花玉，王娜,b，趙克友

(青島大學 a. 自動化學院；b. 山東省工業(yè)控制技術(shù)重點實驗室, 山東 青島 266071)

0 引言

當系統(tǒng)存在過程噪聲和測量噪聲的情況下，傳統(tǒng)卡爾曼濾波器[1]能遞歸估計線性系統(tǒng)狀態(tài)，但是其要求干擾噪聲必須是高斯白噪聲。因為系統(tǒng)的不確定干擾可能不是白噪聲，且某些輸入無法測量，因此卡爾曼濾波器的效果有時并不理想。

在系統(tǒng)分析中，未知輸入可以表示無法測量的干擾、未建模動態(tài)、系統(tǒng)故障等。因此，研究含有未知輸入的系統(tǒng)估計問題具有極大意義。這類問題的解決方案在控制系統(tǒng)設計中的干擾抑制[2-3]、故障檢測[4]、電池狀態(tài)估計[5]等許多實際應用中發(fā)揮重要作用。

近年來，存在未知輸入的濾波器設計問題引起了相當大的關注。根據(jù)系統(tǒng)不同，該問題可大致分為兩類：帶有直通項的濾波器設計[6-12]和不帶直通項的濾波器設計[13-17]，其中關于不帶直通項的濾波器設計文獻相對較少，具有進一步研究的價值。

最初，解決這類問題的方法是系統(tǒng)狀態(tài)擴維，將未知輸入向量作為系統(tǒng)狀態(tài)的附加部分，然后對擴維系統(tǒng)應用卡爾曼濾波器。這種方法通常將未知輸入假定為常值偏差或某些具有已知統(tǒng)計特性的隨機過程[18]，但這些假設在實際應用中可能是無效的。因此，許多研究開始轉(zhuǎn)向存在任意未知輸入情況下的系統(tǒng)狀態(tài)估計問題。解決此類問題的方法通常是通過解耦來實現(xiàn)狀態(tài)估計。

自從KITANIDIS P K開展工作以來，對未知輸入估計問題的研究開始轉(zhuǎn)向最優(yōu)濾波器，其為不帶直通項的線性系統(tǒng)，開發(fā)了一種最小方差無偏(minimum variance unbiased, MVU)的最優(yōu)濾波器[13]。該濾波器通過在無偏條件的約束下將狀態(tài)協(xié)方差矩陣的跡最小化以獲得狀態(tài)估計。該濾波器被文獻[14]進一步擴展為一類參數(shù)化解決方案。上述文獻雖然解決了存在未知輸入時的狀態(tài)估計問題，但沒有給出未知輸入的估計值。對一些實際問題來說，未知輸入的估計值同樣重要。文獻[16]提出一種魯棒兩段卡爾曼濾波器(robust two-stage kalman filter，RTSKF)，首先識別初始時刻未知輸入的動態(tài)模型，然后用識別的模型對未知輸入和狀態(tài)進行估計，其能夠給出未知輸入的具體估計值，但沒有證明所得結(jié)果最優(yōu)。文獻[17]提出一種三步迭代濾波器(recursive three-step filter, RTSF)，能夠同時獲得系統(tǒng)狀態(tài)和未知輸入的最小方差無偏估計，并證明了未知輸入估計值最優(yōu)。盡管上述濾波器可以解決存在未知輸入下系統(tǒng)狀態(tài)及未知輸入的估計問題，但都有一個前提條件：系統(tǒng)狀態(tài)方程中未知輸入的系數(shù)矩陣列滿秩。

本文基于RTSF思路，提出一種新型三步迭代濾波器(novel recursive three-step filter，NRTSF)，在系統(tǒng)狀態(tài)方程受未知輸入影響時估計系統(tǒng)狀態(tài)和未知輸入，該濾波器不需要系統(tǒng)方程中未知輸入系數(shù)矩陣列滿秩，其應用條件比上述濾波器寬松。

1 問題描述

考慮如下帶有未知輸入的隨機線性離散時變系統(tǒng)：

xk=Ak-1xk-1+Gk-1dk-1+wk-1

(1)

yk=Ckxk+vk

(2)

2 NRTSF設計

GILLIJNS S在文獻[17]中提出的經(jīng)典RTSF可以解決上述系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題，但是使用RTSF的前提條件是系統(tǒng)方程中未知輸入的系數(shù)矩陣Gk-1必須滿足rank(Gk-1)=m，k=1,2,…。針對系統(tǒng)方程中未知輸入系數(shù)矩陣不滿秩的情況，即rank(Gk-1)=rk

假如rank(Gk-1)=rk≤m，對其進行如下滿秩矩陣分解：

(3)

換言之，存在非奇異陣Dk∈Rp×p和Fk∈Rm×m,使

(4)

則原系統(tǒng)方程式(1)改寫為

(5)

基于新的系統(tǒng)狀態(tài)方程式(5)和測量方程式(2)設計NRTSF如下：

(6)

(7)

(8)

2.1 時間更新

2.2 虛擬未知輸入估計

1)虛擬未知輸入的無偏估計

(9)

其中

(10)

證明: 該證明與文獻[17]中定理1的證明相似，因此省略。

由于對應于式(9)的最小二乘解滿足定理1，因此這個最小二乘解無偏。但根據(jù)Gauss-Markov定理，它不一定是最小方差解，因為在一般情況下

其中c表示正實數(shù)。

2)虛擬未知輸入的MVU估計

證明: 該證明與文獻[17]中定理2的證明相似，因此省略。

2.3 測量更新

(11)

(12)

(13)

(14)

證明：使用拉格朗日乘子法來證明此定理。令拉格朗日式

(15)

(16)

式(16)和式(12)組成線性系統(tǒng)方程組

(17)

將式(14)代入式(8)產(chǎn)生等效狀態(tài)更新：

將式(14)代入式(13)可得

2.4 NRTSF迭代步驟總結(jié)

將NRTSF總結(jié)如下：

1)時間更新

2)虛擬未知輸入估計

3)測量更新

3 仿真結(jié)果分析

為了驗證本文提出的NRTSF有效性，本節(jié)采用與杜濤[19]一致的示例進行仿真。

假設線性系統(tǒng)的相關矩陣如下：

圖1 未知輸入dk的實際值

圖2是應用NRTSF得到的未知輸入估計結(jié)果圖。從中可以看出NRTSF能夠估計未知輸入d1k、d2k，但是對未知輸入d3k沒有估計效果，造成這一現(xiàn)象的原因是系數(shù)矩陣GK不滿秩。因此未知輸入d3k沒有影響到系統(tǒng)狀態(tài)，進而導致量測值中沒有未知輸入d3k的信息。

圖2 未知輸入dk的估計值

圖3和圖4分別是應用NRTSF得到的系統(tǒng)狀態(tài)的估計結(jié)果圖和系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差結(jié)果圖，由于未知輸入分別加在前3個系統(tǒng)狀態(tài)分量，所以圖中分別給出了前3個系統(tǒng)狀態(tài)x1k、x2k和x3k的真實值、估計值以及估計誤差，由圖3和圖4可以看出狀態(tài)估計值都能夠跟蹤狀態(tài)真實值。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計值

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差

4 結(jié)語

本文針對系統(tǒng)方程含有未知輸入的情況，討論了同時估計未知輸入和狀態(tài)的問題，針對經(jīng)典濾波器的不足，提出一種新的三步迭代濾波器，其可以解決系統(tǒng)方程中未知輸入系數(shù)矩陣不滿秩時，經(jīng)典濾波器無法使用的問題。仿真結(jié)果表明，新濾波器能夠有效估計未知輸入及系統(tǒng)狀態(tài)。