呂盾,劉碩,趙艷超,李文慶,趙萬(wàn)華,盧秉恒

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710054,西安; 2.科德數(shù)控股份有限公司,116600,遼寧大連)

高檔數(shù)控機(jī)床一般指高速高精度多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床,廣泛用于航空、航天、汽車(chē)及能源工程等領(lǐng)域關(guān)鍵零件的加工。跟隨誤差是數(shù)控機(jī)床精度的關(guān)鍵指標(biāo)之一。進(jìn)給過(guò)程中各軸跟隨誤差的大小直接決定了多軸數(shù)控機(jī)床聯(lián)動(dòng)軌跡誤差及加工零件輪廓誤差[1]。

跟隨誤差源于伺服控制對(duì)輸入指令的相位滯后和對(duì)指令高頻分量的衰減。當(dāng)前,前饋控制器和濾波控制器結(jié)合是減小跟隨誤差的主流控制策略。

前饋控制器主要用于減小相位滯后,消除勻速運(yùn)動(dòng)中的跟隨誤差。零相差跟蹤控制器(ZPETC)是前饋控制器研究中的代表性成果[2]。ZPETC適用于低頻范圍,無(wú)法在高頻范圍內(nèi)實(shí)施有效控制,例如圓角跟隨過(guò)程[3]。Tomizuka通過(guò)前饋增益濾波補(bǔ)償器,改善了ZPETC增益隨頻率增加而降低的現(xiàn)象[4],零相差跟蹤控制器依賴(lài)于系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性[3],系統(tǒng)參數(shù)的變化和干擾會(huì)造成控制作用的失效,因此該方法與摩擦力、反向間隙及軌跡誤差補(bǔ)償[5]、干擾觀(guān)測(cè)器[6]及魯棒控制器[7]等方法結(jié)合,進(jìn)一步增強(qiáng)了伺服系統(tǒng)抗參數(shù)變化能力和抗干擾能力。Tomizuka進(jìn)一步引入?yún)?shù)在線(xiàn)識(shí)別算法,提出自適應(yīng)零相差跟蹤算法[8]。Tung等對(duì)ZPETC算法的性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試,發(fā)現(xiàn)其圓軌跡的加工精度相比于工業(yè)機(jī)床最高提高到了20倍[9]。Torfs等在此基礎(chǔ)上提出一種拓展帶寬零相差跟蹤控制算法[10],首先施加零相差跟蹤控制器,然后添加額外的前饋控制器以進(jìn)一步消除剩余的跟隨誤差,實(shí)驗(yàn)證明了該算法可以獲得遠(yuǎn)高于原始ZPETC算法的跟隨精度。Braembussche等將狀態(tài)反饋、前饋控制和力矩波動(dòng)補(bǔ)償同時(shí)應(yīng)用于跟隨誤差控制中,采用前饋控制以減小跟隨誤差[11]。目前工程上多采用速度前饋控制器,避免對(duì)于模型準(zhǔn)確性的依賴(lài)。

