劉逸平，肖青凱，，楊光紅，劉月飛，3，樊學(xué)平，3

（1. 華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院 廣東廣州510641；2. 蘭州大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州730000；3. 蘭州大學(xué)西部災(zāi)害與環(huán)境力學(xué)教育部重點實驗室，甘肅蘭州730000）

由于輸入隨機源（車輛荷載、溫度荷載、風(fēng)荷載等）相同，橋梁健康監(jiān)測（BHM）系統(tǒng)在各個控制監(jiān)測點采集的數(shù)據(jù)具有一定的相關(guān)性，進而監(jiān)測點失效模式之間也存在相關(guān)性。如何合理利用這些監(jiān)測數(shù)據(jù)并考慮監(jiān)測點失效相關(guān)性來分析大跨橋梁主梁可靠度，便成為BHM 領(lǐng)域亟需解決的關(guān)鍵科學(xué)問題，可以為在役橋梁的安全評價和養(yǎng)護維護決策提供理論依據(jù)和應(yīng)用方法。

橋梁可靠性研究主要是利用抗力信息（容許應(yīng)變等）和荷載效應(yīng)信息（極值應(yīng)變等），采用合適的可靠性計算方法，進行構(gòu)件或體系的可靠性分析?，F(xiàn)定義橋梁監(jiān)測點的可靠度為構(gòu)件可靠度，而考慮多個監(jiān)測點相關(guān)或獨立的橋梁主梁可靠度為體系可靠度［1］。

基于BHM 數(shù)據(jù)并考慮監(jiān)測點失效相關(guān)性的大跨橋梁可靠性研究已取得一些成果：文獻［2-4］基于BHM數(shù)據(jù)，初步假定2個監(jiān)測點失效模式非線性相關(guān)，采用貝葉斯動態(tài)二維Gaussian copula 模型研究了長春伊通河橋主梁可靠性的動態(tài)預(yù)測方法；Liu等［5］基于BHM數(shù)據(jù)，假定多個監(jiān)測點失效模式非線性相關(guān)，采用貝葉斯動態(tài)多維Gaussian copula 模型研究了天津富民橋主梁可靠性的動態(tài)預(yù)測方法；劉月飛等［1］基于BHM 數(shù)據(jù)，采用C/D?vine Gaussian copula模型對天津富民橋主梁截面的可靠性進行了評估分析；樊學(xué)平等［6］基于BHM 數(shù)據(jù)，采用貝葉斯動態(tài)C/D vine Gaussian copula模型對天津富民橋主梁截面的可靠性進行了預(yù)測分析；Liu等［7］采用多變量copula模型進行了橋梁結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)可靠性評估分析。上述研究中的pair?copula 均為pair?Gaussian?copula函數(shù)，進一步驗證了Gaussian copula函數(shù)在橋梁可靠性分析中的合理性和適用性。

由上述研究可知，基于監(jiān)測數(shù)據(jù)并考慮監(jiān)測點相關(guān)性的橋梁可靠性研究主要通過引入copula函數(shù)進行，但隨著維度的增加，模型參數(shù)估計變得更為困難，缺乏靈活性和通用性，因而在高維相依性建模方法存在局限性。Vine Gaussian copula理論的出現(xiàn)解決了這個問題［8-9］，最優(yōu)regular?vine Gaussian copula 作為一種以雙變量pair?Gaussian?copula為基礎(chǔ)模型的特殊的vine Gaussian copula模型，可以將高維Gaussian copula函數(shù)分解為多個pair?Gaussian?copula函數(shù)的結(jié)合，提高了模型的擬合度。C/D? vine Gaussian copula模型是特殊的R?vine Gaussian copula模型，由于遍歷性弱，其也只適合于隨機變量個數(shù)較少的情況。因而建立適合于高維隨機變量的最優(yōu)R?vine Gaussian copula建模方法還需要展開深入研究。

