邵鴻南,梁 倩,王李森,馬云鵬,項(xiàng)賢鵬

(1.東北財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,遼寧 大連 116000;2.哈爾濱商業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150000)

1 引言

多目標(biāo)優(yōu)化是多準(zhǔn)則決策的分支領(lǐng)域，它是涉及多個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)優(yōu)化的數(shù)學(xué)問題。多目標(biāo)優(yōu)化不可能使所有的目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)值，需要在多個(gè)相互沖突的目標(biāo)之間進(jìn)行權(quán)衡，做出最優(yōu)決策。因此，對于多目標(biāo)的研究十分重要，應(yīng)該設(shè)計(jì)更多的優(yōu)化算法以解決實(shí)際問題。

國內(nèi)對于蝗蟲優(yōu)化算法GOA(Grasshopper Optimization Algorithm)的研究主要是將算法與其他模型結(jié)合并應(yīng)用在工程問題當(dāng)中。張伍等[1]采用了二進(jìn)制版本的蝗蟲特征選擇法，將蝗蟲優(yōu)化算法與多核模糊粗糙集模型相結(jié)合，提出了模糊粗糙集蝗蟲優(yōu)化算法FRSGOA (Fuzzy Rough Set Grasshopper Optimization Algorithm)。陳冬[2]在標(biāo)準(zhǔn)蝗蟲優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上提出了一種正余弦混沌蝗蟲優(yōu)化算法SCCGOA (Sine Cosine Chaotic Grasshopper Optimization Algorithm)。該算法先由GOA算法搜尋到當(dāng)前最優(yōu)位置，之后在該位置進(jìn)行混沌局部搜索，將正余弦搜索機(jī)制引入到混沌變量的波仔映射中。趙然等[3]將Levy隨機(jī)飛行引入蝗蟲優(yōu)化算法，提高了局部搜索的能力，又加入了線性遞減參數(shù)的隨機(jī)突變策略，提出了一種基于 Levy飛行的改進(jìn)蝗蟲優(yōu)化算法 LBGOA (Grasshopper Optimization Algorithm Based on Levy flight)。

國外對于蝗蟲優(yōu)化算法的研究開始得比較早。Mirjalili等[4]提出了多目標(biāo)蝗蟲優(yōu)化算法MOGOA(Multi-Objective Grasshopper Optimization Algorithm)，用外部檔案來保存帕累托最優(yōu)解，然后利用輪盤賭選擇引導(dǎo)者，在多種測試函數(shù)上都表現(xiàn)優(yōu)異。Talaat等[5]結(jié)合多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和蝗蟲優(yōu)化算法，使用組合模型進(jìn)行高精度的負(fù)荷預(yù)測，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明GOA的引入能夠大幅度提升模型的準(zhǔn)確性。Gampa等[6]提出了一種基于兩階段蝗蟲優(yōu)化算法的模糊多目標(biāo)方法，利用該方法可以優(yōu)化分布式發(fā)電和并聯(lián)電容器的大小和分配，確定電動(dòng)汽車充電站的最佳位置和充電站的車輛數(shù)量。由以上文獻(xiàn)可以看出，目前關(guān)于多目標(biāo)蝗蟲優(yōu)化算法的研究比較少，應(yīng)用也不夠廣泛，學(xué)者們都致力于算法的應(yīng)用，而忽略了算法本身的改進(jìn)?；认x優(yōu)化算法位置的更新公式仍具有潛在價(jià)值，平衡開發(fā)與探索之間協(xié)作還有很大的改進(jìn)空間?；认x優(yōu)化算法在各方面都展現(xiàn)出了巨大的研究價(jià)值，因此對于多目標(biāo)蝗蟲優(yōu)化算法的研究仍需要投入大量時(shí)間。

與之前學(xué)者的研究成果相比較，本文所提出的基于反向?qū)W習(xí)和種群引導(dǎo)的多目標(biāo)蝗蟲優(yōu)化算法OPMOGOA(Multi-Objective Grasshopper Optimization Algorithm based on Opposition-based learning and Population guidance)的創(chuàng)新點(diǎn)有以下幾點(diǎn)：

