廣東省東莞市第四高級(jí)中學(xué)(523220) 王文濤

函數(shù)y= ex在x= 0 處的泰勒展開式(即麥克勞林公式)為ex=1+x++Rn(x),其中Rn(x)為泰勒展示的余項(xiàng).受此啟發(fā),我們可以得到一系列高中生可以證明的不等式.

引理1當(dāng)x≥0,n ∈N*,ex≥1+x+

證明欲證ex≥ 1 +x+只需證

設(shè)f(x)=則

所以f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù).f(x)≤f(x)max=f(0)=1,所以

題目(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x,

(1)當(dāng)a=1 時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x≥0 時(shí),f(x)≥+1,求a的取值范圍.

首先,我們考慮上述高考題的一個(gè)推廣形式.

推廣1當(dāng)x≥0,n ∈N*時(shí),1+x+≤ex,求a的取值范圍.

解當(dāng)n= 1 時(shí), 欲a+x≤ex, 只需a≤ex -x.設(shè)g(x) = ex - x(x≥0).注意到g′(x) = ex -1 ≥0, 則g(x)min=g(0)=1,所以a≤g(x)min=1.

下面考慮n≥2 的情形.當(dāng)x= 0 時(shí),a ∈R.當(dāng)x ＞0時(shí),

因?yàn)?/p>

所以

由引理1 知,當(dāng)x ＞0 時(shí),ex-＞0,所以當(dāng)x ∈(0,n-1)時(shí),f′(x)＜0;當(dāng)x ∈(n-1,+∞)時(shí),f′(x)＞0.所以f(x)min=f(n-1).

簡(jiǎn)評(píng)易見, 2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題的第二問無(wú)非是推廣1 中取n= 3 的特殊情形.實(shí)際上, 由整理得1+x+≤ex,由推廣1的結(jié)論知-2a≤所以a≥

推廣1 給出一個(gè)普適性的結(jié)果,盡管推導(dǎo)過(guò)程看起來(lái)較為復(fù)雜,但是,重要的是思想方法,而不是公式本身.借助于推廣1,可以構(gòu)造一些新的題目,比如如下的變式1.(解答留給讀者)

變式1f(x) = ex - x -當(dāng)x≥0 時(shí),f(x)≥+1,求a的范圍.

我們還可以通過(guò)對(duì)引理1 的推廣來(lái)得到前述高考題的進(jìn)一步推廣.

引理2(1)n為正奇數(shù)時(shí),則有ex≥

(2)設(shè)n為正偶數(shù).則有

證明設(shè)f(x)=,定義域?yàn)镽.由引理1 的證明知:

(1)n為奇數(shù)時(shí), 當(dāng)x ∈(-∞,0),f′(x)＞0;x ∈(0,+∞),f′(x)＜0, 所以f(x) ≤f(x)max=f(0) = 1, 因此ex≥1+x+

(2)n為偶數(shù)時(shí),f′(x) ≤0, 所以f(x) 在(-∞,+∞)上是減函數(shù).當(dāng)x≥ 0 時(shí),f(x) ≤f(0) = 1, 所以ex≥1+x+當(dāng)x ＜0 時(shí),f(x)＞f(0)=1,所以ex ＜1+

推廣21 +x+≤ex,n ∈N*,求a的取值范圍.

解(1)當(dāng)n= 1 時(shí),a+x≤ex,a≤ex -x,設(shè)g(x) =ex -x, 問題歸結(jié)為a≤g(x)min.由于g′(x) = ex -1.當(dāng)x≥0,g′(x) ≥0;x ＜0,g′(x)＜0,所以g(x)min=g(0) = 1,因此a≤1.

(2)當(dāng)n≥2 時(shí),當(dāng)x= 0 時(shí),a ∈R.下面研究當(dāng)x /= 0時(shí)的情形.

(i)當(dāng)n是大于1 的奇數(shù)時(shí),設(shè)f(x) =f′(x) =由引理2 知x ∈(-∞,0),(0,n -1) 時(shí),f′(x)＜0;x ∈(n-1,+∞)時(shí),f′(x)＞0.當(dāng)x ∈(-∞,0)時(shí),

以下證明:

構(gòu)造函數(shù)

則a的取值范圍是(-∞,ηn-1].

(ii)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)x ＜0,考慮不等式

由引理2 知

綜上所述,當(dāng)n= 1 時(shí),a的取值范圍為(-∞,1].當(dāng)n為大于1 的奇數(shù)時(shí),a的取值范圍為(-∞,ηn-1];當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),a不存在.

根據(jù)推廣2,可以給出2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題如下變式:

變式2已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x,

(1)當(dāng)a=1 時(shí),討論f(x)的單調(diào)性.

(2)f(x)≥+1,求a的取值范圍.(答案:a≥