許成謙，李偉杰，徐 琪,惠 中

(1.燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004;2.秦皇島鴻泰科技股份有限公司，河北 秦皇島 066000)

0 引言

跳頻通信系統(tǒng)自誕生至今，通過使用一組性能良好的跳頻序列(Frequency Hopping Sequence，F(xiàn)HS)，實現(xiàn)了抗干擾和反攔截功能，被廣泛應(yīng)用于信號傳輸?shù)阮I(lǐng)域。通過跳頻通信系統(tǒng)進行信號傳輸時，時延和多普勒頻移會導(dǎo)致信號的錯位、頻率色散等，使得接收端獲取錯誤的信息。所以需要考慮序列時頻移位不等價性以及考慮頻域非周期移位的時頻二維部分周期(Two-Dimensional Partial Period of Time-Frequency，TF-TDPP)Hamming相關(guān)函數(shù)，并將其應(yīng)用于衡量新構(gòu)造的笛卡爾積跳頻序列集(Frequency Hopping Sequence Set，F(xiàn)HSS)的性能。

為了提高信號檢測速度，常常分析跳頻序列的部分相關(guān)性。對相關(guān)跳頻序列的研究主要包括理論界和構(gòu)造方法兩個方面。文獻[1-6]給出了傳統(tǒng)一維的理論界，為評判后續(xù)研究生成序列的性能提供了標準。文獻[7]證明了區(qū)組與單一FHS之間的關(guān)系，給出了幾種FHS的直接構(gòu)造方法。文獻[8]構(gòu)造了部分周期相關(guān)FHSS，通過一維部分周期Hamming相關(guān)函數(shù)的分析，滿足Lempel-Greenberger 界，得出其Hamming相關(guān)性最優(yōu)。文獻[9]借助笛卡爾積的數(shù)學(xué)思想，提出了構(gòu)造周期低碰撞區(qū)(Low Hit Zone，LHZ )FHS的理論，將多個Solomon FHSS進行笛卡爾積或多個Solomon FHSS、Kumar FHSS進行笛卡爾積得到Hamming相關(guān)性最優(yōu)的FHSS。文獻[8-9]是將滿足構(gòu)造方法的原始FHSS通過交織、進行笛卡爾積間接構(gòu)造出FHSS。由于注意到多普勒頻移帶來的影響，人們開始研究既有時延又有頻移的時頻二維Hamming相關(guān)FHSS。文獻[10]導(dǎo)出了FHSS的LHZ TF-TDPP Hamming相關(guān)函數(shù)的理論界。文獻[11]通過將Welch Costas FHS和Golomb Costas FHS采樣得到了時頻二維Hamming相關(guān)性能最優(yōu)的兩類FHSS。文獻[12]將傳統(tǒng)的笛卡爾積數(shù)學(xué)思想應(yīng)用到了時頻二維非周期FHSS的構(gòu)造方法中，得到了近似最優(yōu)的笛卡爾積LHZ FHSS。文獻[13]針對先前一維Hamming相關(guān)性最優(yōu)的Cai FHSS進行了TF-TDPP Hamming相關(guān)性分析，得到了Cai FHSS達到性能最優(yōu)的條件。

將笛卡爾積數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于FHSS已有很多成果。早期的文獻[9]構(gòu)造了性能最優(yōu)的笛卡爾積LHZ FHSS。隨后，文獻[14]給出了構(gòu)造傳統(tǒng)一維部分周期笛卡爾積LHZ FHSS，并通過原始FHSS的參數(shù)限制衍生出3種新的構(gòu)造步驟。文獻[15]構(gòu)造了傳統(tǒng)一維的在最大部分周期性能最優(yōu)的笛卡爾積LHZ FHSS。文獻[16]通過將兩類FHSS笛卡爾積得到了一類一次碰撞的笛卡爾積LHZ FHSS。

本文首先證明多個頻隙集上FHS笛卡爾積具有的性質(zhì)，然后提出一種構(gòu)造笛卡爾積FHSS的方法。最后分析Cai FHSS的頻域非周期移位TF-TDPP Hamming相關(guān)性，將Cai FHSS用于新構(gòu)造方法中得到數(shù)量更多、長度更長的笛卡爾積LHZ FHSS。