(1)種群引導(dǎo)機(jī)制的使用。單一的最優(yōu)解引導(dǎo)機(jī)制在算法的后期不能全面引導(dǎo)種群向著更好的分布進(jìn)化，而種群引導(dǎo)機(jī)制[7]的使用能夠較好地利用一部分最優(yōu)解所包含的信息引導(dǎo)種群的演化，這對于多目標(biāo)優(yōu)化算法所求解的分布性有著巨大的提升作用。

(2)反向?qū)W習(xí)機(jī)制[8]的使用。反向?qū)W習(xí)機(jī)制的應(yīng)用能夠使種群搜索的范圍更加廣泛，種群初始化時(shí)使用反向?qū)W習(xí)機(jī)制會(huì)使得初始種群分布更加合理。

(3)高斯突變[9]的使用。高斯突變較高概率下會(huì)圍繞中心周圍進(jìn)行突變，這就使得迭代后期能夠更加細(xì)致地搜索最優(yōu)解的附近。

2 基本知識(shí)

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題

一個(gè)具有N個(gè)維度的決策變量和M個(gè)維度的目標(biāo)函數(shù)的問題可以描述為式(1)所示:

minY=[f1(Xi),f2(Xi),…,fM(Xi)]

(1)

決策變量解A優(yōu)于解B，則A在所有的目標(biāo)函數(shù)都小于或等于B，并且至少在一個(gè)目標(biāo)函數(shù)中，A是嚴(yán)格優(yōu)于B的，記為AB。在解集合中，不存在任何一個(gè)解嚴(yán)格優(yōu)于當(dāng)前解，這樣的解稱為最優(yōu)解。由帕累托最優(yōu)解構(gòu)成的集合被稱為帕累托最優(yōu)解集。所有的帕累托最優(yōu)解集所對應(yīng)的目標(biāo)向量就是帕累托前沿。

2.2 蝗蟲優(yōu)化算法

蝗蟲優(yōu)化算法[10]的核心思想是蝗蟲根據(jù)食物的位置和蝗蟲群其他個(gè)體的位置進(jìn)行跳躍移動(dòng)，蝗蟲之間有排斥區(qū)、舒適區(qū)和吸引區(qū)，蝗蟲根據(jù)數(shù)學(xué)模型所提供的位置更新公式更新所在位置。所有的蝗蟲進(jìn)行移動(dòng)后，更新所有蝗蟲的適應(yīng)度值，食物的位置由最優(yōu)的適應(yīng)度值確定，當(dāng)所有的蝗蟲都移動(dòng)到舒適區(qū)，蝗蟲將不再移動(dòng)。

蝗蟲種群中各個(gè)蝗蟲的位置更新模型表示為Xi=Si+Gi+Ai,其中Xi代表第i個(gè)蝗蟲的位置，即決策變量，Si代表社會(huì)影響因素，Gi代表重力影響因素，Ai代表風(fēng)向影響因素。Si的定義如式(2)所示：

(2)

(3)

其中，f代表吸引力強(qiáng)度，通常設(shè)置為0.5，l代表吸引力長度比例參數(shù)，通常設(shè)置為1.5。r代表2個(gè)個(gè)體間的距離，當(dāng)S(r)>0時(shí),2只蝗蟲處于吸引狀態(tài)；當(dāng)S(r)=0時(shí),2只蝗蟲處于舒適狀態(tài)；當(dāng)S(r)<0時(shí)，2只蝗蟲處于排斥狀態(tài)。

Gi的計(jì)算公式如式(4)所示：

(4)

Ai的計(jì)算公式如式(5)所示：

(5)

將上述公式整合后得到：

(6)

但是這一模型并不能直接應(yīng)用于求解問題，因此對它進(jìn)行如下改進(jìn)：

(7)

3 反向?qū)W習(xí)和種群引導(dǎo)的多目標(biāo)蝗蟲優(yōu)化算法

3.1 反向?qū)W習(xí)機(jī)制

為了更好地學(xué)習(xí)反向?qū)W習(xí)機(jī)制，首先來解釋反向點(diǎn)的概念，以一維標(biāo)量為例，圖1所示a的反向點(diǎn)為z。