濾波控制器的主要作用是抑制限制伺服帶寬提高的機(jī)械模態(tài)、提高伺服帶寬、降低加減速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的跟隨誤差。對(duì)于典型的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng),聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)模態(tài)、絲杠的一階軸向振動(dòng)模態(tài)、絲杠的一階和二階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)等都可能成為限制伺服帶寬提高的因素。針對(duì)這些限制因素,Smith等采用模態(tài)濾波器,通過(guò)零極點(diǎn)對(duì)消方法補(bǔ)償兩個(gè)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài),將滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的伺服帶寬提高到100 Hz[12-13]。Kamalzadeh等采用自適應(yīng)滑?？刂破饕种茲L珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)一階軸向振動(dòng)模態(tài)[14],采用陷波濾波器抑制一階和二階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)[15],結(jié)合摩擦補(bǔ)償及主動(dòng)阻尼,將伺服帶寬提高到200 Hz以上,在進(jìn)給速度為60 m/min、加速度為10 m/s2的條件下,將跟隨誤差控制到1.6 μm。Yi等采用零相差陷波濾波器,將滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的伺服帶寬由50 Hz提高到了150 Hz[16]。Zhou等考慮到機(jī)械動(dòng)態(tài)特性隨位置的變化,設(shè)計(jì)自適應(yīng)陷波濾波器[17]。Kamalzadeh等采用陷波濾波器補(bǔ)償絲杠的扭轉(zhuǎn)模態(tài),提高位置環(huán)帶寬[18]。呂盾等采用零相差與模態(tài)濾波綜合控制策略,當(dāng)進(jìn)給速度為30 m/min、加速度為10 m/s2時(shí),將閉環(huán)內(nèi)伺服進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)誤差由傳統(tǒng)PID控制策略下的16.486 mm大幅降低到15.5 μm[19]。此外,針對(duì)長(zhǎng)傳動(dòng)鏈擺頭主軸對(duì)高加速啟停指令響應(yīng)能力低、啟停時(shí)間長(zhǎng)的問(wèn)題,提出模態(tài)濾波器與雙T網(wǎng)絡(luò)陷波濾波器綜合控制策略,將伺服控制帶寬由12 Hz提高到110 Hz[20]。Liu等從非同位控制的角度分析了帶寬受限的原因[21]。數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)在閉環(huán)控制下是典型的非同位控制系統(tǒng)。進(jìn)給軸的位置反饋點(diǎn)與電機(jī)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)不在同一位置,其間的動(dòng)力學(xué)特性引起非同相振動(dòng),造成失穩(wěn),限制帶寬提高。采用峰值濾波器將非同相振動(dòng)調(diào)整為同相振動(dòng),提高了速度環(huán)增益,消除了非同位控制對(duì)位置環(huán)的不利影響。Zheng等在傳統(tǒng)PID控制框架上增加速度控制環(huán),將電機(jī)和工作臺(tái)速度差作為振動(dòng)信號(hào)反饋速度控制器,大幅提高位置環(huán)帶寬[22]。

上述研究主要針對(duì)滾珠絲杠伺服進(jìn)給系統(tǒng),通過(guò)對(duì)絲杠一階、二階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)等模態(tài)的抑制,實(shí)現(xiàn)了位置環(huán)帶寬的大幅提高和跟隨誤差的大幅降低。然而,多軸數(shù)控機(jī)床雖然各個(gè)進(jìn)給軸在控制上彼此獨(dú)立,但是在結(jié)構(gòu)上卻相互耦合,總有某個(gè)或某幾個(gè)進(jìn)給軸串聯(lián)著其他進(jìn)給軸運(yùn)動(dòng)。這種結(jié)構(gòu)上的耦合使?jié)L珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)串聯(lián)了更多機(jī)械環(huán)節(jié),引入新的機(jī)械模態(tài)。針對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)一階、二階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)等模態(tài)設(shè)計(jì)的濾波策略,無(wú)法對(duì)新引入的機(jī)械模態(tài)進(jìn)行抑制,造成跟隨誤差控制作用的失效。

本文通過(guò)建立具有串聯(lián)軸伺服進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,分析串聯(lián)軸引入的機(jī)械模態(tài)。設(shè)計(jì)陷波濾波控制器與模態(tài)濾波控制器組合方案,對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的高階模態(tài)及串聯(lián)軸引入的低階模態(tài)進(jìn)行抑制,研究限制伺服帶寬提高的關(guān)鍵模態(tài),分析各組合方案伺服帶寬及跟隨誤差的影響。在此基礎(chǔ)上,提出針對(duì)具有串聯(lián)軸伺服進(jìn)給系統(tǒng)的跟隨誤差控制策略。

1 具有串聯(lián)軸滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖1所示為三軸立式數(shù)控銑床。X軸采用滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng),主要由伺服電機(jī)、聯(lián)軸器、絲杠、螺母及導(dǎo)軌等部件組成。除了自身的傳動(dòng)部件外,該軸還串聯(lián)了Z軸。具有串聯(lián)軸滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖1 三軸立式數(shù)控銑床Fig.1 X-axis of a three-axis vertical CNC milling machine

(a)正視圖 (b)側(cè)視圖圖2 具有串聯(lián)軸滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Schematic diagram of the structure of the ball-screw feed system with tandem axis

1.2 多剛體動(dòng)力學(xué)模型建立

采用集中參數(shù)法建立具有串聯(lián)軸滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。為表征串聯(lián)軸Z軸與X軸之間的柔性,進(jìn)行了如下等效。

