華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 周建鋒

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟,許多數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)都是人們?cè)诓粩嗵岢鲂聠?wèn)題的過(guò)程中得到的.我們?cè)谥笇?dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候也要鼓勵(lì)學(xué)生善于提出問(wèn)題,研究問(wèn)題,才能進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)探索真理的精神.而情境問(wèn)題最能展示實(shí)際問(wèn)題的情形,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)踐的效能.

問(wèn)題情境是指針對(duì)某個(gè)有待完成的任務(wù),要由某個(gè)人或某群人加以聯(lián)結(jié)、整合的一組背景化信息,這個(gè)任務(wù)的結(jié)果如何事先并不是一目了然的.確定問(wèn)題情境的構(gòu)成部分有兩個(gè): 一方面是情境,它帶來(lái)的主要就是一個(gè)主體和一個(gè)背景;另一方面是問(wèn)題,它主要通過(guò)一個(gè)障礙、一個(gè)有待完成的任務(wù)、一些要聯(lián)結(jié)起來(lái)的信息來(lái)定義.

與傳統(tǒng)的應(yīng)用題比較,情境問(wèn)題主要體現(xiàn)真實(shí)的問(wèn)題情境,所提供的條件往往是“不良結(jié)構(gòu)”,即不如傳統(tǒng)應(yīng)用題中所有條件都已進(jìn)行“優(yōu)化”, 條件的明確性和指向性都比較強(qiáng).真實(shí)的情境問(wèn)題中,問(wèn)題解決者首先要對(duì)條件進(jìn)行梳理,進(jìn)行合理化假設(shè),從而有利于構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.筆者曾與華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院馮偉貞副教授進(jìn)行過(guò)交流,把這類(lèi)介于數(shù)學(xué)建模與傳統(tǒng)應(yīng)用題之間的問(wèn)題定義為“微建?！眴?wèn)題.

對(duì)于“微建?！眴?wèn)題的設(shè)計(jì),第一步在于構(gòu)建真實(shí)的問(wèn)題情境,而構(gòu)建問(wèn)題情境,一方面可以直接取材于現(xiàn)實(shí)生活中的情境問(wèn)題;另一方面可以從現(xiàn)有的一些應(yīng)用題出發(fā),去除“加工”后的條件,還原真實(shí)、合理的問(wèn)題情境.

第二步就在于設(shè)計(jì)目標(biāo)問(wèn)題,即需要解決的目標(biāo)是什么.同一個(gè)問(wèn)題情境可以設(shè)計(jì)出多個(gè)不同的目標(biāo)問(wèn)題,目標(biāo)問(wèn)題的設(shè)計(jì)可以多結(jié)合生活中的優(yōu)化問(wèn)題,如面積最大、容量最大、用料最省、利潤(rùn)最大等.

下面通過(guò)一個(gè)實(shí)例展示“微建?！眴?wèn)題的設(shè)計(jì)過(guò)程.

人教A 版必修4 第3 章有這樣一道應(yīng)用題: 在半徑為1,圓心角為60°的扇形鐵皮上裁剪一塊矩形鐵皮,使矩形的一條邊置于扇形半徑上.問(wèn)如何裁剪使得矩形鐵皮面積最大?

這是一道比較優(yōu)化了的應(yīng)用題,數(shù)據(jù)清楚,裁法明確,基本上只需要設(shè)出變量,建立函數(shù)關(guān)系,即可求解.但這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題隱去了問(wèn)題探索的過(guò)程,把它與現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際情境割裂開(kāi)來(lái).

一、還原問(wèn)題情境

設(shè)計(jì)情境問(wèn)題: 張師傅手里有一塊扇形的鐵板(圓心角不大于直角),需要從中裁剪出一塊矩形鐵板,請(qǐng)你幫張師傅設(shè)計(jì)裁剪的方法,使得裁剪出的矩形鐵板面積最大.

二、問(wèn)題的探索

首先可以考慮有哪些易于操作的裁法,容易想到的裁法有如下兩種(圖1、圖2 分別記為裁法一、裁法二):

圖1

圖2

不妨設(shè)扇形半徑為1.當(dāng)圓心角α≤時(shí), 在裁法一中, 如圖1, 設(shè)∠AOB=α, ∠POB=θ(0＜θ ＜α), 則PN=sinθ,MN=ON -OM=cosθ-cotαsinθ,

注意到裁法二中,沿∠AOB的角平分線(xiàn)OC裁開(kāi),由對(duì)稱(chēng)性,每一部分均為裁法一中的情境,易得裁法二得到的矩形面積為所以0＜＜1),故當(dāng)α≤時(shí),裁法一均比裁法二得到的矩形面積更大.其次,以上兩種裁法位置都比較特殊,那更一般的裁法會(huì)如何呢? 會(huì)不會(huì)有比前兩種更優(yōu)的裁法?

