陳 艷

(池州學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，安徽 池州 247000)

自動入庫泊車系統(tǒng)是汽車?yán)锊豢扇鄙俚闹匾到y(tǒng)，以保證入庫泊車滿足安全、舒適、迅速、準(zhǔn)確停車等優(yōu)化控制指標(biāo)，其軌跡優(yōu)化器應(yīng)當(dāng)具備強(qiáng)大的泊車軌跡優(yōu)化性能，從而能夠提供無避碰、精確的自動入庫泊車軌跡曲線[1]。為提升入庫泊車系統(tǒng)的控制性能，已經(jīng)有大量的研究應(yīng)用于實(shí)際的入庫泊車實(shí)際問題中。針對鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，LIU K等提出了一種指數(shù)型全局收斂到任意給定范數(shù)界(epsilon收斂)的控制算法，并將其應(yīng)用于自動停車系統(tǒng)[2]。LIU H等提出了一種基于兩輪驅(qū)動車輪速度傳感器的自適應(yīng)魯棒四輪計(jì)算定位方法，并應(yīng)用于自動停車系統(tǒng)中[3]。趙林峰等提出了一種基于自抗擾控制的自動泊車路徑跟蹤[4]。入庫泊車軌跡往往通過智能算法進(jìn)行優(yōu)化得到。鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm, WOA)是一種具有較好的全局尋優(yōu)性能的智能算法。美中不足的是其在迭代優(yōu)化后期階段，存在收斂性能差，會導(dǎo)致陷入局部最優(yōu)的可能[5]。為提高鯨魚優(yōu)化算法的全局收斂性能，以泊車軌跡最短為目標(biāo)，結(jié)合樣條理論，對現(xiàn)有的鯨魚優(yōu)化算法進(jìn)行了改進(jìn)。首先在非線性遞減的收斂策略基礎(chǔ)上引入變速率調(diào)整因子，以此增強(qiáng)收斂性能和提高收斂速度，然后采用基于sigmoid函數(shù)的變異概率用以改善算法全局收斂性能。最后采用驗(yàn)證函數(shù)和自動泊車實(shí)際軌跡優(yōu)化問題進(jìn)行仿真驗(yàn)證，來對比不同優(yōu)化算法性能。結(jié)果表明，本文改進(jìn)算法具有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力。

1 基于樣條理論的自動入庫泊車優(yōu)化模型

1.1 智能自動入庫泊車系統(tǒng)

本文以一種常見的智能汽車自動倒車入庫方式為例，其具體的智能汽車自動倒車入庫示意圖(見圖1)。

圖1 倒車入庫示意圖

圖1中，停車位已知，停車位的車庫邊線和庫角清晰可辨識，車輛初始位于起步區(qū)并擬定停車入庫于目標(biāo)區(qū)，此時(shí)，自動入庫泊車系統(tǒng)立即采集得到自動入庫所需的相關(guān)信息，并據(jù)此判斷是否具備入庫泊車的條件，在具備停車條件的前提下，依據(jù)采集得到的相關(guān)信息，結(jié)合自動入庫泊車路徑軌跡規(guī)劃方法合理規(guī)劃得到泊車軌跡并引導(dǎo)車輛泊車于目標(biāo)區(qū)。

智能自動入庫泊車系統(tǒng)由泊車優(yōu)化數(shù)據(jù)采集裝置、軌跡優(yōu)化器及其軌跡優(yōu)化輔助程序、泊車跟蹤控制器、泊車可行性判定器、緊急駐停器、泊車停止器等構(gòu)成，其核心功能是能準(zhǔn)確檢驗(yàn)入庫泊車，且在入庫泊車可行性滿足的條件下給出無避碰、軌跡光滑且盡可能短的泊車軌跡并實(shí)施入庫泊車。智能自動入庫泊車系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，需要考慮實(shí)際自動入庫泊車流程的各個(gè)環(huán)節(jié)。具體的智能自動入庫泊車流程系統(tǒng)設(shè)計(jì)圖(見圖2)。

