貴州省實驗中學(xué)(550000) 劉朝海 夏學(xué)超

貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)(550000) 王寬明

一、問題提出

解三角形問題主要涉及正弦定理、余弦定理以及面積公式.由三個公式的結(jié)構(gòu)知,倘如已知三角形的3 個邊角信息(至少1 個與邊有關(guān)信息),即可確定該三角形的其他邊角信息.見下表:

表1: 解三角形中已知3 個邊角信息的解題策略

解三角形問題是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容.一直以來,解三角形就頗受高考命題和數(shù)學(xué)研究者青睞.諸多研究者就解三角形的教材價值的挖掘[1]、探索解三角形的課堂教學(xué)[2]以及解三角形的解題方法和題目變式[3]等內(nèi)容進(jìn)行思考.在解題方法上看,多居于利用代數(shù)方法進(jìn)行求解,而“高考命題是借助解三角形內(nèi)容,體現(xiàn)三角函數(shù)的工具作用”[4],而對其幾何價值并未深入思考和利用.

統(tǒng)計近10年的全國高考數(shù)學(xué)試卷發(fā)現(xiàn),在對解三角形問題的各類型問題考查中, 關(guān)于求最值問題約占四分之一.這表明,三角形求最值問題,是考查高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)需要著力的地方.而解三角形中的最值問題的形成往往由于題干所給條件的數(shù)量不夠所造成,若題干中只給出2 個邊角信息(至少1 個與邊有關(guān)的信息), 則該三角形往往存在不確定性, 進(jìn)而出現(xiàn)邊角最值.因此,研究通過對解三角形最值問題模型的歸納與挖掘,以期為一線教師在解三角形最值問題的教學(xué)提供參考.

二、解三角形問題中常見最值模型

在解三角形問題中,已知兩個邊角信息(至少有一個關(guān)于邊的已知量)是三角形不固定的重要原因.根據(jù)題干所提供的邊角位置和邊個數(shù)可分為以下三種模型: 已知一個角和一條邊, 且邊角相對; 已知一個角和一條邊, 且邊角不相對;已知兩個與邊有關(guān)的信息.

1 模型一: 已知一個角和一條邊,且邊角相對

例1(2020年高考全國Ⅱ卷)ΔABC中,sin2A-sin2Bsin2C=sinBsinC.

(1)求A;(2)若BC=3,求ΔABC周長的最大值.

接下來,本文主要針對第二問開展研究.

圖1

分析第一問, 先采用正弦定理將角化為邊, 再用余弦定理不難求出A=由圖1 發(fā)現(xiàn), 該題的第二問屬于已知一個角和一條邊, 且邊角相對.根據(jù)周長公式CΔABC=AB+AC+BC=AB+AC+ 3, 欲求面積的最大值,即求AB+AC的最大值,將問題轉(zhuǎn)化為與邊相關(guān)的最值問題,因此可以采用余弦公式和重要不等式進(jìn)行放縮.

解法1(2) 由(1) 知,A=則由余弦定理得

將②代入①中得AB+AC≤ 當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時取等號,所以CΔABC=AB+AC+BC≤即ΔABC周長的最大值為

解法2如圖2 所示構(gòu)造圓, 使BC= 3, 點A在劣弧上運動時始終保持∠BAC=取劣弧的中點A1,通過平面幾何知識可知,當(dāng)點A運動到A1時,AB+AC取最大值.證明如下:

延長AB, 取E使AC=AE.同理, 在A1B的延長線上, 取F使A1F=A1C.則∠E= ∠ACE,∠F= ∠A1CF,∠BA1C= 2∠F,∠BAC=2∠E,∠BA1C= ∠BAC, 所以∠E=∠F即B,C,E,F四點共圓, 所以BF為四邊形BCEF外接圓的直徑,即BF ＞BE,所以A1B+A1C ＞AB+AC,即當(dāng)點A運動到A1時,AB+AC取最大值.

圖2

評析該模型的問題解決主要分為三大步.第一步,利用余弦定理求出邊與邊的關(guān)系;第二步,將AB2+AC2進(jìn)行配方,使AB2+AC2= (AB+AC)2-2AB·AC;第三步,利用基本不等式放縮AB·AC≤進(jìn)而求出AB+AC的最大值.該模型還可以進(jìn)一步求ΔABC面積的最大值,由SΔABC=故在第二步放縮時可以直接放縮AB2+AC2(AB2+AC2≥2AB·AC)即可求出AB·AC的最大值;另一方面,采用圖解法已知當(dāng)點A運動到A1時,ΔABC中BC邊上的高A1D最高,即ΔABC的面積最大.

