李曉宇 呂玉東

1.山東理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院 山東 淄博 255000

2.山東化工職業(yè)學(xué)院 山東 濰坊 261000

引言

1997年Casperson等人提出了波動(dòng)方程在直角坐標(biāo)系下的一類特殊解,即厄米-正弦類高斯光束,并研究了該類光束在自由空間和復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)中的傳播特性[1,2]。在此基礎(chǔ)上,人們進(jìn)一步對(duì)厄米-正弦類高斯光束的一些特例進(jìn)行了相關(guān)的研究,如呂百達(dá)等人對(duì)此類光束做了比較系統(tǒng)的報(bào)道,詳細(xì)給出了有光闌和無(wú)光闌情況下兩種形式,并對(duì)其傳輸特性進(jìn)行了研 究[3,4];R.P.Chen等人研究了Kerr介質(zhì)對(duì)雙曲正弦光束傳播的影響[5],Y.Huang等人報(bào)道了正弦高斯光束在湍流中的傳播和遠(yuǎn)場(chǎng)特性[6];另一方面,利用該類光束實(shí)現(xiàn)其他的光場(chǎng)的調(diào)控也多有報(bào)道,如H.Tang等人利用正弦高斯光束產(chǎn)生了中心暗部的空心光場(chǎng)[7],類似的,Jie.Z等人采用分?jǐn)?shù)傅里葉變換的方法獲得了橢圓形的中心暗部光場(chǎng)[8]等等;從目前的研究來(lái)看,該類光束的研究多集中在其在標(biāo)量光場(chǎng)中的傳播特性,對(duì)其在矢量光場(chǎng)中的傳輸研究較少。

柱矢量光束(Cylindrical vector,CV)自2000年被Youngworth等人首次研究了緊聚焦特性以來(lái)[9],人們開始意識(shí)到矢量光場(chǎng)在緊聚焦方面的應(yīng)用潛力,角向偏振光(Radially polarized,RP)和徑向偏振光(Azimuthally polarized,AP)作為矢量光束的兩種典型,也一直保持著較高的研究熱度。研究表明,經(jīng)高數(shù)值孔徑物鏡聚焦后的角向偏振光不產(chǎn)生徑向電場(chǎng)分量,總的場(chǎng)分布表現(xiàn)為橫向分布。依據(jù)這種特殊的焦場(chǎng)性質(zhì),Youngworth等人將其應(yīng)用在掃描顯微鏡照明上可以獲得具有梯度敏感的暗場(chǎng)圖像[10],B.Tian等人利用緊聚焦的雙環(huán)形角向偏振光實(shí)現(xiàn)了亞波長(zhǎng)聚焦孔徑[11],Yuan等人使用空間相位板對(duì)緊聚焦角向偏振光進(jìn)行調(diào)制,得到了具有長(zhǎng)焦深的無(wú)衍射橫向偏振光[12]。此外,X.Jiao等人利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的扇形障礙物實(shí)現(xiàn)角向偏振光在緊聚焦系統(tǒng)中的橫向能流的重建,這種構(gòu)建橫向能流的方法對(duì)光能的轉(zhuǎn)換損失較大[13],最近,Z.Man等人又提出使用環(huán)形螺旋相位板對(duì)角向偏振光束進(jìn)行調(diào)制,在保證焦平面能流重構(gòu)的同時(shí),又為光束整形提供了思路[14]。

在本文中,我們提出了一種具有角向偏振的正弦高斯光束(sine-Gaussian beam,SGB),借助Richards-Wolf矢量衍射理論,構(gòu)建了該光束在緊聚焦系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)和坡印廷矢量模型,基于該模型我們計(jì)算了這種結(jié)構(gòu)光場(chǎng)在焦平面上的電磁場(chǎng)分布和坡印廷矢量的分布情況。結(jié)果顯示,雖然振幅調(diào)制破壞了光束的對(duì)稱性,但對(duì)橫向能流的影響卻很小,依舊保持角向偏振光的緊聚焦特性,并在焦平面上產(chǎn)生扁平狀光斑,此外,我們還研究了焦平面上的角動(dòng)量(Angular momentum,AM)分布,這些特性或在光學(xué)捕獲和光學(xué)操縱中有應(yīng)用潛力。

理論和方法

線性偏振光的電場(chǎng)表達(dá)式在數(shù)學(xué)上可以描述為[15]

這里,A0為入射光的振幅相關(guān)常數(shù),r為極徑,ω0為光束的束腰半徑,êx和êy為 沿x方向和y方向上的偏振基矢,φ為方位角,êr和êφ分別為極坐標(biāo)系中沿徑向和角向的基矢量,φ0代表光束的初始偏振方向。