圖2 智能自動入庫泊車流程系統(tǒng)設(shè)計(jì)圖

綜上可知，自動入庫泊車軌跡優(yōu)化是實(shí)現(xiàn)無避碰、泊車運(yùn)行軌跡光滑且盡可能短距離泊車的自動泊車的重要前提條件。

1.2 三次樣條理論

樣條理論始于20世紀(jì)60年代，放樣工人參照固定的曲線函數(shù)表，使用壓鐵將有彈性的細(xì)長木條固定于幾個(gè)相近的點(diǎn)上，而其它位置使其自由彎曲，其形成的曲線便稱之為樣條曲線。三次樣條插值函數(shù)因其具有函數(shù)曲線光滑且較容易擬合計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，故適宜于自動入庫泊車軌跡優(yōu)化。

三次樣條插值函數(shù)的定義如下：

(x0,x1,…,xn)是已知區(qū)間Δ=[a,b]內(nèi)的n+1個(gè)插值點(diǎn)。若插值函數(shù)s(x)滿足下述兩個(gè)條件，則稱s(x)是對應(yīng)于區(qū)間Δ上的三次樣條插值函數(shù)[7]。

s(x)在任意子區(qū)間[xi,xi+1],i∈[0,1,2,...,n]上是三次多項(xiàng)式，具體的三次多項(xiàng)式如公式(1)所述：

(1)

s(x)及其導(dǎo)函數(shù)s′(x)在區(qū)間Δ=[a,b]上連續(xù)。其中，(x0,x1,…,xn)被稱為插值點(diǎn)，(a0,a1,…,an)、(b0,b1,…,bn)、(c0,c1,…,cn)和(d0,d1,…,dn)為三次樣條插值分段函數(shù)的多項(xiàng)式系數(shù)。

1.3 基于樣條理論的自動入庫泊車軌跡優(yōu)化模型

針對智能自動入庫泊車應(yīng)當(dāng)在滿足入庫泊車可行性條件下給出無避碰、軌跡光滑且軌跡長度盡可能短的自動泊車軌跡。本文給出了基于樣條理論的自動入庫泊車軌跡優(yōu)化模型。

(2)

其中，Pg(i)—第i個(gè)車庫碰撞檢測點(diǎn)的位置；

Ωg—庫邊線，?Pg(i)∈Ωg；

Nt—時(shí)間周期集合，含nt個(gè)不同的時(shí)間周期，分別記為1,2,…,it,…,Nt；

Ωc,it—第it個(gè)時(shí)間周期下的車輛覆蓋區(qū)域，因車輛不能碰撞庫邊線，因此?Pg(i)?Ωc,it；

Ng—車庫碰撞檢測點(diǎn)集合，含ng個(gè)不同的測試點(diǎn)，分別記為1,2,…,i,…,ng；

L—泊車軌跡長度，它應(yīng)當(dāng)是泊車速度v(t)對泊車時(shí)間t的定積分(從0時(shí)刻泊車開始至Tmax時(shí)刻泊車結(jié)束)，約等于全部時(shí)間周期下泊車間隔距離的和值；

ΔLmax—允許的泊車間隔距離的最大值，為使得泊車軌跡光滑，需使得泊車軌跡曲線可導(dǎo)，也即令任意時(shí)間周期下，泊車間隔距離不能小于所允許的最大值；

LTX,Y—由X軸和Y軸構(gòu)成的平面坐標(biāo)系下的泊車軌跡，采用三次樣條函數(shù)s(p1,p2,…,pns)擬合，其中，P={p1,p2,…,pns}為泊車軌跡參考點(diǎn)集，是決策變量，含ns個(gè)不同的泊車軌跡參考點(diǎn)。

由式(2)可知，基于樣條理論的自動入庫泊車軌跡優(yōu)化模型，在無避碰、軌跡光滑的約束下，尋到一組使得泊車軌跡L盡可能短的泊車軌跡參考點(diǎn)集P。然而，由于上述模型是一個(gè)非線性的、約束條件苛刻的、不易用常規(guī)解析方法求解的極其復(fù)雜的優(yōu)化模型。對于這種復(fù)雜的優(yōu)化問題，智能優(yōu)化算法更具有計(jì)算精度和速度方面的優(yōu)勢，其中鯨魚優(yōu)化算法具有極高的優(yōu)化效率。為求得更好的泊車軌跡，本文結(jié)合樣條理論提出了一種改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法。

