應(yīng)力的表達(dá)式代入到邊界條件式(6)和(7)及位錯(cuò)密度函數(shù)定義式中,通過(guò)留數(shù)定理計(jì)算復(fù)雜積分,整理可得

(20)

式中:

將位移及應(yīng)力表達(dá)式代入到邊界條件式(1～4)中,對(duì)等式兩邊做Fourier積分變換,運(yùn)用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)雜積分,整理可得

(21)

(22)

(23)

(24)

方程組(21～24)可以表示為

(25)

其中：R1(u,α,p)、R2(u,α,p)、R3(u,α,p)和R4(u,α,p)是變量u、α和p的函數(shù).

解式(25)所示方程組可以得到A21、A22、A23和A24的具體表達(dá)式,將C1jC2jA1j和A2j代入到邊界條件式(5)中,化簡(jiǎn)整理可得

(26)

式中：

其中:

k∞(u,x,α)=e-(x+u)α(2-xα-3uα+2xuα2)

所以方程式(26)可以表示為

(27)

(28)

(29)

式中：ωj為權(quán)函數(shù),ωj=π/(n-1),j=2,…,n-1；ω1=ωn=π/2(n-1)；rj=cos[(j-1)π/(n-1)],j=1,…,n；si=cos[(2i-1)π/(2n-1)],i=1,…,n-1.

由位錯(cuò)密度函數(shù)的性質(zhì),對(duì)于平面內(nèi)部含有裂縫的問(wèn)題可以得到補(bǔ)充方程：

(30)

求解線性方程組式(29)和式(30),可以得到問(wèn)題的數(shù)值解.

由應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義式,對(duì)于Ⅰ型裂縫應(yīng)力強(qiáng)度因子可以表示為：

(31)

其數(shù)值解可以表示為

(32)

按照同樣的方法可以獲得子問(wèn)題三的解,即Ⅱ型裂縫的應(yīng)力強(qiáng)度因子,其定義式為

(33)

通過(guò)Crump[17]提出的Laplace數(shù)值積分逆變換可將得到的頻域內(nèi)的動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子轉(zhuǎn)化為時(shí)域內(nèi)的動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子.

3 計(jì)算實(shí)例分析

為驗(yàn)證公式推導(dǎo)的正確性,將子模型二中γ=0,p(x,t)=σ0H(t)時(shí)的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[18]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,計(jì)算結(jié)果如圖5所示.從圖5的計(jì)算結(jié)果可以看到,本次的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果基本吻合,也證明了本次所采用問(wèn)題求解方法的有效性.

圖5 與文獻(xiàn)[18]對(duì)比應(yīng)力強(qiáng)度因子KI的計(jì)算結(jié)果Fig.5 Calculation results of dynamic stress intensity factors KI comparing with literature [18]

圖6 不同裂縫長(zhǎng)度裂縫尖端a動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠa的計(jì)算結(jié)果(l=0 m)Fig.6 Calculation results of dynamic stress intensity factors KⅠaat crack tip a with different crack length (l=0 m)

圖7 不同荷載位置裂縫尖端a動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠa第一個(gè)峰值計(jì)算結(jié)果(d=0.03 m)Fig.7 Calculation results of first peak value of dynamic stress intensity factors KⅠaat crack tip a with different load position (d=0.03 m)

圖6～8為裂縫尖端a的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子分別在在考慮不同裂縫長(zhǎng)度、不同荷載位置和不同路面結(jié)構(gòu)層模量比的計(jì)算結(jié)果.從圖6的計(jì)算結(jié)果中可以看到動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子在經(jīng)過(guò)短時(shí)間的振蕩后迅速到達(dá)第一個(gè)正的峰值.在其它條件都不變的情況下動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著裂縫長(zhǎng)度的增加而增大,并且更快的出現(xiàn)第一個(gè)峰值.因此,裂縫長(zhǎng)度是衡量其是否繼續(xù)擴(kuò)展的一個(gè)重要因素.圖7的計(jì)算結(jié)果是考慮荷載位置對(duì)裂縫尖端動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子大小的影響,從圖中可以看到在l=0 m時(shí),即荷載關(guān)于裂縫對(duì)稱的時(shí)候應(yīng)力強(qiáng)度因子的峰值出現(xiàn)最大值,對(duì)于抑制Ⅰ型裂縫的擴(kuò)展是最不利的荷載位置.圖8中的虛線和實(shí)線分別代表在其它參數(shù)都不變的情況下面層模量和土基模量固定時(shí)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子第一峰值計(jì)算結(jié)果隨模量比的變化情況.可以看出應(yīng)力強(qiáng)度因子隨模量比的降低而減小,特別是當(dāng)面層模量降低時(shí)這種趨勢(shì)更明顯,所以面層模量的大小對(duì)于抑制Ⅰ型裂縫自下而上的擴(kuò)展至關(guān)重要.