本文以服役大跨橋梁主梁為研究對象，基于主梁多個控制監(jiān)測點（對應(yīng)多個監(jiān)測變量）的日常極值應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)，首先，引入雙變量pair?Gaussian?copula模型，實現(xiàn)多個監(jiān)測點相依結(jié)構(gòu)的變量分離，進而，結(jié)合最優(yōu)R?vine 理論，建立刻畫監(jiān)測變量間相關(guān)性的最優(yōu)R?vine Gaussian copula模型及其對應(yīng)的R?vine矩陣；然后，基于控制監(jiān)測點的功能函數(shù)，對各監(jiān)測點失效模式相關(guān)性進行建模分析，結(jié)合一次二階矩方法，對失效模式相關(guān)的大跨橋梁主梁進行失效分析；最后通過在役橋梁監(jiān)測數(shù)據(jù)進行驗證分析。

1 監(jiān)測變量的最優(yōu)R?vine Gaussian copula模型及其對應(yīng)的R?vine矩陣

大跨橋梁主梁包含多個應(yīng)變監(jiān)測點，考慮到動態(tài)監(jiān)測日常極值應(yīng)變的隨機性，每個監(jiān)測點的應(yīng)變被認為是一個監(jiān)測變量，因而多個監(jiān)測點對應(yīng)多個監(jiān)測變量。由于具有共同輸入隨機源（共同的環(huán)境荷載與車輛荷載），這些監(jiān)測變量相互之間存在非線性相關(guān)性［1～7］。引入pair?Gaussian?copula 理論和二維Gaussian copula 理論建立刻畫這些相關(guān)性的最優(yōu)R?vine Gaussian copula 模型及其對應(yīng)的R?vine矩陣。

1.1 Pair-Gaussian-copula理論

Bedford 等［8～9］提出了基于pair copula 構(gòu)造模塊的多元隨機變量聯(lián)合概率分布模型。Pair copula 構(gòu)造模塊為多維隨機變量提供了一種分離變量間相依結(jié)構(gòu)的方法，可以將多維隨機變量按照某種邏輯結(jié)構(gòu)分解為多個兩兩變量的pair copula模塊，為copula理論在高維隨機變量的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

將橋梁主梁n個監(jiān)測點所對應(yīng)的監(jiān)測極值應(yīng)變定義為一個n維隨機變量X=(x1，x2，…，xi，…，xn)，基于copula 模型的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x1，x2，…，xi，…，xn)，按照條件密度函數(shù)理論可以寫為

式中：c 為copula 密度函數(shù)；Fi(xi)和fi(xi)分別為隨機變量xi的邊緣概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。

由式（1）可得二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

式中：caj(Fa(xa)，F(xiàn)j(xj))為xa和xj的二維copula 密度函數(shù)。

由式（2）可得，在xj已知的條件下，xa的概率密度函數(shù)為

由式（3）可得，在n維隨機變量u已知的條件下，任意隨機變量x的條件密度函數(shù)為

式中：ua為n維隨機變量u中的一個分量；u-a為n維隨機變量u 中去掉ua之后的n-1 維分量；cx，va|v-a=應(yīng)的pair?copula 密度函數(shù)，結(jié)合式（4），隨機變量x的條件分布函數(shù)可以表示為

其中，當(dāng)v為單個變量時，F(xiàn)(x|v)可以簡化為

式（5）、（6）中：u1=Fx(x)和u2=Fv(v)分別為x 變量和v變量對應(yīng)的邊際累積分布函數(shù)。

式（7）和式（8）分別表示二元Gaussian copula概率分布函數(shù)和二元Gaussian copula 概率密度函數(shù)。

式中：ui=Fi(xi)，i=1，2，F(xiàn)i(xi)是xi的邊緣概率分布函數(shù)；ΦG為Gaussian copula 函數(shù)；Φ 為標準正態(tài)分布函數(shù)；Φ-1為Φ 的逆函數(shù)；r=Φ-1(u1)；s=Φ-1(u2)；ρ 為copula 函 數(shù)的 相 關(guān) 參數(shù)，ρ ∈[-1，1]。