2 改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法

2.1 基本鯨魚優(yōu)化算法

鯨魚優(yōu)化算法主要包括包圍獵物、氣泡網(wǎng)螺旋狩獵和隨機(jī)搜索獵物三個(gè)行為階段。基本鯨魚優(yōu)化算法的位置更新公式可以描述為[6]：

(3)

其中，X*(t)—當(dāng)前最優(yōu)解(獵物)位置向量；

Dp=|X*(t)-X(t)|—鯨魚X(t)與最優(yōu)解X*(t)之間的距離；

p—鯨魚的階段行為選擇概率，p∈[0,1]；

ps—鯨魚選擇進(jìn)行包圍獵物階段行為的概率，ps∈[0,1]，取值為0.6；

1-ps—鯨魚選擇進(jìn)行氣泡網(wǎng)螺旋狩獵階段行為的概率；

b—螺旋的形狀，取1；l—(-1,1)范圍的隨機(jī)數(shù)；

t—當(dāng)前的優(yōu)化迭代次數(shù)；

A和C相關(guān)系數(shù)的計(jì)算見式(4)—(6)。

a=2-2×t/Tmax

(4)

A=2a×r1-a

(5)

C=2×r2

(6)

式中，a—收斂因子；A和C—相關(guān)系數(shù)；r1、r2—(0,1)中的隨機(jī)數(shù)；Tmax—最大優(yōu)化迭代次數(shù)。

鯨魚選擇進(jìn)行隨機(jī)搜索獵物階段行為時(shí)，首先隨機(jī)選擇一個(gè)搜索領(lǐng)導(dǎo)個(gè)體Xrand，式(7)—(8)為D和X(t+1)的更新計(jì)算。式(8)中，Xrand是隨機(jī)選擇的一個(gè)搜索領(lǐng)導(dǎo)個(gè)體的初始位置向量。

D=|CXrand-X(t)|

(7)

X(t+1)=Xrand-A·D

(8)

鯨魚優(yōu)化算法歸納為以下6個(gè)步驟，從而達(dá)到全局尋優(yōu)。

①初始化鯨魚種群，賦值參數(shù)。

②設(shè)定ps的值，隨機(jī)產(chǎn)生概率p，當(dāng)p

③計(jì)算A，當(dāng)A<1時(shí),進(jìn)行包圍獵物階段行為，更新其它鯨魚的位置X(t+1)=X*-A·D，轉(zhuǎn)向步驟⑥；當(dāng)A≥1時(shí),進(jìn)行隨機(jī)搜索獵物階段行為，轉(zhuǎn)向步驟④。

④隨機(jī)選擇一個(gè)搜索領(lǐng)導(dǎo)個(gè)體Xrand，更新各個(gè)鯨魚的位置X(t+1)=Xrand-A·D，轉(zhuǎn)向步驟⑥。

⑤當(dāng)p≥ps時(shí)，鯨魚優(yōu)化算法進(jìn)行氣泡網(wǎng)螺旋狩獵階段行為，鯨魚的位置更新按照X(t+1)=X*(t)+DP·ebl·cos(2πl(wèi))進(jìn)行，轉(zhuǎn)步驟⑥。

⑥判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若到達(dá)最大迭代次數(shù)則算法結(jié)束，否轉(zhuǎn)向步驟②。

2.2 變速率調(diào)整收斂因子非線性遞減

由公式(4)可知，收斂因子a的數(shù)值由2線性遞減至0。由鯨魚覓食的原理可知，收斂因子a在覓食(迭代計(jì)算)的初期取較大的值以提升收斂速度；而在覓食(迭代計(jì)算)的末期，取較小的值以提高收斂精度。然而如果收斂因子a呈相對固定的線性遞減，則影響算法的收斂速度和收斂精度[8]。為此，本文將變速率調(diào)整因子β和非線性遞減余弦函數(shù)結(jié)合作為收斂因子a。

(9)