Figure 1 Reverse point圖1 反向點(diǎn)

a的上下限分別是lower和upper，則lower+upper-a稱為a的反向點(diǎn)。明確反向點(diǎn)的定義之后，在每次位置更新后，求出每個(gè)解的反向點(diǎn)，比較當(dāng)前解和反向點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，如果反向點(diǎn)有更優(yōu)的目標(biāo)值，則用反向點(diǎn)代替當(dāng)前解，否則保持不變。本文將反向?qū)W習(xí)機(jī)制應(yīng)用于種群初始化策略和迭代更新過程。

3.2 高斯變異

為了解決多目標(biāo)算法陷入局部最優(yōu)解的問題，本文在位置更新時(shí)加入了高斯變異算子。高斯變異算子相比于其他的變異算子，在均值附近變異的概率最大，而產(chǎn)生變異是以上代位置為中心的變異，這就使得算法在局部的開發(fā)更加有效。在算法運(yùn)行過程中，每個(gè)個(gè)體決策變量的每個(gè)維度都有一定幾率發(fā)生標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯變異，其數(shù)學(xué)模型如式(8)～式(10)所示：

(8)

(9)

σ=(ubk-lbk)/6

(10)

3.3 種群引導(dǎo)

由于蝗蟲優(yōu)化算法需要最優(yōu)解作為引導(dǎo)，引導(dǎo)其他的蝗蟲向最優(yōu)解移動(dòng)，因此，最優(yōu)解的選取至關(guān)重要。但是，由于偶然性的存在，有時(shí)選擇的最優(yōu)解不夠合理。并且全局最優(yōu)解不應(yīng)該只局限于一個(gè)固定的解，應(yīng)該是較為優(yōu)秀的解的集合。本文所提到的種群引導(dǎo)正是基于這樣的目的，每次從帕累托等級為1的個(gè)體中隨機(jī)選取10%作為最優(yōu)解的集合，每個(gè)蝗蟲個(gè)體從最優(yōu)的10%的解中隨機(jī)選取一個(gè)向其移動(dòng)，經(jīng)過這種引導(dǎo)方式的解有更好的分布。

3.4 帕累托等級排序

通過非支配排序?qū)⒎N群數(shù)為n的種群分類為分級的帕累托前沿。首先將種群中所有的帕累托前沿求出，標(biāo)記帕累托前沿等級為1。之后將帕累托等級為1的個(gè)體忽略，在剩下的個(gè)體中求帕累托前沿，并記錄帕累托等級為2，之后循環(huán)進(jìn)行，直至將所有的解都分類。通過引入帕累托等級[11]和擁擠度的計(jì)算，能夠?qū)⑺械慕膺M(jìn)行排序，以便在種群混合時(shí)能夠選擇出比較好的前N個(gè)解。

3.5 擁擠距離

擁擠距離用來描述非支配解分布的特征，以便選出帕累托最優(yōu)集中10%的優(yōu)質(zhì)解。在帕累托解集中，每個(gè)非支配解都有一個(gè)擁擠距離，用于表示離它最近的非支配解在各個(gè)目標(biāo)函數(shù)維度上的距離之和。擁擠距離值越大，說明離當(dāng)前解最近的解位置較遠(yuǎn)，即帕累托解比較稀疏。相反，擁擠距離越小，說明離當(dāng)前解最近的解位置較近，即帕累托解越密集。引入擁擠距離的目的是通過當(dāng)前帕累托最優(yōu)解的分布情況來選擇最優(yōu)帕累托解，以引導(dǎo)種群發(fā)現(xiàn)使得帕累托前沿更均勻的解。而在帕累托前沿中的邊界解中，擁擠距離被設(shè)定為inf，其他解的擁擠距離的計(jì)算公式如式(11)所示:

(11)

3.6 算法流程

本文算法首先通過反向?qū)W習(xí)機(jī)制來初始化種群，利用最優(yōu)解的10%作為引導(dǎo)者進(jìn)行位置更新，更新位置后結(jié)合反向?qū)W習(xí)機(jī)制，選擇較優(yōu)解作為子代，并以一定的概率產(chǎn)生高斯突變，將最終產(chǎn)生的子代與父代混合，根據(jù)精英保留策略篩選出較優(yōu)解進(jìn)入下一代。該過程不斷迭代直至達(dá)到最大迭代次數(shù)。具體流程如算法1所示。