1.2 最優(yōu)R-vine Gaussian copula 模型及對應(yīng)的R-vine矩陣

多元隨機變量不同的排列順序?qū)?yīng)著不同的多元分布結(jié)構(gòu)，Bedford 等［8～9］引入vine 來對多元隨機變量的分解結(jié)構(gòu)進行描述，其中，性能最好的是最優(yōu)R?vine結(jié)構(gòu)。

1.2.1 R?vine Gaussian copula模型

R?vine Gaussian copula 模型就是利用pair?Gaussian?copula模型作為基礎(chǔ)模塊對多元隨機變量以一列樹集的形式進行分層分解。對非空有限點集V，令維數(shù)d=|V|，則在V 上定義的R?vine 是一列樹集υ=(T1，…，Tn-1)，其中T1=( V1，E1，Tn-1)=(Vn-1，En-1)，V1=V，Vi=Ei-1(i≥2)，即：樹Ti的點 是Ti-1的 邊，用{v，w}表 示Ti的 一 條 邊，即Ei?{{v，w}|v ≠w ∈Vi}，v中的每棵樹Ti滿足鄰近條件。

對于n維隨機變量X=(X1，…，Xn)，第i個隨機變量的邊緣高斯密度函數(shù)為fi，對應(yīng)的R?vine Gaussian copula聯(lián)合密度函數(shù)為

式中：E={E1，E2，…，En-1}為邊集；為Ei中的一條邊；cv，w|D(e)為對應(yīng)的pair?Gaussian?copula 密度函數(shù)，其中v，w 為邊e 相連接的兩個節(jié)點，D(e)為條件集；F(xv|xD(e))和F(xw|xD(e))為條件高斯概率分布函數(shù)，利用式（4）～（6）可遞推得到。

1.2.2 R?vine 結(jié)構(gòu)的構(gòu)建方法

在隨機變量個數(shù)較少的情況下，可以通過遍歷所有的R?vine 結(jié)構(gòu)，結(jié)合觀測數(shù)據(jù)選取最優(yōu)R?vine結(jié)構(gòu)，但是一旦變量個數(shù)較多時，R?vine結(jié)構(gòu)數(shù)量會急劇增加。Nápoles等［10］指出，在考慮不同變量所對應(yīng)的節(jié)點順序情況下，d 維隨機變量的R?vine 結(jié)構(gòu)有種。因此本文通過最大生成樹（MST?PRIM）算法［11］來選擇最優(yōu)R?vine 結(jié)構(gòu)，構(gòu)建過程如下。

（1）計算兩兩變量之間的Kendall 秩相關(guān)系數(shù)，通過最大化Kendall 線性相關(guān)系數(shù)絕對值之和D 來選擇R?vine結(jié)構(gòu)的第1棵樹，即

式中：δv，w為變量v（節(jié)點）和變量w（節(jié)點）對應(yīng)Kendall秩相關(guān)系數(shù)；Ei為第i棵樹的邊集。

（2）基于節(jié)點之間變量對的分布，確定每條邊對應(yīng)的pair?Gaussian?copula 模型，且對其函數(shù)的參數(shù)進行估計。

文中基于Kendall秩相關(guān)系數(shù)對Gaussian copula模型相關(guān)參數(shù)進行估計，Kendall 秩相關(guān)系數(shù)是Gaussian copula 函數(shù)常用的相關(guān)性測度，常見的二元Gaussian copula相關(guān)參數(shù)與Kendall秩相關(guān)系數(shù)τk之間的關(guān)系見文獻［11-12］。

（3）上一層樹每條邊對應(yīng)的變量對，作為下一層樹的節(jié)點，重新根據(jù)MST?PRIM算法確定下一層對應(yīng)的樹結(jié)構(gòu)和pair?Gaussian?copula模型。

（4）重復(fù)步驟（3），直到節(jié)點數(shù)目為2，即完成R?vine結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。

以5 維監(jiān)測隨機變量為例，構(gòu)建其對應(yīng)R?vine結(jié)構(gòu)如圖1 所示。由圖1可知，5 維監(jiān)測隨機變量R?vine 結(jié)構(gòu)有4 棵樹、5 個節(jié)點，節(jié)點之間的連線叫做邊，共有10 條邊，每條邊對應(yīng)一個pair?copula 模型，其中“｜”線之后的變量代表的是條件變量。

