沈晶晶

一元一次不等式（組）是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是各地中考的必考考點。老師以2020年中考試題為例，歸納出以下幾個熱門考點，以期幫助同學(xué)們更好地復(fù)習(xí)研究。

考點一：不等式的基本性質(zhì)

例1 （2020·貴州貴陽）已知a

A.a-1-2b

C.[12]a+1<[12]b+1 D.ma>mb

【解析】A選項在不等式a-2b。C選項在不等式amb;若m=0，則ma=mb，有三種可能。故選D。

【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是先判斷出選項中的不等式的兩邊是對已知不等式的兩邊如何變形的，再根據(jù)不等式的性質(zhì)作出判斷即可。

考點二：在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集

例2（2020·湖南益陽）將不等式組[x+2≥0，x<1]的解集在數(shù)軸上表示，正確的是（）。

【解析】解不等式x+2≥0，得x≥-2，又x<1，∴不等式組的解集為-2≤x<1。故選A。

【點評】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集的方法。正確求出每一個不等式的解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵。同時，解集在數(shù)軸上表示時，我們還要注意臨界點是空心點還是實心點。

考點三：求待定字母的取值范圍

例3 （2020·甘肅天水）若關(guān)于x的不等式3x+a≤2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）。

A.-7

C.-7≤a<-4 D.-7

【解析】先解不等式?！?x+a≤2，∴3x≤2-a，則x≤[2-a3]。

∵不等式只有2個正整數(shù)解，∴不等式的正整數(shù)解為1、2，則2≤[2-a3]<3，解之可得-7

變式：若關(guān)于x的不等式組[2（x-1）>2，a-x<0]

的解集是x>a，則a的取值范圍是（）。

A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2

【解析】先解關(guān)于x的不等式組[2（x-1）>2，a-x<0，]得[x>2，x>a。]由于不等式組的解集是同大取大，借助數(shù)軸，得出答案a≥2。臨界值a能否等于2，可將a=2代入不等式組中進(jìn)行驗證。故選D。

【點評】解決這類問題的思路是先求出不等式（組）的解集，有待定字母的不等式用含待定字母的代數(shù)式表示，再由解集的特征要求來確定待定字母的取值范圍。同時可以借助數(shù)軸進(jìn)行逆向分析。在特殊值或邊界值的取舍上，一定要仔細(xì)甄別。

考點四：一元一次不等式與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

例4 （2020·湖南湘潭）如圖，直線y=kx+b（k<0）經(jīng)過點P（1，1），當(dāng)kx+b≥x時，則x的取值范圍為（）。

A.x≤1 B.x≥1 C.x<1 D.x>1

【解析】本題可以直接用代數(shù)方法求解。將P（1，1）代入y=kx+b（k<0），可得k=1-b，再代入kx+b≥x變形整理，得-bx+b≥0。由圖像可知b>0，∴x-1≤0，∴x≤1。故選A。

由于直線y=x也經(jīng)過P點，所以我們?nèi)绻麖臄?shù)形結(jié)合的角度來看一元一次不等式kx+b≥x的解集，就是找出直線y=kx+b落在直線y=x上方的部分，也就是直線y=kx+b上位于點P的左側(cè)部分的點的橫坐標(biāo)所對應(yīng)的自變量的取值范圍。

變式：已知關(guān)于x的函數(shù)y=kx+3的圖像經(jīng)過點（2，0），則關(guān)于x的不等式kx+3>0的解集是。

【解析】從數(shù)形結(jié)合的角度來看不等式kx+3>0的解集，實際上就是一次函數(shù)y=kx+3的圖像在x軸上方部分所對應(yīng)的自變量的取值范圍。故答案為x<2。

【點評】這類不等式與函數(shù)相結(jié)合的題型可以說不是解出來的，而是看出來的。我們要深刻理解不等式（組）的本質(zhì)，準(zhǔn)確把握函數(shù)值與方程的解、不等式（組）的解或解集之間的內(nèi)在聯(lián)系，才能靈活快速地解決相關(guān)問題。

考點五：一元一次不等式組的應(yīng)用

例5 （2020·山東濟(jì)寧）為加快復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某企業(yè)需運(yùn)輸一批物資。據(jù)調(diào)查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)輸600箱;5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸1350箱。

（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運(yùn)輸多少箱物資。

（2）計劃用兩種貨車共12輛運(yùn)輸這批物資，每輛大貨車一次需費用5000元，每輛小貨車一次需費用3000元。若運(yùn)輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元，請你列出所有運(yùn)輸方案，并指出哪種方案所需費用最少。最少費用是多少？

【解析】（1）設(shè)1輛大貨車一次運(yùn)輸x箱物資，1輛小貨車一次運(yùn)輸y箱物資。由“2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)輸600箱;5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸1350箱”可列方程組，得[2x+3y=600，5x+6y=1350，]

解得[x=150，y=100。]

（2）設(shè)有a輛大貨車，（12-a）輛小貨車。由“運(yùn)輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元”可列不等式組，得

∴6≤a<9，

∴整數(shù)a=6，7，8。

當(dāng)有6輛大貨車、6輛小貨車時，費用=5000×6+3000×6=48000元;

當(dāng)有7輛大貨車、5輛小貨車時，費用=5000×7+3000×5=50000元;

當(dāng)有8輛大貨車、4輛小貨車時，費用=5000×8+3000×4=52000元。

∵48000<50000<52000，

∴當(dāng)有6輛大貨車、6輛小貨車時，費用最少。最少費用為48000元。

【點評】利用二元一次方程組和一元一次不等式組解決實際問題，是中考中最常見的題型。本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組;（2）根據(jù)各數(shù)量之間的不等關(guān)系，正確列出一元一次不等式組。在利用不等式（組）解決問題時，求得不等式（組）的解集后，要善于根據(jù)實際問題的常規(guī)要求及附加要求，全面而完整地對解進(jìn)行取舍。

（作者單位：江蘇省儀征市實驗中學(xué)）