1 相關(guān)概念

定義2設(shè)S是跳頻序列集，Ha,Hc,TA,VA為非負整數(shù)，令

LPAHt(S)=max{TA|Ha,a(τ,f;k|W)≤Ha,?a∈S,0≤τ≤TA,0≤f≤VA,(τ,f)≠(0,0)}，

LPAHf(S)=max{VA|Ha,a(τ,f;k|W)≤Ha,?a∈S,0≤τ≤TA,0≤f≤VA,(τ,f)≠(0,0)}，

LPCHt(S)=max{TA|Ha,b(τ,f;k|W)≤Hc,?a,b∈S,0≤τ≤TA,0≤f≤VA,a≠b}，

LPCHf(S)=max{VA|Ha,b(τ,f;k|W)≤Hc,?a,b∈S,0≤τ≤TA,0≤f≤VA,a≠b}，

LPHt(S)=min{LPAHt(S),LPCHt(S)}，

LPHf(S)=min{LPAHf(S),LPCHf(S)}。

若(LPHt(S),LPHf(S))≠(0,0)，則[0,LPHt(S)]×[0,LPHf(S)]稱為S的頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming相關(guān)LHZ，[0,LPAHt(S)]×[0,LPAHf(S)]、[0,LPCHt(S)]×[0,LPCHf(S)]分別稱為S的頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming自相關(guān)LHZ和互相關(guān)LHZ，則LHZ 跳頻序列集S的參數(shù)為(N,M,q,LPHt,LPHf,W,Ha(S),Hc(S))。當Hm(S)=max{Ha(S),Hc(S)}時，S的參數(shù)也記為(N,M,q,LPHt,LPHf,W,Hm(S))。

定義3設(shè)有I個非空集合B0,B1,…,BI-1，稱集合B0×B1×…×BI-1={(x0,x1,…,xI-1):x0∈B0,x1∈B1,…,xI-1∈BI-1}為B0,B1,…,BI-1的笛卡爾積。

定義4設(shè)a,b是任意選取的兩個長度為N的跳頻序列，且a≠b，若滿足Ha,b(τ,f;0|N)

引理1[18]設(shè)跳頻序列集S的參數(shù)為(N,M,q,LtLf,W,Hm)，Hm=max{Ha,Hc}，Ha,Hc分別是S最大的TF-TDPP Hamming自相關(guān)值和互相關(guān)值，則有

若S的各參數(shù)使得上式等號成立，則S是最優(yōu)的。

引理1中的TF-TDPP Hamming相關(guān)函數(shù)為頻域周期移位。本文定義1中的TF-TDPP Hamming相關(guān)函數(shù)為頻域非周期移位。

推論1設(shè)Hmax為定義1意義下頻域非周期移位的TF-TDPP異項Hamming自相關(guān)值和互相關(guān)值的最大值，Hm為引理1中要求的值，則

Hmax≤Hm。

2 基于笛卡爾積構(gòu)造低碰撞區(qū)跳頻序列集

下面給出笛卡爾積的TF-TDPP Hamming相關(guān)函數(shù)性質(zhì)。

a(t)=(a1(t1),a2(t2),…,aI(tI)),

b(t)=(b1(t1),b2(t2),…,bI(tI)),

當且僅當gcd(N1,N2,…,NI)=1時，等號成立。Wi為選取ai,bi的窗長度，W為選取的新構(gòu)造的跳頻序列a,b的窗長度，W=lcm(W1,W2,…,WI)；ki為ai,bi的窗的起點，k為a,b的窗起點，ki=kmodNi，i=1,2,…,I。

證明首先，I=2，W1=n1d，W2=n2d，gcd(W1,W2)=d，W=W1n2，0≤W1≤N1，0≤W2≤N2，i=1,2，則笛卡爾積跳頻序列a,b的頻域非周期移位TF-TDPP Hamming相關(guān)函數(shù)描述如下：