為方便表示聯(lián)合密度函數(shù)的分解形式，Nápoles等［10］提出利用約束矩陣M=(mi，j)i，j=1，...，n來儲存R?vine的所有樹和邊的集合υ，這樣每一個條件分布可以根據(jù)約束集集合CM=CM(i)∪...∪CM(d-1)來表達，其中第i(i=1，…，n-1)個約束矩陣集表示為

式中：mk，i為矩陣M中k行i列對應(yīng)的節(jié)點；{mi，i，mk，i}稱為被條件集；D為條件集。

1.2.3 最優(yōu)R?vine Gaussian copula 模型和對應(yīng)最優(yōu)R?vine矩陣的構(gòu)建方法

根據(jù)Bedford 等［9］的推導(dǎo)，運用約束集矩陣的符號表示，可得隨機向量x=(x1，x2，…，xn)的最優(yōu)R?vine Gaussian copula 聯(lián)合密度函數(shù)為一系列pair?Gaussian?copula 和邊緣密度函數(shù)之積，如式（12）所示。

式 中：mk，i為 矩 陣M 中k 行i 列 對 應(yīng) 的 節(jié) 點，F(xiàn)mk，k||mi+1，k，...，md，k和Fmi，k||mi+1，k，...，md，k為mk，k和mk，i對應(yīng)的條件高斯概率分布函數(shù)，由式（4）～（6）可遞推得到。

式（13）的具體構(gòu)造步驟是：將第1 棵樹的節(jié)點排列在主對角線上，主對角線上第1 個節(jié)點和矩陣最后1 行的節(jié)點構(gòu)成第1 棵樹的邊，如(5，1)、(4，2)、(3，2)、(2，1)是第1棵樹的邊；主對角線上第1個節(jié)點和倒數(shù)第2 行的節(jié)點以矩陣最后1 行節(jié)點為條件構(gòu)成第2 棵樹的邊，如(5，2|1)、(4，3|2)、(3，1|2)是第2棵樹的邊；主對角線上第1個節(jié)點和矩陣倒數(shù)第3行的節(jié)點以矩陣最后2行為條件構(gòu)成第3棵樹的邊，如(5，3|1，2)、(4，1|2，3)是第3棵樹的邊；以此類推即可得到R?vine結(jié)構(gòu)。

2 失效模式非線性相關(guān)的在役橋梁主梁失效概率分析

基于監(jiān)測變量非線性相關(guān)性R?vine Gaussian copula 模型，多個監(jiān)測點失效模式非線性相關(guān)性模型可利用兩兩監(jiān)測點失效模式間的二元失效模式pair?Gaussian?copula 模塊，通過最優(yōu)R?vine 結(jié)構(gòu)來建立。利用所建立的最優(yōu)R?vine Gaussian copula模型可實現(xiàn)失效模式相關(guān)的橋梁主梁失效概率分析，核心流程詳細步驟為：①基于混凝土的容許應(yīng)變和監(jiān)測極值應(yīng)變信息（拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨摚?，采用一次二階矩方法，計算監(jiān)測點可靠指標和失效概率；②基于監(jiān)測點失效概率，采用pair?Gaussian?copula 理論，進行任意2 個監(jiān)測點及其失效模式非線性相關(guān)的主梁失效概率分析；③基于任意2個監(jiān)測點失效模式非線性相關(guān)的主梁失效概率分析結(jié)果，基于所建立的最優(yōu)R?vine Gaussian copula模型，采用串聯(lián)結(jié)構(gòu)體系可靠性分析方法，進行多個監(jiān)測點失效模式非線性相關(guān)的大跨橋梁主梁失效概率分析。