我們選取初始方向沿y軸方向的線性高斯光束經(jīng)過(guò)角向偏振提取器,由于偏振提取器的特殊結(jié)構(gòu)可以選擇光束的每一點(diǎn)處偏振的角向分量通過(guò),而阻擋住偏振徑向分量,因此,我們就可以很方便的獲取這種具有角向偏振的正弦光束。

在緊聚焦系統(tǒng)中,入射光束的振幅、偏振相位等信息會(huì)對(duì)其緊聚焦特性產(chǎn)生重要的影響并為光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供思路。將獲得的SGB通過(guò)高數(shù)值孔徑(NA)物鏡,并在像空間獲得聚焦的電場(chǎng)分布,根據(jù)Richard-Wolf矢量衍射理論[16],在聚焦區(qū)域的光束的電場(chǎng)表達(dá)式可以描述為:

這里k=2πn/λ是像空間波數(shù),λ為自由空間中的入射波長(zhǎng),f為系統(tǒng)焦距,θ和?為像空間光線與縱向z軸的收斂角和像空間光線方位角,系統(tǒng)最大匯聚角α由高數(shù)值孔徑物鏡和像空間折射率n決定,入射光的相對(duì)振幅分布l0(θ,φ)在光瞳面上處的表達(dá)式為

這里β為入瞳半徑和束腰半徑的比值。

相似的,根據(jù)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,我們還推導(dǎo)了在聚焦區(qū)域的磁場(chǎng)分布表達(dá)式

這里ε和μ為物空間介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。值得注意的是,和電場(chǎng)分量不同,在聚焦區(qū)域磁場(chǎng)縱向分量不為零。

結(jié)果與討論

現(xiàn)在,我們根據(jù)以上的分析模型對(duì)SGB在緊聚焦系統(tǒng)中的聚焦特性進(jìn)行討論,在計(jì)算中我們選取系統(tǒng)參數(shù)NA=0.95,波長(zhǎng)λ=532nm,β=1,圖(1)顯示了聚焦電場(chǎng)的強(qiáng)度分布情況,三列從左到右分別代表橫向分量、縱向分量和總的強(qiáng)度分布,第一行顯示了焦平面(x-y平面)的電場(chǎng)分布情況,第二行顯示過(guò)焦平面(x-z平面)的電場(chǎng)分布情況,所有的數(shù)值歸一化至電場(chǎng)最大值。在電場(chǎng)分布中,總的電場(chǎng)分布由橫向分量提供,縱向分量為0,這與已經(jīng)報(bào)道的結(jié)果相一致,不同的是,在焦平面上,橫向分量打破圓對(duì)稱分布的特性,旁瓣強(qiáng)度和電場(chǎng)中心強(qiáng)度相比微弱且電場(chǎng)最大值集中在光軸中心,呈現(xiàn)橢圓形實(shí)心分布。這主要得益于入射光場(chǎng)的振幅的正弦分布。對(duì)應(yīng)的,在過(guò)焦平面上,電場(chǎng)強(qiáng)度在焦平面處最大,方向沿z軸正方向且軸向?qū)挾却笥跈M向?qū)挾取?/p>

圖1計(jì)算了SGB在焦平面上(第一行)和過(guò)焦平面(第二行)上的電場(chǎng)強(qiáng)度分布。從左至右分別對(duì)應(yīng)橫向電場(chǎng)分量,縱向電場(chǎng)分量和總電場(chǎng)分布。強(qiáng)度模式歸一化至總的電場(chǎng)強(qiáng)度最大值。

同時(shí),我們還計(jì)算了緊聚焦的SGB在焦平面和過(guò)焦平面上的磁場(chǎng)分布情況,如圖(2)所示,有趣的是,磁場(chǎng)的橫向分量與電場(chǎng)的橫向分量分布相類似,強(qiáng)度最大值都集中在光軸中心,不同的是,磁場(chǎng)具有縱向分量,在焦平面上,縱向分量分布在幾何焦點(diǎn)兩側(cè),強(qiáng)度與

橫向強(qiáng)度相近,總的磁場(chǎng)強(qiáng)度由橫向分量和縱向分量相疊加,在x方向上拉伸,且最大值在幾何焦點(diǎn)兩側(cè)。在過(guò)焦平面上,縱向分量分布在光軸兩側(cè),為總磁場(chǎng)分布提供邊緣貢獻(xiàn)。

圖2計(jì)算了SGB在焦平面上(第一行)和過(guò)焦平面(第二行)上的磁場(chǎng)強(qiáng)度分布。從左至右分別對(duì)應(yīng)橫向磁場(chǎng)分量,縱向磁場(chǎng)分量和總磁場(chǎng)分布。強(qiáng)度模式歸一化至總的強(qiáng)度最大值。

在實(shí)際的緊聚焦研究中,人們常常將研究重點(diǎn)放在電場(chǎng)和磁場(chǎng)分布情況上,事實(shí)上,在光與物質(zhì)相互作用時(shí),能量和動(dòng)量的轉(zhuǎn)移常常離不開對(duì)坡印廷矢量的研究,在時(shí)諧三維電場(chǎng)中,時(shí)間平均坡印亭矢量根據(jù)電場(chǎng)和磁場(chǎng)矢量定義為[17]:

在這里我們計(jì)算了SGB在焦平面和過(guò)焦平面上的坡印廷矢量的分布情況,如圖(3)所示,圖(a)顯示了焦平面上橫向坡印廷矢量分布情況,明顯的,對(duì)于入射光的振幅調(diào)控對(duì)橫向坡印廷影響很小,與圖(b)中縱向坡印廷矢量相比可做忽略處理。在過(guò)焦平面中,縱向分量保持正值,且方向沿y軸正方向,這意味著當(dāng)吸收性顆粒在光場(chǎng)中時(shí),縱向坡印廷矢量會(huì)為其提供向右的輻射壓力,推離粒子向右移動(dòng)。

我們知道,和坡印廷矢量一樣,光在傳播過(guò)程中攜帶的角動(dòng)量在理解光與物質(zhì)相互作用時(shí)的動(dòng)力學(xué)原理具有重要意義。對(duì)于光學(xué)角動(dòng)量,通常情況下由兩部分構(gòu)成:自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量[18-20]。

其中,自旋角動(dòng)量有[21-23]:)

對(duì)應(yīng)的,軌道角動(dòng)量為:

這里ω=kc為角頻率,c為真空中的光束。圖(4)顯示了焦平面處SGB的角動(dòng)量分布情況,三列分別代表自旋軌道角動(dòng)量、軌道角動(dòng)量和角動(dòng)量分布情況,第一行和第二行分別為對(duì)應(yīng)的橫向分量和縱向分量,其中,黑色的箭頭代表各點(diǎn)的方向。在(a)中,橫向自旋角動(dòng)量由縱向電場(chǎng)產(chǎn)生,正是如此,縱向電場(chǎng)分量的缺失使得橫向自旋角動(dòng)量數(shù)值極小,忽略不計(jì),這也意味著當(dāng)吸收性顆粒處于焦場(chǎng)中,不會(huì)受到自旋力矩的影響發(fā)生旋轉(zhuǎn)。而軌道角動(dòng)量則不同,在分布上橫向軌道角動(dòng)量呈現(xiàn)非均勻分布,在整體方向上表現(xiàn)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn),在焦點(diǎn)中心存在奇點(diǎn)?？偟膩?lái)看,緊聚焦的SGB角動(dòng)量主要由橫向軌道角動(dòng)量提供,這對(duì)研究吸收性顆粒的在緊聚焦光場(chǎng)中的軌道運(yùn)動(dòng)具有重要意義。

圖3計(jì)算了SGB在焦平面上(第一行)和過(guò)焦平面(第二行)上的坡印廷矢量分布。左右兩列分別對(duì)應(yīng)橫向坡印廷矢量和縱向坡印廷矢量,所有的強(qiáng)度分布均歸一化至坡印廷矢量在焦平面上的最大值。

圖4緊聚焦的CGB在焦平面上的角動(dòng)量密度的橫向分量(第一行)和縱向分量(第二行)。從左到右分別對(duì)應(yīng)自旋角動(dòng)量密度,軌道角動(dòng)量密度,和角動(dòng)量密度,(a)-(c)中的箭頭說(shuō)明了該處自旋角動(dòng)量密度,軌道角動(dòng)量密度和角動(dòng)量密度的方向,(d)-(f)中正值和負(fù)值分別對(duì)應(yīng)沿z軸正方向和負(fù)方向。強(qiáng)度分布?xì)w一化至線性動(dòng)量最大值。

結(jié)論

總的來(lái)說(shuō),我們?cè)诒疚闹刑岢隽艘环N生成具有角向偏振的正弦高斯光束,并根據(jù)Richard-Wolf矢量衍射理論建立了在緊聚焦系統(tǒng)中的該光束電磁場(chǎng)分析模型。計(jì)算顯示,該光束在緊聚焦系統(tǒng)中可以產(chǎn)生橢圓形的電場(chǎng)分布,這對(duì)該光束在光學(xué)捕獲等方面的應(yīng)用提供了新的參考;我們還對(duì)該光束在緊聚焦系統(tǒng)中的磁場(chǎng)和坡印廷矢量進(jìn)行了計(jì)算分析,振幅調(diào)控雖然破壞了光束的軸對(duì)稱性,但在焦平面上依舊保持橫向能流的缺失;最后,我們計(jì)算了對(duì)應(yīng)焦平面上角動(dòng)量的分布,角動(dòng)量主要由軌道角動(dòng)量構(gòu)成且呈非均勻分布,在方向上呈現(xiàn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),該特性有望在研究光學(xué)顆粒在光場(chǎng)中的軌道運(yùn)動(dòng)提供方向。