裁法三: 更一般的裁法,如圖3,假設(shè)MQ是定長(zhǎng),分別過(guò)M、Q作MQ的垂線(xiàn),交扇形弧長(zhǎng)于N、P.不妨設(shè)MN≤PQ,設(shè)MQ=a,∠QMO=由對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè), 則以O(shè)為原點(diǎn),OB為x軸建立直角坐標(biāo)系,則MN:y= cotθ(x-),代入x2+y2= 1得:cos2θ= 0,yN=則

圖3

圖4

設(shè)

只需求t在時(shí)的最大值.設(shè)x= cos(2θ+α),y= sin(2θ+α), 則圓弧C:x2+y2= 1(-1 ≤x≤-cosα,0 ≤y≤sinα), ①式即為:(x-t)2+(y+sinα)2=是以O(shè)′(t,-sinα) 為圓心,為半徑的圓.

如圖4,t最大當(dāng)且僅當(dāng)O到O′的距離最大, 即O′在A′B′中垂線(xiàn)右端且圓O′與圓弧C只有公共點(diǎn)B′時(shí),t最大.此時(shí)θ=即裁法一得到的矩形鐵板面積最大.最后可以讓張師傅這樣裁剪:

1.先作出圓心角的平分線(xiàn)與圓弧交于一點(diǎn)P;

2.再由P點(diǎn)向扇形其中一條半徑作垂線(xiàn)(得到垂足點(diǎn)N),同時(shí)過(guò)P點(diǎn)作該半徑的平行線(xiàn),與另一條半徑交于一點(diǎn)Q;

3.繼續(xù)由Q點(diǎn)作第一條半徑的垂線(xiàn),得到垂足點(diǎn)M.

以上得到了四個(gè)點(diǎn)M,N,P,Q即為要得到的矩形的四個(gè)頂點(diǎn),裁剪工作完成(如圖1).

三、問(wèn)題的進(jìn)一步設(shè)計(jì)

不滿(mǎn)足于只求面積的最大值,再設(shè)計(jì)問(wèn)題: 在裁法一或裁法二中,為了充分利用剩下的邊角料,在剩下的邊角料中再裁出一個(gè)圓形鐵板,加上剛才裁出的矩形,做成一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形鐵桶.那又該如何裁剪, 使得到的鐵桶容積最大?(不考慮損耗且只計(jì)算α=時(shí)的情形)

圖5

圖6

問(wèn)題的探索考慮裁法一和裁法二,問(wèn)題關(guān)鍵在于能否在邊角料中裁出圓形鐵板, 使其周長(zhǎng)不小于矩形的一條邊,這樣就可以依據(jù)其中一邊的周長(zhǎng)去裁出需要的圓形鐵板.在裁法一中,矩形一邊PN=另一邊MN=先嘗試在邊角料OMQ中裁一個(gè)內(nèi)切圓(如圖5),設(shè)其半徑為r,RtΔOMQ中,OM=由等面積法易得:r=此內(nèi)切圓的周長(zhǎng)所以能裁出一個(gè)圓形鐵板(把內(nèi)切圓適當(dāng)縮小),以MNPQ為側(cè)面組合成圓柱體.以MN為底面周長(zhǎng)時(shí)容積V1=以PN為底面周長(zhǎng)時(shí)容積V2=所以在裁法一中可以組合出以MN為底面周長(zhǎng)的圓柱形鐵桶,容積為

在裁法二中,矩形的邊MN=PN=.在等邊三角形OMQ中(如圖6),邊長(zhǎng)為所以其內(nèi)切圓半徑,內(nèi)切圓周長(zhǎng)所以能裁出以為周長(zhǎng)的圓形鐵板, 這樣得到的圓柱形鐵桶體積V3=最終,在裁法一中利用剩下的邊角料,可以裁出一個(gè)圓形鐵板,和矩形鐵板組合成圓柱形鐵桶,最大容積為

其實(shí)這個(gè)問(wèn)題情境還可以進(jìn)一步的設(shè)計(jì),如組合出長(zhǎng)方體無(wú)蓋鐵桶,又該如何設(shè)計(jì)? 留給讀者去思考.通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)、合理的情境問(wèn)題,在不斷的探索中尋求問(wèn)題的真相.這樣不僅有利于更深入地解決問(wèn)題,也有助于提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力.同時(shí),作為教師在這個(gè)過(guò)程中,不僅為學(xué)生的成長(zhǎng)創(chuàng)造了條件,也享受了創(chuàng)作的樂(lè)趣.