(1)在X軸的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)中,串聯(lián)Z軸的慣性力與X軸的驅(qū)動(dòng)力往往不重合,造成Z軸存在繞Y軸的慣性力矩,導(dǎo)致Z軸產(chǎn)生繞Y軸的偏擺振動(dòng)。為表征這種Z軸繞Y軸的偏擺振動(dòng),將兩軸之間的柔性等效為扭轉(zhuǎn)彈簧阻尼元件Kt和Ct。

(2)Z軸運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)件的質(zhì)量為mt,Z軸繞Y軸相對(duì)于質(zhì)心B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jt。

此外,為了表征滾珠絲杠的一階、二階扭轉(zhuǎn)模態(tài),對(duì)X軸滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行了如下等效:

(1)以聯(lián)軸器和螺母位置為分界,將電機(jī)轉(zhuǎn)子、聯(lián)軸器和滾珠絲杠等旋轉(zhuǎn)部件等效為3個(gè)集中質(zhì)量塊J1、J2和J3;

(2)將X軸滑鞍等效為集中質(zhì)量塊ma;

(3)將聯(lián)軸器柔性等效為扭轉(zhuǎn)彈簧阻尼元件K1和C1;

(4)將滾珠絲杠的扭轉(zhuǎn)柔性等效為扭轉(zhuǎn)彈簧阻尼元件K2和C2;

(5)將滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)在進(jìn)給方向的軸向拉壓柔性等效為線(xiàn)性彈簧阻尼元件Ka和Ca;

(6)將電機(jī)、軸承及絲杠傳動(dòng)部分的摩擦和工作臺(tái)直線(xiàn)導(dǎo)軌的摩擦分別等效為阻尼元件Crf和Clf。

忽略其他非線(xiàn)性因素,所建立的等效系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示。圖中,Tm為電機(jī)扭矩輸入;θ1為電機(jī)轉(zhuǎn)子的角位移;θ2和θ3分別為絲杠等效慣量J2和J3的角位移;xa為X軸滑鞍的軸向線(xiàn)位移;θt為Z軸繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移;rg為滾珠絲杠的傳動(dòng)比;Xend為X軸末端位移。

圖3 等效系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Equivalent dynamic model

利用拉格朗日方程求解上述等效動(dòng)力學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)方程。

由于θt轉(zhuǎn)動(dòng)很小,可將Z軸繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)近似為水平運(yùn)動(dòng),Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)中心、質(zhì)心及速度瞬心的幾何關(guān)系如圖4所示。圖中,A為Z軸繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)中心;B為Z軸的質(zhì)心;C為速度瞬心,由A和B的速度大小及方向確定;L1為Z軸質(zhì)心B相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)中心A的距離;L′為質(zhì)心B相對(duì)于速度瞬心C的距離。

圖4 Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)中心、質(zhì)心及速度瞬心的幾何關(guān)系Fig.4 The geometric relationship among Z-axis rotation center, mass center, and instant center of velocity

(1)

(2)

由式(2)可得質(zhì)心B與瞬心C之間距離為

(3)

根據(jù)式(1)(3),可得該時(shí)刻質(zhì)心相對(duì)于速度瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω為

(4)

Z軸的動(dòng)能Tt為

(5)

利用動(dòng)能定理并結(jié)合式(5),可得該系統(tǒng)的總動(dòng)能為

(6)

系統(tǒng)的總勢(shì)能為

(7)

系統(tǒng)的耗散能為

(8)

為使動(dòng)力學(xué)模型反映滾珠絲杠一階、二階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)及串聯(lián)Z軸的振動(dòng),將等效動(dòng)力學(xué)模型中每個(gè)慣量的運(yùn)動(dòng)均選為廣義坐標(biāo)qi

qi={θ1θ2θ3xaθt}T

(9)

廣義力矩陣Qi為

Qi={Tm0000}T

(10)

令L=T-V,得到系統(tǒng)拉格朗日方程

(11)

綜上可得,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(12)

該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表達(dá)為

(13)

表1 動(dòng)力學(xué)模型的參數(shù)

1.3 模態(tài)分析

將式(13)兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換,得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

(14)

式中:Hij(s)(i=1,…,5;j=1,…,5)表示第i個(gè)慣量的位移響應(yīng)與施加在第j個(gè)慣量上的激勵(lì)力之間的傳遞函數(shù)。無(wú)阻尼條件下進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(13)可寫(xiě)成

(15)

求解其特征方程,可得該系統(tǒng)存在4階模態(tài),滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)俯視、側(cè)視圖及各階模態(tài)振型如圖5所示。