算法1OPMOGOA

輸入:種群數(shù)量，最大迭代次數(shù)。

輸出:帕累托最優(yōu)解。

步驟1初始化種群并計(jì)算反向點(diǎn)及其適應(yīng)度值。

步驟2將種群合并后計(jì)算帕累托等級和擁擠距離。優(yōu)先選擇較低的帕累托等級，當(dāng)帕累托等級相同時(shí)選擇擁擠距離較大的解。根據(jù)此規(guī)則選取前N個(gè)個(gè)體作為初始種群。

步驟3從帕累托等級為1的個(gè)體中隨機(jī)選擇10%作為種群引導(dǎo)。

步驟4每個(gè)個(gè)體從已選取的10%的解中隨機(jī)選取一個(gè)作為引導(dǎo)者，對所有的蝗蟲位置進(jìn)行更新。

步驟5計(jì)算反向點(diǎn)與當(dāng)前候選解，選擇更優(yōu)解進(jìn)入下一代，如果反向點(diǎn)與當(dāng)前候選解互不支配，以0.5的概率進(jìn)行選擇。

步驟6對種群中每個(gè)蝗蟲產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)隨機(jī)數(shù)小于p時(shí)對該蝗蟲位置進(jìn)行高斯突變。

步驟7將子代與父代進(jìn)行合并，重新計(jì)算帕累托等級和擁擠距離，根據(jù)步驟2的篩選規(guī)則選擇前N個(gè)個(gè)體進(jìn)入下一代，以保證種群數(shù)量維持不變。

步驟8判斷是否滿足最大迭代次數(shù)，不滿足最大迭代次數(shù)則重新執(zhí)行步驟3～步驟8。

4 實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)的算法具有良好的表現(xiàn)，本文選取了4種算法與改進(jìn)的算法進(jìn)行比較，分別是多目標(biāo)粒子群優(yōu)化MOPSO(Multiple Objective Particle Swarm Optimization)算法[12]、多目標(biāo)布谷鳥搜索MOCS(Multi-Objective Cuckoo Search)算法[13]、經(jīng)典多目標(biāo)蝗蟲優(yōu)化算法MOGOA(Multi-Objective Grasshopper Optimization Algorithm)[14]和多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法MOWOA(Multi-Objective Whale Optimization Algorithm)[15],測試函數(shù)選擇2個(gè)目標(biāo)的測試函數(shù)ZDT1和ZDT2[16]，以及3個(gè)目標(biāo)函數(shù)的VNT2和VNT3[17]。在測試函數(shù)中分為有約束條件和沒有約束條件，這就給帕累托前沿的求解帶來了巨大的困難，但是OPMOGOA的表現(xiàn)依舊出色。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為64位Windows 10系統(tǒng)，CPU為AMD R5 3500U 2.10 GHz，內(nèi)存為8 GB，編程語言為Matlab。每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行30次然后計(jì)算出反轉(zhuǎn)世代距離IGD(Inverted Generational Distance)[18]和超體積指標(biāo)HV(Hyper Volume)[19]的均值與方差。

4.2 性能指標(biāo)

4.2.1 反轉(zhuǎn)世代距離

反轉(zhuǎn)世代距離IGD是每個(gè)真實(shí)帕累托前沿上的參考點(diǎn)與算法所求解的最近距離的平均值，如式(12)所示：

(12)

其中，P為分布在真實(shí)帕累托前沿上的點(diǎn)的集合，|P|為集合P中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，Q為算法獲取的帕累托最優(yōu)解的集合，v代表測試函數(shù)中真實(shí)帕累托前沿上的參考點(diǎn)集合。d(v,Q)代表v與集合Q中的點(diǎn)的最小歐氏距離。當(dāng)算法獲得的解比較集中時(shí)，d(v,Q)的值較大，導(dǎo)致IGD值較大。當(dāng)獲得的解離帕累托真實(shí)前沿比較遠(yuǎn)時(shí)，參考點(diǎn)與獲得的解之間的距離之和則會(huì)相對較大。因此，IGD能夠同時(shí)評價(jià)多樣性和收斂性。IGD值越小，說明算法所求的解離真實(shí)帕累托前沿越近或者解的分布越均勻。