Ha,b(τ,f;k|W)=

b2(t2+τ))+f]=

b2(t2+τ)+f)]。

由于Ha,b(τ,f;k|W)的數(shù)值等于方程(a1(t1),a2(t2))=(b1(t1+τ)+f,b2(t2+τ)+f)的解的個數(shù)，(a1(t1),a2(t2))=(b1(t1+τ)+f,b2(t2+τ)+f)等價a1(t1)=b1(t1+τ)+f且a2(t2)=b2(t2+τ)+f，所以有

Ha,b(τ,f;k|W)=

b2(t2+τ)+f)]=

(a2(t1+t2W),b2(t1+t2W1+τ2)+f2)]=

由于n2≤W2，所以

當gcd(N1,N2)=1時，等號成立。

其次，假設(shè)i=1,2,…,I-1時，有

當gcd(N1,N2，…,NI-1)=1時，等號成立。

最后，當i=1,2,…,I時，有

Ha,b(τ,f;k|W)=

(b1(t1+τ)，b2(t2+τ),…,bI(tI+τ))+f]≤

當gcd(N1,N2，…,NI)=1時，等號成立。

證畢。

下面給出笛卡爾積跳頻序列集的構(gòu)造方法，并給出構(gòu)造方法結(jié)果的證明。

構(gòu)造方法：

步驟2： 設(shè)N=lcm(N1,N2,…,NI)，M=M1·M2…MI，對于t=0,1,…,N-1，ti≡tmodNi，i=1,2,…,I，j=1,2,…,M，ji≡jmodMi，取

cj(t)=(a1j1(t1),a2,j2(t2),…,aI,jI(tI)),

定理1跳頻序列集C的參數(shù)為(N,M,q,W-1,q-1,W,λ)，其中N=lcm(N1,N2,…,NI)，M=M1·M2…MI,q=q1·q2…qI，W=lcm(W1,W2,…,WI)，λ=λ1·λ2…λI。

證明顯然N=lcm(N1,N2,…,NI)，M=M1·M2…MI，W=lcm(W1,W2,…,WI)。由于跳頻序列集C所在頻隙為F1×F2×…×FI，所以q=q1·q2…qI。對序列集C中任意跳頻序列cj,cj′，當j=j′且(τ,f)=(0,0)時，Hcj,cj′(τ,f;k|W)=W。

當j≠j′時，由引理2可得，當(τ，f)∈[0,W-1]×[0,q-1]時，TF-TDPP互相關(guān)Hamming相關(guān)函數(shù)值為

。

即

Hcj,cj′(τ,f;k|W)≤λ1·λ2…λI，

又由于λ=λ1·λ2…λI，所以Hcj,cj′(τ,f;k|W)≤λ。

當τ=W時，Hcj,cj′(τ,f;k|W)=W。

所以選取低碰撞區(qū)為(τ，f)∈[0,W-1]×[0,q-1]，則得TF-TDPP互相關(guān)Hamming相關(guān)函數(shù)值為Hcj,cj′(τ,f;k|W)≤λ。

證畢。

3 Cai跳頻序列集的頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming相關(guān)性分析

下面對Cai跳頻序列集的頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming相關(guān)性進行分析，為使用上述構(gòu)造方法構(gòu)造笛卡爾積跳頻序列集提供了支持。

定理2設(shè)α為有限域GF(q)的本原元，q=pn，p為素數(shù)，n為正整數(shù)，β0,β1,…,βpn-1-1為GF(q)中pn-1個元素，則將跳頻序列集描述如下：

Hdi,di(τ,f;k|W)

D中di和dj的頻域非周期移位TF-TDPP Hamming互相關(guān)值為

證明對于di,dj∈D，由定義1知

Hdi,dj(τ,f;k|W)=

首先，當i=j時，對D的頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming自相關(guān)性分析如下：