(a)一階振型 >(b)二階振型

(c)三階振型 (d)四階振型圖5 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)俯視、側(cè)視圖及各階模態(tài)振型 Fig.5 Top view, side view and mode shape diagrams of each order of the ball-screw feed system

圖5a為第一階模態(tài),其主導(dǎo)振型為Z軸繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng),固有頻率為53.2 Hz。

圖5b為第二階模態(tài),其主導(dǎo)振型為X軸傳動(dòng)系統(tǒng)的軸向振動(dòng)和Z軸繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合振型,固有頻率為135 Hz。

圖5c和圖6d分別為第三、四階模態(tài),其主導(dǎo)振型分別為滾珠絲杠的一階和二階扭轉(zhuǎn)振動(dòng),固有頻率分別為404.7 Hz和954.5 Hz。

1.4 動(dòng)力學(xué)模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性,對(duì)圖1所示的X軸進(jìn)行機(jī)械頻響測(cè)試和模態(tài)測(cè)試。X軸的相關(guān)機(jī)械與伺服參數(shù)如表2所示。

采用安川伺服調(diào)試軟件Sigmawin給電機(jī)施加正弦掃頻激勵(lì)力信號(hào),進(jìn)行機(jī)械頻響測(cè)試。激勵(lì)時(shí)間為250 ms,采樣頻率為3 200 Hz。通過(guò)測(cè)試得到

表2 X軸的相關(guān)機(jī)械與伺服參數(shù)

電機(jī)力矩-編碼器速度的原點(diǎn)頻響,實(shí)驗(yàn)測(cè)試與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)測(cè)試與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比 Fig.6 Comparison of experimental test and theoretical calculation results

頻響實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果顯示,該進(jìn)給系統(tǒng)具有23、52、68、378和941 Hz 5階固有頻率。在上述5階固有頻率中,378 Hz和941 Hz的2階固有頻率與理論計(jì)算結(jié)果相近,容易確定上述2階固有頻率分別對(duì)應(yīng)理論計(jì)算結(jié)果中的三階和四階模態(tài)。

為了辨別3個(gè)低階固有頻率所對(duì)應(yīng)的模態(tài),使用LMS振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)測(cè)試,得到實(shí)驗(yàn)測(cè)得3階模態(tài)振型如圖7所示。

(a)一階振型(固有頻率為23 Hz)

(b)二階振型(固有頻率為49.8 Hz)

(c)三階振型(固有頻率為68 Hz)圖7 實(shí)驗(yàn)測(cè)得3階模態(tài)振型Fig.7 Experimentally measured three mode shapes

從圖7a可以看出,實(shí)驗(yàn)測(cè)得的第一階模態(tài)固有頻率為23 Hz,振型為Z軸、滑鞍和Y軸的整體振動(dòng)。該模態(tài)可以視為整機(jī)模態(tài),在理論模型中未體現(xiàn)。

從圖7b可以看出,實(shí)驗(yàn)測(cè)得的第二階模態(tài)固有頻率為49.8 Hz,主振型為Z軸繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。因固有頻率相近、振型相同,該模態(tài)對(duì)應(yīng)理論計(jì)算結(jié)果中的第一階模態(tài)。

從圖7c可以看出,實(shí)驗(yàn)測(cè)得的第三階模態(tài)固有頻率為68 Hz,主振型為X軸的軸向振動(dòng)和Z軸繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)的耦合。盡管該模態(tài)的固有頻率與理論計(jì)算結(jié)果存在一定的偏差,但是其振型與理論計(jì)算結(jié)果相對(duì)應(yīng),因此該模態(tài)對(duì)應(yīng)理論計(jì)算結(jié)果的第二階模態(tài)。

上述頻響測(cè)試和模態(tài)測(cè)試結(jié)果表明,理論計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果基本一致,可以證明動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

通過(guò)模態(tài)分析、頻響測(cè)試和模態(tài)測(cè)試可以發(fā)現(xiàn),具有串聯(lián)軸的滾珠絲杠伺服進(jìn)給系統(tǒng)除了包含絲杠典型的一階、二階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài),串聯(lián)軸還引入了兩個(gè)低階模態(tài)。

2 速度前饋和濾波控制器設(shè)計(jì)