2 模型二: 已知一個角和一條邊,且邊角不相對

例2在銳角ΔABC中,b=3,A=求ΔABC面積的取值范圍.

分析邊角不相對模型可以采用正弦定理也可以采用圖解法求解.

解法1由面積公式得,SΔABC=由可知,

因為ΔABC為銳角三角形, 則進(jìn)而所以

解法2由面積公式得,SΔABC=由圖3 可知,c=AB,bcosA=AD ＜AB ＜AE=即所以

評析通過比較兩種解法發(fā)現(xiàn), 解法1 貼近學(xué)生的解題經(jīng)驗,但運算量大,化簡過程復(fù)雜, 往往學(xué)生無法準(zhǔn)確的求解最后結(jié)果; 解法2 利用圖形表示關(guān)系直觀、方便快捷,學(xué)生易于接受不容易出現(xiàn)錯誤.因此,圖解法對于解決解三角形最值問題具有重要作用.

圖3

3 模型三: 已知兩個邊的信息

例3在ΔABC中,a=4,b+c=6,問ΔABC面積的最大值是多少?

分析由例2 發(fā)現(xiàn),圖解法對于求最值具有“直觀、簡便”的優(yōu)勢.因此,可以嘗試圖解法求解.由b+c為定值可以理解為動點A到B,C兩點的距離為定值,即動點A的軌跡為橢圓(如圖4).

解因為b+c為定值, 所以動點A到B,C兩點的距離之和為定值, 即動點A的軌跡為橢圓.由圖5 可知, 當(dāng)A運動到D時, ΔABC的面積最大.所以SΔABC=· OD= 2OD, 如圖5 建立坐標(biāo)系, 易求動點A的軌跡方程為= 1(y /= 0).即OD=所以SΔABC=

圖4

圖5

評析由例3 再一次證明圖解法在解決三角形最值問題時的重要作用,可以極大的幫助學(xué)生快速的解決問題,提高解題效率.因此,在教學(xué)中,我們要力求讓學(xué)生充分運用數(shù)形結(jié)合思想解題.與此同時,該模型還可以變化成雙曲線和圓模型.

變式1在銳角ΔABC中,a=4,c-b=6,求ΔABC面積的最大值.

分析其c-b=6 可理解為動點A到B,C兩點的距離之差為定值,即表示雙曲線的一支.(其構(gòu)造圖形如圖6 所示)

變式2(2008年高考江蘇卷)滿足條件BC= 2,AB=的三角形面積的最大值是多少?

圖6

圖7

分析其構(gòu)造圖形如圖7 所示建立坐標(biāo)系B(-1,0),C(1,0),設(shè)A(x,y),則可表示為

化簡可得(x-3)2+y2= 8,即動點A為該圓上的點(注意y /=0).

三、結(jié)束語

通過對解三角形最值問題探究發(fā)現(xiàn),對于最值問題的三種情況均可采用“圖解法”求解,比利用正余弦定理解決問題的復(fù)雜程度和運算能力的要求都相對較低,充分利用圖解法可以避免“過度地抽象化、形式化而造成學(xué)生思維的困惑”[5].因此,在教學(xué)過程中理應(yīng)關(guān)注以下兩個方面:

1.力求滲透“數(shù)形結(jié)合”思想,多角度的考查知識內(nèi)容.數(shù)學(xué)知識許多都帶有幾何背景,利用好幾何背景能夠幫助直觀的理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),有利于學(xué)生的深度思維訓(xùn)練;其次,充分利用幾何背景往往能夠簡單、直觀的解決問題,提高學(xué)生解決問題的積極性,幫助樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

2.利用變式教學(xué),啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維.問題的來源有時來源于“聯(lián)想”,通過一個問題的解決,嘗試變換條件提出新的問題.例如,例3 中我們將問題轉(zhuǎn)化為動點到兩定點的距離之和為定值,借助橢圓解決問題,因此自然會思考動點到兩定點的距離之差為定值,此時我們又應(yīng)該采取何種方式處理? 故此,教學(xué)中應(yīng)關(guān)注變式教學(xué)對于學(xué)生思維的啟發(fā).