羅珍芳

【摘 要】行程問題是關(guān)于“速度、時(shí)間、路程”三者之間關(guān)系的問題，是學(xué)生難以理解和掌握的知識(shí)之一。然而，不論是在“小升初”考試，還是在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，行程問題往往是必考題。針對(duì)這一問題，本文提出使用運(yùn)動(dòng)軌跡圖輔助解題策略，幫助學(xué)生理解題意，理順?biāo)俣?、時(shí)間、路程三者的關(guān)系。從而幫助學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)解決較復(fù)雜的行程問題。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);行程問題;圖形;應(yīng)用題

【中圖分類號(hào)】G623.5 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2021）10-0198-02

行程問題涉及速度、時(shí)間、路程三個(gè)變量，三個(gè)變量又有多種變化[1]。對(duì)沒有學(xué)過方程，抽象思維尚在形成中的學(xué)生來說，簡(jiǎn)單的行程問題可以理解，較復(fù)雜的行程問題往往無從下手。然而，在“小升初”考試、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，行程問題又是常見考題之一。如何幫助學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)尋找一種解決行程問題方法，提升學(xué)生思考問題、解決問題的能力？筆者在多年的教學(xué)中總結(jié)出了運(yùn)動(dòng)軌跡圖輔助解題策略，把物體行程軌跡用圖表示出來，讓抽象問題形象化、運(yùn)動(dòng)軌跡可視化，也就是讓學(xué)生先繪制運(yùn)動(dòng)軌跡圖，再通過軌跡圖去尋找速度、時(shí)間、路程三者之間的聯(lián)系，最終通過運(yùn)動(dòng)體之間的相互關(guān)系，列出解決問題的表達(dá)式。

1 ?正確理解速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系，是解決問題的基礎(chǔ)

在學(xué)生解決行程問題前，首先要讓學(xué)生從物理角度理解速度、時(shí)間、路程的概念以及關(guān)系。從物理學(xué)上說，物體的速度，是物體在單位時(shí)間里移動(dòng)的距離，因此速度也是一個(gè)具有方向的物理量，米/秒是速度的常用單位;時(shí)間，是指物體在移動(dòng)過程中用的時(shí)間，秒是時(shí)間的常用單位;路程，是物體從起點(diǎn)到終點(diǎn)整個(gè)移動(dòng)過程的距離，米是路程的常用單位，路程沒有方向。速度、時(shí)間、路程這三者關(guān)系是：路程=速度×?xí)r間（S=vt）[2]。在學(xué)生學(xué)習(xí)行程問題時(shí)，教師要營(yíng)造一種情境，讓學(xué)生身臨其境體會(huì)速度、時(shí)間、路程三者的相關(guān)關(guān)系，同時(shí)把物體的運(yùn)動(dòng)軌跡用簡(jiǎn)單的圖來描述，協(xié)助學(xué)生理解路程、時(shí)間、路程的關(guān)系。

2 ? 用圖描述運(yùn)動(dòng)過程，是解決行程問題的有效途徑

小學(xué)數(shù)學(xué)中，用文字來描述行程問題的習(xí)題通常較復(fù)雜，學(xué)生理解起來困難?？荚囍械男谐虇栴}比較復(fù)雜，考的知識(shí)點(diǎn)也多，學(xué)生難以解決。對(duì)于復(fù)雜的行程問題，可借助線段圖來直觀展示整個(gè)行程過程，把物體縮小成點(diǎn)，把路程簡(jiǎn)化成一條直線。在線段圖上，簡(jiǎn)潔標(biāo)注所求內(nèi)容。教師要從簡(jiǎn)單的圖入手，逐漸加深難度，在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生，列出每個(gè)物體的速度、時(shí)間、路程之間的表達(dá)式，再引導(dǎo)學(xué)生尋找運(yùn)動(dòng)物體之間的關(guān)系，從而找到解決問題的方法[3]。

2.1 ?行程問題運(yùn)動(dòng)圖的繪制方法

對(duì)于行程問題，由于有三個(gè)量在變化，如果單純憑空想象，解題不僅很困難，也容易出錯(cuò)，尤其是解決那些多人相遇或追擊、多次相遇的問題，更不可想象。對(duì)此，教師在行程問題的教學(xué)中，要給學(xué)生畫出每道題的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，同時(shí)指導(dǎo)每個(gè)學(xué)生學(xué)會(huì)繪制運(yùn)動(dòng)軌跡圖解題。用圖表述行程問題中的運(yùn)動(dòng)物體的軌跡，有助于理解運(yùn)動(dòng)量之間的關(guān)系，快速找到解決問題的方法。

