段燕娥,張元海

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院,蘭州 730070)

0 引言

箱梁具有諸多優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用于橋梁設(shè)計中,對其彎曲力學(xué)性能研究的文獻(xiàn)已有很多[1-2],并且很多學(xué)者都致力于對其剪力滯效應(yīng)的研究.剪力滯效應(yīng)是由于翼緣板的面內(nèi)剪切變形引起的應(yīng)力非均勻分布現(xiàn)象[3-4].分析剪力滯效應(yīng)的方法主要有能量變分法和有限元法.選取合適的剪滯翹曲位移函數(shù)是能量變分法中極其重要的環(huán)節(jié),其中Reissner[5]假設(shè)剪滯翹曲位移函數(shù)的形式為二次拋物線.張元海[6]從剪力滯受力特點出發(fā),推導(dǎo)出了合理翹曲位移函數(shù)的具體表達(dá)形式.肖軍[7]通過對剪力滯控制微分方程通解特點的分析,構(gòu)造出剪力滯解析方程.近年來,對剪滯翹曲位移函數(shù)研究的文獻(xiàn)已有很多,但尚未得到統(tǒng)一[8-11].為使軸向平衡條件得到滿足,倪元增[12]提出了對剪滯翹曲位移函數(shù)進(jìn)行修正的方法.藺鵬臻[13]從剪力流的分布規(guī)律出發(fā),在箱梁各板件的翹曲位移函數(shù)中引入修正系數(shù),并考慮了翹曲正應(yīng)力在箱梁橫截面上不合成軸力和彎矩.關(guān)于剪力滯翹曲位移函數(shù)的修正方式的問題,各個學(xué)者的觀點也各有差異[14-16].若將箱梁的廣義位移選取為最大剪切轉(zhuǎn)角差[17-18]時,此廣義位移雖精度高但不具有明確的物理意義.諸多學(xué)者[19-20]將箱梁的廣義位移選取為新型廣義位移,即剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度,此廣義位移物理意義明確,便于工程人員應(yīng)用.但其中邊界條件對剪力滯效應(yīng)的影響的文獻(xiàn)卻少之又少.

本文將箱梁的廣義位移選取為新型廣義位移,應(yīng)用能量變分法建立剪力滯效應(yīng)分析理論，導(dǎo)出剪力滯系數(shù)和附加撓度的解析解,由此來揭示跨中集中荷載作用下邊界條件對剪力滯效應(yīng)的影響.

1 剪力滯翹曲變形狀態(tài)分析

圖1為豎向分布荷載p(z)作用下的受力簡圖.橫截面上任一位置的縱向翹曲位移uω(x,y,z)的表達(dá)式為

uω(x,y,z)=-ω(x,y)f′(z),

(1)

式中:f(z)為剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加撓度;-f′(z)為附加撓曲轉(zhuǎn)角;ω(x,y)為翹曲位移函數(shù),即

ω(x,y)=y-ηωζ(x,y),

(2)

式中:η為修正系數(shù);ωζ(x,y)為剪力滯翹曲位移函數(shù).

(a) 坐標(biāo)系及荷載

(b) 橫截圖圖1 箱梁截面簡圖

從圖1中可以看出,b1為頂板寬度的1/2;b2為底板寬度的1/2;b3為懸臂板寬度;ys、yx分別為x軸至頂板、底板中面的距離.

本文選取如下形式的剪力滯翹曲位移函數(shù):

(3)

在式(3)中,d是為了使箱梁橫截面上的正應(yīng)力滿足軸向平衡的條件.

橫截面上任一點的剪力滯翹曲應(yīng)力可表達(dá)為

σω=-Eωf′′，

(4)

式中:E為彈性模量.

由剪力滯翹曲應(yīng)力σω在面內(nèi)不合成軸力和彎矩可知

(5)

(6)

將式(4)分別代入式(5～6),得

(7)

(8)

為了表述方便,將箱梁橫截面面積、頂板截面面積、懸臂板截面面積和底板截面面積分別用A、At、Ac以及Ab表示.將式(3)代入式(7),可得

(9)

橫截面上任一位置的廣義力矩Mω定義為

Mω=-EIωf″

(10)

Iω=η2Iζ-Ix,

(11)

剪力滯翹曲應(yīng)力σω的表達(dá)式為

(12)

箱梁截面任一點處的剪力滯系數(shù)λ可表達(dá)為

(13)

2 控制微分方程及邊界條件

箱梁總勢能的一階變分為

(14)

式中:Aζ為剪力滯翹曲面積;G為剪切模量.

令δΠ=0,則剪力滯的控制微分方程可改寫為

(15)

式中:k可稱為Reissner參數(shù).

(16)

方程(15)的通解為

f=C1+C2z+C3shkz+C4chkz.

(17)

(18)

(19)

(20)

Qω=Qω0.

(21)

由箱梁左右兩端的邊界條件來解出式(18)～(21)中的4個初參數(shù).當(dāng)箱梁跨內(nèi)不作用任何荷載時可用式(18)～(21)來求解,若作用集中荷載時,則式(18)變?yōu)?/p>

(22)

求解上述4個初參數(shù)時的邊界條件為:

1) 對于固定端:f=0,f′=0;

2) 對于簡支端:f=0,f′′=0;

3) 對于自由端:f′′=0,f′′′-k2f′=0.