2.1 橋梁主梁監(jiān)測點可靠指標計算

采用一次二階矩方法［13-14］進行橋梁主梁監(jiān)測點可靠指標的計算，橋梁監(jiān)測點極限狀態(tài)方程為

式中：R 為容許應(yīng)變；S 為極值應(yīng)變。R 與S 相互獨立。

監(jiān)測點可靠指標計算公式為

式中：μS、σS分別為截面監(jiān)測點極值應(yīng)變的平均值與標準差；μR、σR分別為容許應(yīng)變的平均值和標準差。極值應(yīng)變指每天監(jiān)測應(yīng)變絕對值的極大值，監(jiān)測的拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨摗?/p>

2.2 考慮兩個失效模式相關(guān)性的主梁失效概率分析

Pair-copula 模塊中的二元結(jié)構(gòu)體系有2 種形式：串聯(lián)體系和并聯(lián)體系。任意2 個監(jiān)測點形成的二元組合結(jié)構(gòu)體系是并聯(lián)體系［1-2，5］，即本文R?vine結(jié)構(gòu)中任意一條邊的兩個點之間呈并聯(lián)關(guān)系。根據(jù)文獻［2］可知，n 維并聯(lián)結(jié)構(gòu)體系的失效模式功能函數(shù)為

式中：n為監(jiān)測點總數(shù)；i為第i個監(jiān)測點；Xi為第i個監(jiān)測點的極值應(yīng)變。

基于式（7）、（8）和式（14）～（16），可得pair?Gaussian?copula模塊中任意二元結(jié)構(gòu)體系失效模式同時發(fā)生的概率為

計算了3個模型得到的碎片最終速度與數(shù)值模擬得到的碎片最終速度之比。3個模型計算得到的裝藥比比值誤差的比較如圖6所示。可以看出，模型2確實明顯偏離數(shù)值模擬結(jié)果，而模型1和模型3在跳躍變化的區(qū)段(裝藥比為0.657%～0.792%)，理論模型與數(shù)值計算相比沒有明顯的差別。但是隨著裝藥比的增大，模型1和模型3的結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果之間的偏差越來越大。相對而言，模型3是基于動量守恒的3階段計算模型，其結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果最為接近，δ在10%以內(nèi)。說明，對于小裝藥比爆炸驅(qū)動雙層殼體的情況，單純基于Gurney公式的直接應(yīng)用要謹慎，發(fā)展兩段驅(qū)動理論模型進行碎片速度的估算是有必要的。

式中：i，j ∈{1，2，…，n}且i≠j；Xi為第i 個監(jiān)測點的極值應(yīng)變；和pfj為監(jiān)測點的失效概率，可以由式pf=Φ(-β)得到，β為可靠指標。

2.3 多個監(jiān)測點失效模式非線性相關(guān)的橋梁主梁失效概率分析

假定橋梁主梁任意2個監(jiān)測點非線性相關(guān)的二元結(jié)構(gòu)體系呈串聯(lián)關(guān)系，結(jié)合式（17）可得多個失效模式非線性相關(guān)的橋梁主梁失效概率為

多個失效模式相互獨立的橋梁主梁失效概率為

式中：pfi是第i個監(jiān)測點的失效概率。

肇慶西江大橋為大跨度連續(xù)剛構(gòu)組合梁橋，主橋上部結(jié)構(gòu)為預(yù)應(yīng)力混凝土橋?連續(xù)箱梁組合體系［15～16］。采用第5跨順橋向5個截面（A，B，C，D，E）的健康監(jiān)測數(shù)據(jù)對第5 跨主梁進行失效概率分析。截面位置及傳感器布置如圖2、3 所示，其中截面A對應(yīng)傳感器1和傳感器2，截面B對應(yīng)傳感器3和傳感器4，截面C對應(yīng)傳感器5和傳感器6，截面D對應(yīng)傳感器7和傳感器8，位置與截面B相同，截面E對應(yīng)傳感器9 和傳感器10，位置與截面A 相同。利用這10 個傳感器采集得到的混凝土極值應(yīng)變數(shù)據(jù)對第5跨主梁的失效概率進行分析。采集得到的應(yīng)變數(shù)據(jù)信息包含了車輛荷載、溫度荷載、收縮徐變、結(jié)構(gòu)自重以及結(jié)構(gòu)變化的信息。