Hdi,di(τ,f;k|W)=

當τ=0,f=0時，顯然Hdi,di(τ,f;k|W)=W。

當τ=0,f≠0時，顯然Hdi,di(τ,f;k|W)=0。

當τ≠0,f=0時，此時為傳統(tǒng)的一維Hamming自相關(guān)函數(shù)，由文獻[17]知此時Hdi,dj(τ,f;k|W)≤「W/q?。

當τ≠0,f≠0時，有以下兩種情況：

2) 當τ2=0時，由于τ=τ1+pτ2,所以τ=τ1，則有

當τ1=f時，顯然得Hdi,di(τ,f;k|W)=W。

當τ1≠f時，顯然得Hdi,di(τ,f;k|W)=0。

綜上所述，D中FHSdi的頻域非周期移位TF-TDPP Hamming自相關(guān)值為

Hdi,di(τ,f;k|W)

其次，當i≠j時，對D的頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming互相關(guān)性分析如下：

Hdi,dj(τ,f;k|W)=

當τ=0,f=0，顯然為傳統(tǒng)一維Hamming互相關(guān)值，Hdi,dj(τ,f;k|W)=0。

當τ=0,f≠0，顯然當βi-βj-f≠0，Hdi,dj(τ,f;k|W)=0，反之Hdi,dj(τ,f;k|W)=W。

當τ≠0,f=0，此時為傳統(tǒng)的一維Hamming互相關(guān)函數(shù)，此時Hdi,dj(τ,f;k|W)=「W/q?。

1)τ2=0，若βi-βj-f-τ1=0，Hdi,dj(τ,f;k|W)=W；若βi-βj-f-τ1≠0，Hdi,dj(τ,f;k|W)=0。

2)τ2≠0，若βi-βj-f-τ1=0，Hdi,dj(τ,f;k|W)=0；若βi-βj-f-τ1≠0，Hdi,dj(τ,f;k|W)=「W/q?。

綜上所述，D中di和dj的頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming互相關(guān)值

由于Hdi,dj(τ,f;k|W)

證畢。

構(gòu)造實例：

步驟1： 取有限域F32，由定理2得到序列長為24，頻隙數(shù)為9，序列數(shù)為3的跳頻序列集為

d1=(7,2,8,4,1,4,3,3,1,5,4,0,6,0,2,2,6,3,0,8,7,8,5,5)，

d2=(0,7,5,3,8,3,6,6,8,1,3,2,4,2,7,7,4,6,2,5,0,5,1,1)，

d3=(2,0,1,6,5,6,4,4,5,8,6,7,3,7,0,0,3,4,7,1,2,1,8,8)，

令漢明相關(guān)窗長度為5，頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming相關(guān)值為2。

選取有限域F5，由定理2得到序列長度為20，頻隙數(shù)為5，序列數(shù)為1的跳頻序列集為

z=(0,4,1,3,3,0,3,2,1,1,0,1,4,2,2,0,2,3,4,4)。

令漢明相關(guān)窗長度為4，頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming相關(guān)值為2。

步驟2： 將步驟1的兩個跳頻序列集進行笛卡爾積，得到的跳頻序列集C如下：

c1=((7,0),(2,4),(8,1),(4,3),(1,0),…)，c2=((0,0),(7,4),(5,1),(3,3),(8,0)，…)，c3=((2,0),(0,4),(1,1),(6,3),(5,0),…)，

由定理1知，得到的序列集C是序列長度為120，序列個數(shù)為3，低碰撞區(qū)為[0,19]×[0,44]的跳頻序列集。在漢明相關(guān)窗長度為20時，Hcj,cj′(τ,f;k|W)≤3，小于步驟1中兩個跳頻序列集的頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming相關(guān)值的乘積2×2=4。由引理1和推論1知跳頻序列集C沒達到最優(yōu)，但是跳頻序列集C的Hamming相關(guān)性還是比較好的。

4 結(jié)論

本文提出了時頻移位不等價和頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming相關(guān)函數(shù)的概念，給出了一種笛卡爾積LHZ跳頻序列集的構(gòu)造方法。通過分析一些跳頻序列集的頻域非周期移位的TF-TDPP Hamming相關(guān)性找出了一類可用于該構(gòu)造方法的Cai跳頻序列集。