王苗苗，丁小麗，李佳敏

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引 言

分數(shù)階微積分在流體力學(xué)[1]、控制論學(xué)[2]和生態(tài)學(xué)[3]等學(xué)科領(lǐng)域中有較為普遍的應(yīng)用,國內(nèi)外學(xué)者對相關(guān)問題進行了大量的研究。在許多實際應(yīng)用中,干擾因素或不確定因素是不可避免的,例如人口的出生與死亡,如果不考慮隨機因素的干擾,就有可能出現(xiàn)人口劇增的現(xiàn)象，不符合實際情況。在隨機事件中,可以根據(jù)大量的試驗數(shù)據(jù)確定某個隨機變量,并附加初始條件建立隨機微分方程的數(shù)學(xué)模型,從而推斷出整體的發(fā)展變化規(guī)律。因此,人們將隨機現(xiàn)象與分數(shù)階微分方程結(jié)合進行研究。文獻[4]建立了多時間尺度分數(shù)階隨機微分系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,利用Picard逐步逼近法證明了該系統(tǒng)解的存在唯一性,同時求解了It-Doob型線性和非線性多時間尺度分數(shù)階隨機微分方程的閉式解；SAKTHIVEL等利用不動點定理，研究了一類帶有脈沖的分數(shù)階隨機微分方程溫和解的存在性[5]；BENCHAABANE等運用半群理論和Picard型近似序列,得到了一類非線性Sobolev型分數(shù)階隨機微分方程存在唯一溫和解的充分條件[6]；DOAN等利用一個時間加權(quán)范數(shù),在Caputo意義下考慮了分數(shù)階隨機微分方程解的整體存在性和唯一性,其中分數(shù)階系數(shù)滿足全局Lipschitz條件[7]。

隨著研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)，對于一些相對復(fù)雜的現(xiàn)象時,可能有滯后現(xiàn)象的出現(xiàn),應(yīng)考慮未來的狀態(tài)不僅依賴于現(xiàn)在的狀態(tài),還依賴于先前的歷史狀態(tài)。文獻[8-9]表明用分數(shù)階時滯微分方程比一般的微分方程來刻畫更符合實際,使得問題的描述更加真實準確；YAN等給出了HIV病毒傳播的分數(shù)階時滯微分模型，并討論了該模型的穩(wěn)定性[10]；CUI等研究了Hilbert空間中一類具有無限時滯的分數(shù)階隨機微分方程溫和解的存在性[11]；SAKTHIVEL等利用隨機分析理論和不動點定理,研究了一類分數(shù)階隨機微分方程線性和半線性情形的均方偽幾乎自守弱解的存在唯一性[12]；杜思嘉運用Banach不動點定理以及在特定條件下區(qū)間值分數(shù)階時滯微分方程的關(guān)系,證得區(qū)間值Caputo一階分數(shù)階時滯微分方程解的存在性和唯一性[13]。ZHAGN等研究了一類有限時滯的分數(shù)階隨機微分方程,利用Picard迭代法和廣義Gronwall不等式,給出了分數(shù)階隨機微分方程解存在唯一的充分條件；在同一思路下,討論了分數(shù)階q>1的有限時滯隨機微分方程解的存在性和唯一性[14]。吳艾卿等通過使用Lyapunov穩(wěn)定性分析方法,研究了一類具有高度非線性系數(shù)的中立型混雜隨機微分方程解的存在唯一性[15]。在以上研究的基礎(chǔ)上,LU等利用Banach收縮原理,給出了變時滯非線性Caputo分數(shù)階中立型隨機微分方程平凡解均方漸近穩(wěn)定的一個充分條件,而且不要求時滯的有界性[16]。此外,文獻[17-18]給出了脈沖分數(shù)階隨機微分方程解的存在性結(jié)果。這些研究成果為研究分數(shù)階隨機時滯微分方程解的適定性提供了理論基礎(chǔ)。

微分方程解的存在唯一性是研究微分方程解的適定性的一個關(guān)鍵問題。由于缺乏求解分數(shù)階和隨機微積分控制的非線性動力系統(tǒng)的通用技術(shù),在采用離散化方法獲得近似解之前,研究解的存在唯一性是前提與基礎(chǔ)。常用研究方法有Picard逐步逼近法和運用Banach不動點定理,其中Picard逐步逼近法是較為重要的近似計算方法。文獻[4]和[19]均是利用Picard逐步逼近法,研究了不同類型的分數(shù)階隨機微分方程初值問題解的存在唯一性。可見,關(guān)于分數(shù)階隨機微分方程和分數(shù)階時滯微分方程解的存在唯一性已經(jīng)有了一些研究成果,但關(guān)于分數(shù)階隨機時滯微分方程解的研究結(jié)果較為少見。本文將分數(shù)階隨機微分方程和時滯微分方程的理論結(jié)合并延伸,將Picard逐步逼近法推廣到分數(shù)階隨機時滯微分方程,并運用積分算子理論,研究分數(shù)階隨機時滯微分方程解的存在唯一性問題,分析該方程解對初值的連續(xù)依賴性。

1 分數(shù)階積分及相關(guān)引理

定義1[4]設(shè)0<α<1,?t∈Ω,函數(shù)f(t)∈L1(Ω;Rn)的α階Riemann-Liouville型分數(shù)階積分定義為

其中Γ(·)是Gamma函數(shù),

定義2[4]設(shè)0<α≤1,f(t)∈L1(Ω;Rn),f(t)關(guān)于(dt)α的積分定義為

引理1[20]設(shè)0<α<1,a(t)是在時間區(qū)間Ω上的一個局部可積的非負函數(shù),b(t)和g(t)是在Ω上的非負非減且有界的連續(xù)函數(shù)。如果v(t)非負,在Ω上局部可積,且滿足