在不考慮監(jiān)測點失效模式相依性的情況下，10個監(jiān)測點的最大失效概率認為是第5跨主梁的失效概率，由式（17）進行計算。在考慮監(jiān)測點失效模式相依性的情況下，所有任意組合模塊（pair?Gaussian?copula 模塊）中的最大失效概率認為是第5 跨主梁的失效概率，由式（18）進行計算。

圖2 西江大橋監(jiān)測截面分布（單位：m）Fig.2 Layout of monitored section of Xijiang Bridge（unit：m）

圖3 截面A、B以及C的傳感器布置Fig.3 Layout of sensors on sections A,B，and C

對肇慶西江大橋跨中順橋向5 個截面進行了100 d的監(jiān)測，保證了10個監(jiān)測點監(jiān)測應(yīng)變的概率統(tǒng)計特性得到正確提取。10個監(jiān)測點的監(jiān)測極值應(yīng)變時程曲線如圖4所示。

對監(jiān)測點的極值應(yīng)變數(shù)據(jù)采用五點三次平滑進行處理，處理之后的數(shù)據(jù)被認為是構(gòu)建最優(yōu)R?vine copula模型的初始狀態(tài)數(shù)據(jù)?；跇蛄航孛娓鞅O(jiān)測點失效模式非線性相關(guān)的最強相依關(guān)系，采用最優(yōu)R?vine Gaussian copula 模型對第5 跨主梁失效概率進行分析。

基于各監(jiān)測點對應(yīng)的監(jiān)測極值應(yīng)變數(shù)據(jù)可得各監(jiān)測變量之間的秩相關(guān)系數(shù)，通過最大生成樹MST?PRIM 算法，確定Kendall 秩相關(guān)系數(shù)絕對值最大的雙變量，選擇的雙變量分別是5?1、1?3、3?9、7?9、9?2、10?2、8?2、2?4、4?6，從而確定R?vine 的第1 棵樹形結(jié)構(gòu)圖，如圖5所示。

類似地，依據(jù)監(jiān)測變量間的最強相依關(guān)系，通過最大生成樹MST?PRIM 算法可以得到R?vine 的另外8 棵樹的結(jié)構(gòu)，從而得到R?vine 矩陣，如式（20）所示。

分別對截面的初始狀態(tài)信息進行Kolmogorov?Smirnov（K?S）檢驗，10個傳感器對應(yīng)監(jiān)測變量的均值、標準差和p 值如表1 所示，其中，p 值表示觀察到與原假設(shè)下（正態(tài)分布）的觀測值相同或更極端的測試統(tǒng)計量的概率，當(dāng)p 值小于0.05 時，認為原假設(shè)（正態(tài)分布）不成立。由表1 可知，各監(jiān)測極值應(yīng)變在5%顯著性水平上不能拒絕原假設(shè)（服從正態(tài)分布），即接受服從正態(tài)分布。因此，認為10個監(jiān)測點的極值應(yīng)變數(shù)據(jù)均近似服從正態(tài)分布。肇慶西江大橋混凝土容許壓應(yīng)變服從均值為1597.68×10-6、標準差為175.74×10-6的正態(tài)分布（變異系數(shù)取值0.11［15-16］）。因而，采用一次二階矩方法對監(jiān)測點可靠指標進行計算。

圖4 5個截面監(jiān)測極值應(yīng)變時程曲線Fig.4 Monitored extreme strain curves of five sections

圖5 R-vine的第1棵樹形結(jié)構(gòu)圖Fig.5 First tree of R-vine structure

基于表1，結(jié)合式（12）和式（13）可得監(jiān)測點可靠指標為

式中：μ和σ分別為監(jiān)測點極值應(yīng)變絕對值的平均值與標準差。

肇慶西江大橋第5 跨主梁順橋向截面A、B、C、D、E 所對應(yīng)10 個監(jiān)測點的可靠指標和失效概率如表2所示。從表2中計算結(jié)果可知，同一截面的不同測點（頂部和底部）對應(yīng)的可靠指標和失效概率會出現(xiàn)差異性較大的結(jié)果，這主要是由于預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)在預(yù)應(yīng)力和荷載共同作用下，同一截面頂、底板位置的應(yīng)力狀態(tài)不同。