速度前饋控制器與濾波控制器為當(dāng)前面向跟隨誤差控制采用的主要控制策略。本節(jié)基于具有串聯(lián)軸的伺服進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,設(shè)計(jì)前饋控制器、模態(tài)濾波器和陷波濾波器,可以進(jìn)一步分析限制伺服帶寬提高的關(guān)鍵模態(tài),研究不同濾波器對(duì)伺服帶寬和跟隨誤差的影響。

2.1 基本三環(huán)控制策略和速度前饋控制器設(shè)計(jì)

圖1所示的立式數(shù)控銑床X軸進(jìn)給系統(tǒng)為半閉環(huán)控制,采用電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)三環(huán)控制結(jié)構(gòu)。

將電流環(huán)簡(jiǎn)化為一階慣性環(huán)節(jié)。電流環(huán)等效傳遞函數(shù)Hc(s)、速度環(huán)PI控制器傳遞函數(shù)Cv(s)和位置環(huán)P控制器傳遞函數(shù)Kp(s)分別為

(16)

式中:Kc為力矩常數(shù);Tc為電流環(huán)時(shí)間常數(shù);Kvp為速度環(huán)比例增益;Kvi為速度環(huán)積分增益;Kp為建模仿真的位置環(huán)增益。

在基本三環(huán)控制框圖下引入速度前饋,提高伺服帶寬,減小相位滯后。前饋控制器傳遞函數(shù)為

Fv(s)=Kvfs

(17)

式中Kvf為速度前饋系數(shù)。

由式(14)可得半閉環(huán)控制下電機(jī)力矩-編碼器直線(xiàn)位移的傳遞函數(shù)為

(18)

式中Xenc為偏碼器位移。

2.2 模態(tài)濾波器設(shè)計(jì)

模態(tài)濾波器(MFC)通過(guò)控制器的零點(diǎn)極點(diǎn)與機(jī)械系統(tǒng)模態(tài)的極點(diǎn)零點(diǎn)相互抵消,以抑制機(jī)械模態(tài)共振峰引起的系統(tǒng)振動(dòng)及彌補(bǔ)反共振峰造成的帶寬損失。模態(tài)濾波器Hmfc(s)為

(19)

式中:Rezn表示第n階模態(tài)零點(diǎn)的實(shí)部;Imzn表示第n階模態(tài)零點(diǎn)的虛部;Repn表示第n階模態(tài)極點(diǎn)的實(shí)部;Impn表示第n階模態(tài)極點(diǎn)的虛部。

由式(18)可得機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)零極點(diǎn),如圖8所示,各階模態(tài)零極點(diǎn)計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 各階模態(tài)零極點(diǎn)計(jì)算結(jié)果

圖8 機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)分布圖Fig.8 Distribution of poles and zeros of mechanical system

然而,高階模態(tài)共振峰阻尼小、剛度高,共振峰與反共振峰十分尖銳(如圖6所示),實(shí)際測(cè)試中難以準(zhǔn)確得到系統(tǒng)零極點(diǎn)參數(shù)。若無(wú)法準(zhǔn)確得到高階模態(tài)零極點(diǎn)參數(shù),會(huì)在系統(tǒng)中引入不穩(wěn)定極點(diǎn),導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。因此,模態(tài)濾波器一般適用于低階模態(tài)。

將兩個(gè)低階模態(tài)的零極點(diǎn)代入式(19),可得模態(tài)濾波器的傳遞函數(shù)為

(20)

2.3 陷波濾波器設(shè)計(jì)

陷波濾波器通過(guò)抑制機(jī)械模態(tài)的共振峰實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)諧振的抑制和伺服控制帶寬的提高。對(duì)于滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng),一般采用陷波濾波器對(duì)絲杠的一階、二階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)等高階模態(tài)進(jìn)行抑制。

選用雙T網(wǎng)絡(luò)陷波器,其傳遞函數(shù)為

(21)

其中a=1/ω0,b=k1/ω0,c=k2/ω0。

根據(jù)陷波濾波器的濾波頻率點(diǎn)ω0、陷波器帶寬k1和陷波器深度k23個(gè)參數(shù)可以確定a、b、c的系數(shù)。陷波帶寬Rw和陷波深度Dp與雙T網(wǎng)絡(luò)陷波器系數(shù)k1、k2的關(guān)系如下

(22)

將相應(yīng)參數(shù)代入式(22),可得低階模態(tài)陷波濾波器傳遞函數(shù)為

(23)

