彭定輝

（江西省南豐縣第一中學(xué)，江西 撫州 344500）

1 問題

“獵犬追上狐貍的時(shí)間”問題是一道經(jīng)典的中學(xué)物理競(jìng)賽題，不僅可以用微元法或微積分方法求解，還可用MATLAB等專業(yè)軟件進(jìn)行數(shù)值模擬分析.［1-3］本文將另辟蹊徑，用假想虛力做功的新方法來求解獵犬追上狐貍的時(shí)間.現(xiàn)將原題陳述如下：

例題.有一只狐貍以不變的速率v沿直線AB奔跑，獵犬以不變的速率u追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍.如圖1所示，某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D⊥AB，且FD=L，設(shè)u＞v，問獵犬追上狐貍需多長(zhǎng)時(shí)間？

圖1

圖1 題目圖片

2 分析

為簡(jiǎn)化問題，選擇狐貍為參考系，并借助矢量描述獵犬的運(yùn)動(dòng)情況.如圖2所示，可知在運(yùn)動(dòng)過程中獵犬除了有始終指向狐貍的分速度u，還有相對(duì)狐貍由B指向A的分速度 ，即獵犬合運(yùn)動(dòng)的速度為u+.

圖2 獵犬相對(duì)狐貍運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)分速度圖

假設(shè)獵犬在運(yùn)動(dòng)中受到某個(gè)虛構(gòu)的作用力——虛力δf，若此虛力做功的功率恒定，且又能知道其做功的大小，則無需計(jì)算獵犬的具體位置變化，可直接用公式W=Pt求時(shí)間.

3 求解

由于獵犬的速度為u+ ，故構(gòu)造一個(gè)虛力

其中k為比例常量，則其做功功率為定值，即

如圖3所示，該虛力由兩個(gè)分虛力δf1=k u和δf2=-k組成.其中分虛力δf1與分速度u成正比，為一大小恒定的有心力，其方向始終沿矢徑指向F點(diǎn)，力場(chǎng)如圖4中實(shí)線所示.易知此力做功與路徑無關(guān)，僅與徑向位移有關(guān).［4］因此在獵犬從D運(yùn)動(dòng)到F的全過程中，分虛力δf1做功為

圖3 獵犬所受虛力圖

另一分虛力δf2與分速度 成正比，為水平向右的恒力，力場(chǎng)如圖4中虛線所示.由于獵犬運(yùn)動(dòng)的總位移DF與該分力垂直，故分虛力δf2做功為0，即

圖4 兩個(gè)分虛力力場(chǎng)的分布圖

因此虛力δf做的總功為

獵犬追上狐貍的時(shí)間為

這個(gè)解與其他方法計(jì)算的結(jié)果是一致的.

結(jié)束語：與微元法、微積分方法等相比，這種假想虛力做功的方法直接避開了對(duì)獵犬運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)處理，計(jì)算過程十分簡(jiǎn)潔.它作為“獵犬追上狐貍時(shí)間”問題的一種補(bǔ)充解法，對(duì)此類物理問題的視角選擇和模型構(gòu)建有一定的參考價(jià)值.