3 附加撓度及剪力滯系數(shù)的求解

如圖2所示,當(dāng)集中荷載P作用在簡支梁跨中位置時,由f0=0,Mω0=0,可將式(22)變?yōu)?/p>

(23)

圖2 兩端簡支箱梁示意圖

(24)

(25)

(26)

如圖3所示,當(dāng)集中荷載P作用在左端簡支右端固定箱梁跨中位置時,由f0=0,Mω0=0,可將式(22)變?yōu)槭?23).

圖3 左端簡支右端固定箱梁示意圖

當(dāng)z≤l/2時

(27)

(28)

(29)

當(dāng)z>l/2時

(30)

Mω=

(31)

(32)

(33)

圖4 兩端固定箱梁示意圖

初參數(shù)Mω0和Qω0由箱梁右端的邊界條件解出(即z=l時,f=f′=0),最后可得兩端固定箱梁左半跨的附加撓度、廣義力矩及剪力滯系數(shù)的計算公式(式中z≤l/2)如下:

(34)

(35)

(36)

式中:Γ=-klchkl-kr+krchkl-shkr+chklshkr+klchkr+shkl-shklchkr;Λ=klshkl-krshkl-shklshkr+1-chkr-chkl+chklchkr.

4 算例分析

選取計算跨度為40 m的砼箱梁,截面尺寸見圖5,材料彈性模量為3.4×104MPa,跨中作用豎向集中荷載P=500 kN.

圖5 箱梁模型(單位:m)

為了便于表達(dá),本文用“SS箱梁”表示簡支箱梁,用“SF箱梁”表示左端簡支右端固定箱梁,用“FF箱梁”表示兩端固定箱梁.按本文方法計算得到不同邊界條件下跨中截面計算點的剪力滯系數(shù)λ.利用Ansys軟件對該箱梁模型進(jìn)行有限元數(shù)值分析,模型采用shell63單元,共劃分32 153個節(jié)點、32 000個單元.為了減小應(yīng)力集中影響,故將荷載施加在兩腹板節(jié)點處,計算得到相應(yīng)點的剪力滯系數(shù),各個關(guān)鍵點的編號見圖5,分析結(jié)果見表1.

表1 關(guān)鍵點處的λ比較

由表1可得,本文解與Ansys解總體上吻合,進(jìn)而驗證了本文方法的正確性.

由表1的本文解可以看出,SS箱梁在任一關(guān)鍵點處的剪力滯系數(shù)最大,FF箱梁在任一關(guān)鍵點處的剪力滯系數(shù)最小,SF箱梁介于二者之間.關(guān)鍵點2處和5處的剪力滯系數(shù)在3種邊界條件下都大于1,為正剪力滯.

為了進(jìn)一步驗證本文方法的正確性,以上述箱梁模型為例,保持截面尺寸、荷載及跨度不變,只變化邊界條件,根據(jù)本文推導(dǎo)出的公式,求出箱梁跨中截面在不同邊界條件下的剪力滯系數(shù)λ值和附加撓度f值.繪制出跨中截面λ沿橫向分布的曲線和f沿縱向分布的曲線,見圖6～7,并將截面計算點的λ分別列于表2～3.

附加撓度由圖6可知,3種邊界條件下λ的峰值均在關(guān)鍵點2處和5處.SS箱梁的λ沿橫向分布的曲線較平緩,FF箱梁的λ沿橫向分布的曲線較陡峭,SF箱梁的λ沿橫向分布的曲線介于二者之間.從而可知,隨著邊界約束的增大,剪力滯系數(shù)沿橫向分布的曲線明顯陡峭.

(a) 頂板和懸板

(b) 底板圖6 λ沿橫向分布曲線

圖7 附加撓度f沿縱向分布曲線

由圖7可知:3種邊界條件下f的峰值均在跨中位置;SS箱梁的f最大,FF箱梁的f最小,SF箱梁的f介于二者之間.從而可知,隨著邊界約束的增大,附加撓度沿縱向分布的曲線明顯平緩.

由表2可知:相比于SS箱梁,SF箱梁和FF箱梁在1處的λ值分別減小了10.93%和18.22%;2處的λ值分別增大了7.23%和12.04%;3處的λ值分別減小了12.00%和19.99%;4處的λ值分別減小了15.08%和25.13%;5處的λ值分別增大了8.02%和13.37%.

表2 關(guān)鍵點處的λ比較

表3 跨中位置f對比

由表3可知,相比于SS箱梁,SF箱梁和FF箱梁跨中截面的f值分別減小了4.27%和8.21%.

5 結(jié)論

1) 本文基于新型廣義位移,運用能量變分法建立剪力滯效應(yīng)分析理論,推導(dǎo)出箱梁在3種不同邊界條件下的剪力滯系數(shù)和附加撓度,由算例分析可得到,本文解與Ansys解總體上吻合,從而說明了本文方法的正確性.

2) 隨著邊界約束的增大,剪力滯系數(shù)沿橫向分布的曲線明顯陡峭，相比于SS箱梁,SF箱梁和FF箱梁在頂板中點處的剪力滯系數(shù)分別減小了10.93%和18.22%.

3) 隨著邊界約束的增大,附加撓度沿縱向分布的曲線明顯平緩,相比于SS箱梁,SF箱梁和FF箱梁跨中截面附加撓度分別減小了4.27%和8.21%.