將相應(yīng)參數(shù)代入式(23),可得高階模態(tài)陷波濾波器傳遞函數(shù)為

(24)

2.4 綜合控制框圖

基于前述基本PID三環(huán)控制框架和前饋控制器,將濾波控制器嵌入伺服控制系統(tǒng)速度環(huán)內(nèi),建立伺服進(jìn)給系統(tǒng)綜合控制策略,其控制框圖如圖9所示。

圖9 綜合控制策略框圖Fig.9 Block diagram of integrated control strategy

由圖9可得系統(tǒng)位置環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)為

(25)

3 濾波組合方案對(duì)伺服性能的影響

根據(jù)綜合控制策略框圖以及各濾波器設(shè)計(jì)方法,針對(duì)串聯(lián)軸引入的低階和滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的高階模態(tài)設(shè)計(jì)4組不同的濾波組合方案,濾波組合方案及其伺服性能參數(shù)如表4所示。

伺服進(jìn)給系統(tǒng)的伺服性能和跟隨誤差不僅取決于濾波器,還取決于伺服參數(shù)。伺服參數(shù)的整定既要滿(mǎn)足跟隨誤差的要求,還要滿(mǎn)足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求。因此,調(diào)整各組合方案下的速度前饋系數(shù)、位置環(huán)增益、速度環(huán)增益等伺服參數(shù),使幅值穩(wěn)定裕度相近,在相近穩(wěn)定性約束下進(jìn)行各個(gè)組合方案的比較。

由于前饋不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性,為簡(jiǎn)化分析,采用如圖10所示的無(wú)前饋綜合控制框圖分析系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。

圖10 無(wú)前饋綜合控制框圖Fig.10 Integrated control block diagram without feedforward

系統(tǒng)位置環(huán)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)O(s)為

(26)

調(diào)整各組合方案下的伺服參數(shù),根據(jù)式(26)可得各組合方案下系統(tǒng)幅值穩(wěn)定裕度分別為23.9、24.9、17.4和23.9 dB。

表4 濾波組合方案及其伺服性能參數(shù)

3.1 濾波組合方案對(duì)位置環(huán)帶寬的影響

由式(26)可得4組濾波組合方案下系統(tǒng)位置環(huán)閉環(huán)幅頻曲線(xiàn)如圖11所示。

組合方案Ⅰ對(duì)四階模態(tài)均未進(jìn)行濾波,以此為基準(zhǔn)研究其他組合方案對(duì)位置環(huán)帶寬的影響效果。以伺服系統(tǒng)幅頻曲線(xiàn)幅值降低到-3 dB定義系統(tǒng)帶寬,組合方案I的位置環(huán)帶寬為41 Hz,-3 dB線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)位于第一階模態(tài)反共振峰前。

組合方案Ⅳ為當(dāng)前工程中常采用的方案,即僅對(duì)絲杠的兩個(gè)高階模態(tài)進(jìn)行陷波濾波。然而,由于低階模態(tài)為限制位置環(huán)帶寬的主導(dǎo)模態(tài),因此僅對(duì)高階模態(tài)進(jìn)行陷波濾波,位置環(huán)帶寬并未得到提高,仍為41 Hz。-3 dB線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)位于第一階模態(tài)反共振峰前。

組合方案Ⅱ?qū)蓚€(gè)低階模態(tài)和兩個(gè)高階模態(tài)均采用陷波濾波。然而,由于陷波濾波器僅能抑制共振峰,無(wú)法修正反共振峰引起的帶寬損失,其位置環(huán)帶寬僅為43.2 Hz,仍未有顯著提高。-3 dB線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)位于第一階模態(tài)反共振峰前。

(a)各濾波組合方案下系統(tǒng)閉環(huán)幅頻曲線(xiàn)

(b)系統(tǒng)閉環(huán)幅頻曲線(xiàn)局部放大圖圖11 各濾波組合方案下系統(tǒng)閉環(huán)幅頻曲線(xiàn)Fig.11 System closed-loop amplitude-frequency curves in each filter combination scheme

組合方案Ⅲ對(duì)兩個(gè)高階模態(tài)采用陷波濾波,對(duì)兩個(gè)低階模態(tài)采用模態(tài)濾波。后者修正了低階模態(tài)對(duì)反共振峰帶來(lái)的帶寬損失,其位置環(huán)帶寬顯著提高,達(dá)到155 Hz。-3 dB線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)位于第二階模態(tài)共振峰后。