4.2.2 超體積指標(biāo)

超體積指標(biāo)HV是度量非支配解集所支配區(qū)域的大小。

(13)

其中，δ表示 Lebesgue 測度，用來測量體積。 |S|表示非支配解集中解的數(shù)目，vi表示參照點(diǎn)與解集中第i個(gè)解構(gòu)成的超體積。HV值越大，表示算法的綜合性能越好。

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.3.1 種群引導(dǎo)、高斯變異、反向?qū)W習(xí)機(jī)制的驗(yàn)證

為了進(jìn)一步體現(xiàn)算法中引入種群引導(dǎo)、高斯變異算子和反向?qū)W習(xí)機(jī)制的作用，本文將所提出的算法在ZDT1函數(shù)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，采用控制變量法，在種群數(shù)量和迭代次數(shù)相同的情況下對比了引入改進(jìn)和未引入改進(jìn)時(shí)的實(shí)驗(yàn)指標(biāo)。鑒于各部分改進(jìn)對于算法收斂速度的提升效果的影響各不相同，因此各對比實(shí)驗(yàn)的迭代次數(shù)分別設(shè)置為60次、80次和90次。實(shí)驗(yàn)分別運(yùn)行30次，同樣取均值作為比較，記引入種群引導(dǎo)的算法為PG-MOGOA，引入高斯變異的算法為GS-MOGOA，引入反向?qū)W習(xí)的算法為OBL-MOGOA，未引入相應(yīng)改進(jìn)的算法記為MOGOA。各實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比圖如圖2～圖4所示，其中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示測試函數(shù)ZDT1的目標(biāo)函數(shù)維度。

Figure 2 Comparison of population guidance圖2 種群引導(dǎo)的對比圖

Figure 3 Comparison of Gaussian mutation圖3 高斯變異的對比圖

Figure 4 Comparison of back learning mechanism圖4 反向?qū)W習(xí)機(jī)制的對比圖

未引入種群引導(dǎo)的MOGOA 30次實(shí)驗(yàn)的IGD和HV均值分別是3.192E-01，3.081E-01，PG-MOGOA的IGD和HV均值分別是1.361E-02，7.054E-01，可見種群引導(dǎo)對算法的提升效果十分明顯。結(jié)合圖2可以看出，未引入種群引導(dǎo)時(shí)，算法所求的帕累托最優(yōu)解集中在右下角，并且解的分布并不均勻。這是由于算法在選擇最優(yōu)解時(shí)不能全面地引導(dǎo)種群的進(jìn)化，若算法每次僅選擇單個(gè)最優(yōu)解進(jìn)行引導(dǎo)會(huì)讓解的分布比較集中。因此，種群引導(dǎo)的引入能夠讓解的分布性得到明顯的提升。

未引入高斯變異的MOGOA的IGD和HV均值分別是3.447E-02，6.844E-01，引入后的均值分別是1.4121E-02，7.0476E-01，高斯變異的引入使得各指標(biāo)值都有了改善。結(jié)合圖3可以看出，未引入高斯變異時(shí)的解均勻且光滑，已經(jīng)陷入局部最優(yōu)，而高斯變異的引入能使算法跳出局部最優(yōu)解，從而使收斂性得到提升。

未引入反向?qū)W習(xí)機(jī)制的MOGOA的IGD和HV均值分別是1.400E-02，7.049E-01，引入后的均值分別是8.5442E-03,7.129E-01。從圖4中可以看出，反向?qū)W習(xí)機(jī)制的引入對算法有著相對較小的提升作用。在算法中，反向?qū)W習(xí)機(jī)制不僅應(yīng)用在種群初始化中，也應(yīng)用在種群的位置更新過程中。初始化時(shí)反向?qū)W習(xí)機(jī)制的引入使得算法的初始分布更加全面，迭代更新過程中的應(yīng)用使算法的搜索范圍更為廣泛，使算法的性能有了良好的改善。