圖8 不同面層與基層模量比裂縫尖端a動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠa第一個(gè)峰值計(jì)算結(jié)果 (l=0 m,d=0.03 m)Fig.8 Calculation results of first peak value of dynamic stress intensity factors KⅠa at crack tip a with different modulus ratio of cement concrete pavement to foundation (l=0 m,d=0.03 m)

圖9～11為裂縫尖端a的Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子分別在考慮不同裂縫長(zhǎng)度、不同荷載位置和不同路面結(jié)構(gòu)層模量比的計(jì)算結(jié)果.從圖9的計(jì)算結(jié)果中可以看到,Ⅱ型裂縫同Ⅰ型裂縫計(jì)算結(jié)果有同樣的變化趨勢(shì),當(dāng)裂縫長(zhǎng)度增加時(shí)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子值增大.裂縫長(zhǎng)度增加使動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子更快到達(dá)第一個(gè)峰值,一方面是由于裂縫長(zhǎng)度變化時(shí)裂縫尖端a的位置更靠近路面,另一方面是振動(dòng)波的傳播與材料參數(shù)、幾何形狀等因素相關(guān).圖10 是荷載位置對(duì)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果的影響,從圖10中可以看到對(duì)于Ⅱ型裂縫最不利的荷載位置是l=0.15 m,即裂縫出現(xiàn)在荷載邊緣的情況.從圖11的計(jì)算結(jié)果可以看出Ⅱ型動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子與Ⅰ型動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨結(jié)構(gòu)層模量比的變化有相反的趨勢(shì),在土基模量保持不變的情況下,Ⅱ型動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨模量比的增大而減小.

圖9 不同裂縫長(zhǎng)度裂縫尖端a動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡa的計(jì)算結(jié)果(l=0.15 m)Fig.9 Calculation results of dynamic stress intensity factors KⅡaat crack tip a with different crack length (l=0.15 m)

圖10 不同荷載位置裂縫尖端a動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡa第一個(gè)峰值計(jì)算結(jié)果 (d=0.03 m)Fig.10 Calculation results of first peak value of dynamic stress intensity factors KⅡa at crack tip a with different load position (d=0.03 m)

圖11 不同面層與基層模量比裂縫尖端a動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡa第一個(gè)峰值計(jì)算結(jié)果 (l=0.15 m,d=0.03 m)

4 結(jié)論

本次以斷裂力學(xué)理論為基礎(chǔ),開(kāi)展板底開(kāi)裂水泥混凝土路面在車輛荷載作用下動(dòng)力特性的研究.通過(guò)兩類積分變換、位錯(cuò)密度函數(shù)的引入、留數(shù)定理計(jì)算復(fù)雜積分、Lobatto-Chebyshev求積公式求解奇異積分方程及Laplace數(shù)值積分逆變換等數(shù)學(xué)技巧,獲得含裂縫水泥混凝土路面動(dòng)力問(wèn)題的解析表達(dá)式及數(shù)值解.通過(guò)實(shí)例計(jì)算結(jié)果可以獲得一些規(guī)律性的認(rèn)識(shí)：

1) 裂縫長(zhǎng)度是影響板底裂縫向上擴(kuò)展與否的一個(gè)重要因素,同時(shí)也影響了振動(dòng)波在路面中傳播的速度.

2) 對(duì)于Ⅰ型裂縫,荷載關(guān)于裂縫對(duì)稱時(shí)是最不利的荷載位置.對(duì)于Ⅱ型裂縫,在l=0.15 m 是最不利的荷載位置.

3) 面層與土基模量比對(duì)抑制兩類裂縫的擴(kuò)展有相反的影響趨勢(shì),但面層的模量對(duì)Ⅰ型裂縫的擴(kuò)展影響最大.