2.2 ?行程問題運(yùn)動(dòng)圖的構(gòu)成要素

行程問題的運(yùn)動(dòng)圖涉及速度、時(shí)間、路程三個(gè)量，其中速度有方向（實(shí)際上速度是矢量），因此一幅完整的行程問題圖應(yīng)包含起始停點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)物體、速度、時(shí)間、路程以及其他相關(guān)的數(shù)據(jù)、文字、注解、線段等。題中運(yùn)動(dòng)的物體，往往被濃縮成一個(gè)點(diǎn)代替;物體的運(yùn)動(dòng)速度用帶有箭頭的線段表示;路程和時(shí)間一般用標(biāo)注的方法來描述。圖1是一張描述速度、時(shí)間和路程的關(guān)系圖。

2.3 ?行程問題圖的繪制原則和技巧

行程問題圖的繪制原則：先認(rèn)真審題，審題是解答應(yīng)用題的關(guān)鍵一步，從題干中的已知條件入手，一邊讀題，一邊在草稿紙上繪制行程軌跡圖，以“邊讀邊畫，兼顧協(xié)調(diào)”為原則，最后反復(fù)研究、修改和完善。一幅完整的行程運(yùn)動(dòng)軌跡圖，既要直觀反映整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，又要完整體現(xiàn)題中物體的速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系。

行程問題圖的繪制技巧：一是將速度、時(shí)間、路程的數(shù)據(jù)直接標(biāo)在對(duì)應(yīng)線段上，速度的方向用帶箭頭的線段表示;二是用不同顏色、粗細(xì)的線條等描述不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);三是用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言補(bǔ)充用圖無法描述的東西[4]。

3 ? 線段輔助解題應(yīng)用案例

3.1 ?應(yīng)用案例一

學(xué)生甲從M地出發(fā)半小時(shí)后，學(xué)生乙從M地出發(fā)，按照學(xué)生甲所行路線去追趕甲。3小時(shí)后，他們相距8km（甲在前，乙在后）。此時(shí)，甲到達(dá)N點(diǎn)，并在N點(diǎn)休整了20分鐘后沿原路返回，學(xué)生乙繼續(xù)前行。半小時(shí)后，甲、乙二人在C地相遇，求M、N兩地間的路程。

解題思路：先根據(jù)題意，繪制如圖2所示的甲、乙運(yùn)動(dòng)軌跡圖（先讓學(xué)生繪制，教師再給予糾正）。

讓學(xué)生仔細(xì)觀察圖，以運(yùn)動(dòng)物體為分析對(duì)象，S=vt為理論依據(jù)，尋找速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系，最終列出表達(dá)式求解。從圖2中得出：

對(duì)甲來說：S = 3.5v甲。

對(duì)乙來說：S = 3v乙+8。

因此存在：3.5v甲= 3v乙+8 ? ? ? ? ? ? ?（1）

從N到C的距離：SNC = 0.5v甲。

對(duì)甲、乙來說：8 = v乙×+0.5v甲 ? （2）

由（1）（2）就能計(jì)算出兩人的速度。

3.2 ?應(yīng)用案例二

在平行的軌道上，有兩列火車相向行使，兩車用時(shí)60秒完成從開始相遇到完全離開的過程。已知快車長(zhǎng)180米，慢車長(zhǎng)120米，若快車的速度是慢車的1.5倍，求兩車的速度各是多少。

解題思路：把火車用方框表示，先繪制火車運(yùn)動(dòng)軌跡圖（圖3）。

從開始到結(jié)束，分別對(duì)快車和慢車的運(yùn)動(dòng)狀況進(jìn)行分析（在具體的分析中，以車尾這一點(diǎn)為分析對(duì)象）。

快車：S快=1.5v×60;慢車：S慢=v×60。

從圖3中得出，快車和慢車從開始位置到結(jié)束所行程的路程正好是：180+120=300米。

因此：1.5v×60+v×60=300，

v=20米/秒，

快車的速度 V快=1.5v=30米/秒。

總之，解答行程問題，先用圖的方式描述行程，再對(duì)圖中的每個(gè)運(yùn)動(dòng)對(duì)象進(jìn)行分析，列出相應(yīng)的表達(dá)式，然后尋找運(yùn)動(dòng)對(duì)象之間的相互關(guān)系，最后列出解決問題的等式，這種方式十分有效。借助物體運(yùn)動(dòng)軌跡圖來協(xié)助解決行程問題的方法形象且具體，經(jīng)在學(xué)生中的對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明，解題效果非常好。

【參考文獻(xiàn)】

[1]包菊霞.微課在小學(xué)行程問題應(yīng)用題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（5）.

[2]楊燕琴.小學(xué)數(shù)學(xué)行程問題教學(xué)方法探討[J].新課程研究，2019（6）.

[3]淺談小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的行程問題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（教研版），2019（5）.

[4]殷麗娟.小學(xué)數(shù)學(xué)行程類應(yīng)用題教學(xué)策略分析[J].中華少年，2020（5）.