表1 各監(jiān)測點變量對應(yīng)的均值、標準差和p值Tab.1 Mean,standard deviation and p-value of multiple monitored variables

結(jié)合表2，利用式（19）可得不考慮失效模式相關(guān)性的第5跨主梁失效概率為

基于確定的最優(yōu)R?vine 矩陣（式（20）所示）和pair?copula失效模塊，通過二元Gaussian copula對考慮失效模式非線性相關(guān)的第5跨主梁失效概率進行分析?；跇?gòu)建的R?vine copula 模型，橋梁截面的10 個監(jiān)測點可以分解為45 個兩兩結(jié)構(gòu)相依的失效模塊。各失效模塊對應(yīng)的失效概率如表3所示。

由表3 可得，第5 跨主梁所對應(yīng)的10 維隨機變量各組合模塊失效模式的失效概率，根據(jù)式（18）可得，考慮失效模式非線性相關(guān)的第5 跨主梁失效概率為

表2 各監(jiān)測點對應(yīng)的可靠指標和失效概率Tab.2 Reliability index and failure probability of multiple monitoring point

式中：pfv，w表示v 節(jié)點和w 節(jié)點的pair?copula 模塊的失效概率；Ei(i=1，…，9)為表3 中第i 棵樹的邊集。

由式（22）和式（23）計算結(jié)果可知，采用最優(yōu)R?vine Gaussian copula 模型，肇慶西江大橋第5 跨主梁考慮失效模式相關(guān)性的失效概率要小于不考慮失效模式相關(guān)性時的失效概率。式（22）和式（23）計算結(jié)果的差異性與文獻［1］建立的C/D?vine Gaussian copula 模型計算結(jié)果的差異性相比（文獻［1］中不考慮失效模式相關(guān)性的失效概率為1.06×10-2，采用C/D?vine Gaussian copula 模型考慮失效模式相關(guān)性的失效概率為1.6×10-3和1.7×10-3，考慮與不考慮失效模式相關(guān)性計算結(jié)果的差異性偏小，說明C/D?vine Gaussian copula 考慮的相關(guān)性偏?。?，進一步驗證了本文最優(yōu)R?vine copula 模型的準確性。而且，文中采用的最優(yōu)R?vine Gaussian copula 模型是根據(jù)變量間相依性特征來決定其相依結(jié)構(gòu)的形式，與文獻［1］事先設(shè)定樹結(jié)構(gòu)形式而建立的C/D?vine Gaussian copula 模型相比，在變量間相關(guān)性建模上擬合效果更佳，且更符合變量間的實際情況。

表3 各失效模塊對應(yīng)的失效概率Tab.3 Failure probability of multiple pair-Gaussian-copula

續(xù)表

4 結(jié)論

（1）給出了大跨橋梁主梁多個控制監(jiān)測點監(jiān)測數(shù)據(jù)之間最強相關(guān)性的最優(yōu)R?vine 分析方法，解決了高維隨機變量遍歷性復(fù)雜的特點。

（2）提出了大跨橋梁主梁失效概率分析的最優(yōu)R?vine Gaussian copula數(shù)據(jù)融合方法。

（3）為考慮高維隨機變量相關(guān)性和多個監(jiān)測點失效模式相關(guān)性的大跨橋梁主梁失效概率分析提供了一種新思路，為在役橋梁安全評價提供了理論基礎(chǔ)和應(yīng)用方法。

作者貢獻說明：

劉逸平：指導(dǎo)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測。

肖青凱：數(shù)據(jù)分析，撰寫論文初稿。

楊光紅：協(xié)助完善研究內(nèi)容。

劉月飛：修改完善數(shù)學(xué)理論。

樊學(xué)平：指導(dǎo)論文總體框架，定稿。