4.3.2 與其他算法的比較

從表1來看，OPMOGOA在ZDT1，ZDT2上的IGD值分別為1.367E-02，5.775E-03，相比于另外4種算法本文所提算法均值最小,且方差也最小，分別為8.760E-03，1.360E-03，可以看出OPMOGOA求得的解在收斂性和均勻性上的表現(xiàn)都十分出色。由于ZDT2函數(shù)的特殊性，MOCS、MOPSO、MOWOA和MOGOA都出現(xiàn)過收斂于一點(diǎn)，該點(diǎn)在帕累托最優(yōu)前沿上，這會(huì)導(dǎo)致IGD值為0，使總體均值偏小，因此在這里將所有IGD為0的實(shí)驗(yàn)結(jié)果去掉后求平均。在ZDT2上運(yùn)行的30次中，MOWOA、MOGOA、MOPSO、OPMOGOA和MOCS分別有11次、3次、11次、1次和0次IGD值為0的情況?？梢奜PMOGOA跳出局部最優(yōu)的能力較強(qiáng)。雖然MOCS沒有出現(xiàn)一次這種情況，但是其IGD值為3.377E-01，相對表現(xiàn)比較差。從表2來看，OPMOGOA在ZDT1和ZDT2上的HV值最大，分別為7.056E-01，4.426E-01，并且方差均為最小，表現(xiàn)十分穩(wěn)定，在2個(gè)目標(biāo)的ZDT系列函數(shù)上，MOGOA能夠較好地收斂到帕累托前沿。

Table 1 Comparsion of IGD value of algorithms表1 各算法的IGD值比較

表1和表2中所示分別為各算法的IGD和HV均值mean和方差std。從表1來看，在VNT2上OPMOGOA的IGD值僅次于MOCS的IGD值，MOGOA的表現(xiàn)最差。在VNT3上MOGOA的IGD值最小，為4.477E-02，改進(jìn)后的OPMOGOA反而略差，但是比另3種算法更好。從表2來看，在VNT2上，OPMOGOA的HV值為2.041E-00，位于第1位，相比經(jīng)典的MOGOA算法性能有所提升。在VNT3上，OPMOGOA的HV值仍然最大，為1.840E-01。除MOGOA的性能較差之外，其他3種算法之間相差不大?？偟膩碚f，5種算法在3個(gè)目標(biāo)的VNT系列上的表現(xiàn)相差不大，但MOGOA的算法有著一定的優(yōu)勢。

5 結(jié)束語

隨著信息化技術(shù)越來越發(fā)達(dá)，產(chǎn)生的信息越來越多樣化，多目標(biāo)算法優(yōu)化對象的規(guī)模越來越大，約束條件也越來越多，因此學(xué)者們對于多目標(biāo)算法性能的要求也越來越高，這給多目標(biāo)優(yōu)化帶來了更大的挑戰(zhàn) 。本文所提出的多目標(biāo)蝗蟲優(yōu)化算法將反向?qū)W習(xí)機(jī)制應(yīng)用到產(chǎn)生初始解和迭代進(jìn)化的過程中，在蝗蟲移動(dòng)過程中增加高斯變異算子，并加入帕累托最優(yōu)集中的隨機(jī)解集引導(dǎo)種群的移動(dòng)，最后根據(jù)帕累托等級和擁擠度距離篩選精英個(gè)體進(jìn)行保留。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，3種改進(jìn)機(jī)制的引入在一定程度上提升了算法的性能。此外，本文的OPMOGOA算法相對于其他4種算法在IGD和HV上都有著明顯的優(yōu)勢，表明了多目標(biāo)蝗蟲優(yōu)化算法有著較大的研究價(jià)值。未來的研究工作將從以下2個(gè)方面進(jìn)行：(1)研究OPMOGOA的應(yīng)用領(lǐng)域，應(yīng)用多目標(biāo)蝗蟲優(yōu)化算法解決更多的實(shí)際問題；(2)改進(jìn)多目標(biāo)蝗蟲優(yōu)化算法，使其適應(yīng)更難更復(fù)雜的多目標(biāo)問題。

Table 2 Comparsion of HV value of algorithms表2 各算法HV值比較