則

推論1[20]假設(shè)滿足引理1中的條件,且a(t)在Ω上非減,則

其中Eα為Mittag-Leffler函數(shù),

2 解的存在性與唯一性

考慮如下形式的分數(shù)階隨機時滯微分方程

(1)

式中：x(t)=ξ={ξ(θ):-τ≤θ≤0};τ>0，為給定的時滯量；b,σ2∈C(Rn×Rn×[t0,T];Rn),σ1∈C(Rn×Rn×[t0,T];Rn×m),是Borel可測函數(shù)；B(t)=(B1(t),B2(t),…,Bm(t))T是在完備概率空間{Ω,F,P}上的m維布朗運動;ξ∈C([-τ,0];Rn),且E|ξ(θ)|2<∞。

為了證明方程(1)解的存在性,定義2個算子J1、J2,分別為

式中：0<α≤1;φ(t)∈C(Ω;Rn)。

引理3 設(shè)0<α≤1,φ(t)∈C(Ω;Rn),則

(J1J2φ)(t)=(J2J1φ)(t)

證明由算子J1、J2的定義,可得

引理4 設(shè)0<α≤1,φ(t)∈C(Ω;Rn),i=1,2,3,…,有下列關(guān)系成立:

(2)

(3)

證明當i=1時,顯然

設(shè)式(3)?i∈N+成立,驗證式(3)對i+1也成立。根據(jù)歸納假設(shè)可以得到

使用變量代換s=δ+ω(t-δ),有

式中：B(·,·)是Beta函數(shù),

基于以上的結(jié)果,得到

因此?i∈N+,

特別地,當α=1時,

即式(2)成立。

1) Lipschitz條件:

2) 線性增長條件:

證明1) 設(shè)x(0)(t)=ξ(0),根據(jù)定義2,方程(1)可變形為

2) 對于k=0,1,2,…,構(gòu)造Picard迭代序列{x(k)(t)},即

由于ξ(0)∈M2([t0-τ,T];Rn),x(k)(t)∈M2([t0-τ,T];Rn),因此x(k+1)(t)∈M2([t0-τ,T];Rn),即x(k)(t)∈M2([t0-τ,T];Rn)。

3) 證明Picard迭代序列{x(k)(t)}在區(qū)間[t0,T]上均方一致收斂。

利用(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2)及H?lder不等式、It積分的等距性、Lipschitz條件,有

E|x(k+1)(t)-x(k)(t)|2≤

|σ2(x(k)(s),x(k)(s-τ),s)-

E|x(k)(s)-x(k-1)(s)|2ds

(4)

為了方便起見,定義

e(k+1)(t)=E|x(k+1)(t)-x(k)(t)|2

根據(jù)算子J1、J2的定義,式(4)可以表示為

e(k+1)(t)≤((A1J1+A2J2)e(k))(t)

由文獻[21]中的性質(zhì)2.2,可以得到,J1與J2對φ(t)∈C(Ω;Rn)是非遞減的。對k進行數(shù)學(xué)歸納,則

e(k+1)(t)≤((A1J1+A2J2)ke(1))(t)

(5)

當k=1時,

e(2)(t)≤((A1J1+A2J2)e(1))(t)

結(jié)果顯然成立。假設(shè)式(5)?k(k=1,2, 3,…)成立,驗證式(5)對k+1也成立。根據(jù)歸納假設(shè),可以得到

因此e(k+1)(t)≤((A1J1+A2J2)ke(1))(t)成立。

由文獻[21]中的性質(zhì)2.1可以得到,J1和J2是C(Ω;Rn)上的緊算子; 由引理3知,J1和J2可交換,又σ(J1)=σ(J2)={0},其中σ(·)表示算子的譜。因此,{x(k)(t)}是Cauchy序列,所以序列{x(k)(t)}在區(qū)間[t0,T]上均方一致收斂。

4) 證明序列{x(k)(t)}的極限是原方程的解。

5) 證明方程(1)解的唯一性。

根據(jù)引理1,得到

3 解對初值的連續(xù)依賴性

討論當初值條件發(fā)生微小變化時,對方程的解造成怎樣的影響。為此,設(shè)存在一個充分小的正數(shù)ε,使得|ξ-η|<ε。給出下列方程

(6)

式中：z(t)=η={η(θ):-τ≤θ≤0}。這里假設(shè)方程(6)已經(jīng)滿足解的存在唯一性條件。

定理2 設(shè)z(t)是方程(6)的解,那么?t∈[t0,T],有

其中Eα為Mittag-Leffler函數(shù),

證明根據(jù)方程(1)和方程(6)的解

由引理1和推論1,可得

由此不難發(fā)現(xiàn),當初值條件有一個微小的變化時,解也有一個相應(yīng)的微小變化,即解對初值具有連續(xù)的依賴性。定理2得證。

4 結(jié) 語

研究了帶有時滯變量的分數(shù)階隨機微分方程解的存在唯一性和解對初值的連續(xù)依賴性。利用Picard逐步逼近法的思想并結(jié)合積分算子理論,減小了傳統(tǒng)迭代方法的計算復(fù)雜度。給出了分數(shù)階隨機時滯微分方程所滿足的Lipschitz條件和線性增長條件,在此條件下證明了方程存在唯一解。通過使初值條件發(fā)生微小的變化，研究了解的連續(xù)依賴性。然而，對于文中這類分數(shù)階隨機時滯微分方程,即使?jié)M足了解的存在唯一性定理,也很難找到其解析解，需要求解它的數(shù)值解。關(guān)于其數(shù)值解法有待進一步研究。