3.2 濾波組合方案對(duì)跟隨誤差的影響

設(shè)計(jì)單軸往返運(yùn)動(dòng)軌跡,參數(shù)設(shè)置如表5所示。表中進(jìn)給速度及最大加速度為運(yùn)動(dòng)過(guò)程中要求達(dá)到的最大值。加速度建立時(shí)間為加速度從0加到最大值所需的時(shí)間,即從圖12b加速度變化曲線(xiàn)中A點(diǎn)到B點(diǎn)所用時(shí)間。

表5 單軸往返運(yùn)動(dòng)軌跡參數(shù)設(shè)置

編寫(xiě)該運(yùn)動(dòng)軌跡G代碼,并將其輸入科德GNC61數(shù)控系統(tǒng),讀取插補(bǔ)生成的指令位置序列,其速度、加速度及加加速度曲線(xiàn)如圖12所示。從圖中可以看出,速度及加速度均達(dá)到了設(shè)置要求。

(a)進(jìn)給速度曲線(xiàn) (b)加速度曲線(xiàn) (c)加加速度曲線(xiàn)圖12 指令時(shí)域指標(biāo)變化曲線(xiàn)Fig.12 Set-points time-domain indicator change curves

將指令位置序列輸入圖9所示的控制框圖,得到各個(gè)組合方案下的跟隨誤差如圖13所示,相應(yīng)跟隨誤差最大值見(jiàn)表4。從圖中可以看出,勻速段的跟隨誤差明顯低于加減速段,且跟隨誤差基本得到控制,表明速度前饋起到了對(duì)勻速段跟隨誤差的控制作用。

(a)各組合方案下跟隨誤差

(b)各組合方案下跟隨誤差局部放大圖圖13 各組合方案下的跟隨誤差Fig.13 Following error under each combination scheme

加減速段跟隨誤差的相對(duì)大小順序?yàn)榻M合方案Ⅳ、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。位置環(huán)帶寬高者,跟隨誤差低。

從上述分析可以看出,對(duì)于具有串聯(lián)軸的滾珠絲杠伺服進(jìn)給系統(tǒng),低階模態(tài)和高階模態(tài)分別采用模態(tài)濾波器和陷波濾波器可顯著提高位置環(huán)帶寬、降低跟隨誤差。陷波濾波器與模態(tài)濾波器實(shí)質(zhì)上都是二階濾波器,均可基于二階濾波器構(gòu)造。通過(guò)頻響測(cè)試得到系統(tǒng)頻響曲線(xiàn)和各階模態(tài)參數(shù)。針對(duì)高階模態(tài),確定要濾除的高階模態(tài)頻率ω0,將輸入陷波帶寬Bω和陷波深度Dp代入式(21)(22),構(gòu)造陷波濾波器。針對(duì)低階模態(tài),將頻響測(cè)試得到的各低階模態(tài)零極點(diǎn)參數(shù)代入式(19),構(gòu)造模態(tài)濾波器。

4 結(jié) 論

本文研究了具有串聯(lián)軸伺服進(jìn)給系統(tǒng)的跟隨誤差控制策略,得出以下結(jié)論。

(1)對(duì)于具有串聯(lián)軸的滾珠絲杠伺服進(jìn)給系統(tǒng),由串聯(lián)軸引起的低階模態(tài)是限制位置環(huán)帶寬提高的關(guān)鍵模態(tài)。僅采用工程上常用的陷波濾波器對(duì)絲杠的高階模態(tài)進(jìn)行抑制,無(wú)法提高具有串聯(lián)軸滾珠絲杠伺服進(jìn)給系統(tǒng)的位置環(huán)帶寬,也無(wú)法有效控制跟隨誤差。

(2)采用模態(tài)濾波器對(duì)串聯(lián)軸引入的低階模態(tài)進(jìn)行濾波,采用陷波濾波器對(duì)絲杠的高階模態(tài)進(jìn)行濾波,可大幅提高位置環(huán)帶寬,顯著降低跟隨誤差。對(duì)于具有串聯(lián)軸的滾珠絲杠伺服進(jìn)給系統(tǒng),其跟隨誤差控制策略應(yīng)為速度前饋控制器與低階模態(tài)模態(tài)濾波器和高階模態(tài)陷波濾波器的結(jié)合。