式(9)中，β—變速率調(diào)整因子，調(diào)整收斂因子a隨著迭代次數(shù)余弦下降的速率。

采用上述策略，能夠使得收斂因子a在整個(gè)迭代周期呈非線性遞減。變速率調(diào)整的收斂因子a和進(jìn)化代數(shù)t的關(guān)系曲線(見圖3)。

圖3 a—t的關(guān)系曲線

由圖3可知，在迭代過程，收斂因子a余弦遞減，其在迭代初期下降速率較慢，迭代后期下降速率較快。迭代時(shí)，不同的變速率調(diào)整因子β導(dǎo)致收斂因子a遞減速率不同。因此，可以依據(jù)不同優(yōu)化問題的自身特性，選擇合適的變速率調(diào)整因子β。這種變速率調(diào)整策略可以使收斂因子的速率在整個(gè)迭代過程中具有顯著的差異，不僅可以滿足算法的收斂速度，還可以達(dá)到增強(qiáng)算法全局收斂性能，避免陷入局部收斂。

2.3 基于sigmoid函數(shù)的自適應(yīng)變異概率

(10)

式(10)中，pm—變異概率的最終值，取0.2；ap—形狀因子，取5；

pm-max—變異概率的最大值；

Ns—鯨魚種群分界點(diǎn)，取0.8；

fit(x)′—鯨魚種群中鯨魚個(gè)體x的適應(yīng)度函數(shù)值fit(x)的歸一化值。

由公式(10)可知，自適應(yīng)變異概率值隨著鯨魚個(gè)體的適應(yīng)函數(shù)值的歸一化值fit(x)′非線性的遞減。自適應(yīng)變異概率值pm和鯨魚種群中鯨魚個(gè)體x的適應(yīng)度函數(shù)的歸一化值fit(x)′的關(guān)系曲線(見圖4)。

圖4 pm—fit(x)′關(guān)系曲線

由圖4可知，采用上述自適應(yīng)變異策略下，對于整個(gè)鯨魚種群，可以實(shí)現(xiàn)適應(yīng)度函數(shù)值大的鯨魚個(gè)體施加以較小的變異概率，以此保留優(yōu)勢精英個(gè)體。同時(shí)適應(yīng)度函數(shù)值小的鯨魚個(gè)體施加較大的變異概率，實(shí)現(xiàn)劣勢個(gè)體充分變異進(jìn)化以增強(qiáng)鯨魚種群多樣性，提升個(gè)體的搜尋能力。這里鯨魚個(gè)體適應(yīng)度函數(shù)值在平均值以下(fit(x)′<0.5)的給予施加較高的變異概率(>0.15)，而本文給出的隨著適應(yīng)度函數(shù)值非線性遞減的自適應(yīng)變異概率值，既防止了優(yōu)勢精英個(gè)體統(tǒng)治種群，又使得劣勢個(gè)體具有一定的變異進(jìn)化機(jī)會。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 驗(yàn)證函數(shù)的仿真

本文采用3種驗(yàn)證函數(shù)，即單目標(biāo)函數(shù)(Schaffer)、雙目標(biāo)函數(shù)(ZDT1)和三目標(biāo)函數(shù)(DTLZ1)，對本文提出的鯨魚優(yōu)化改進(jìn)算法(improved whale optimization algorithm, IWOA)、混沌鯨魚優(yōu)化算法(chaotic whale optimization algorithm, CWOA)[9]和基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition, MOEA/D)[10]3種不同的優(yōu)化算法進(jìn)行仿真對比。本文提出的鯨魚優(yōu)化改進(jìn)算法的具體參數(shù)設(shè)置如下：鯨魚種群規(guī)模N取值為50，迭代次數(shù)d取值為100，鯨魚選擇進(jìn)行包圍獵物階段的概率Ps取值為0.6，螺旋形狀常數(shù)b取值為1，變速率調(diào)整因子β取值為-0.1，變異概率最大值Pm-max取值為0.2，自適應(yīng)變異概率形狀因子ap取值為5，鯨魚種群分界點(diǎn)NS取值為0.8。

對于單目標(biāo)驗(yàn)證函數(shù)schaffer，本文采用其最優(yōu)解函數(shù)值作為適應(yīng)度函數(shù)值。最優(yōu)解函數(shù)值與真實(shí)最優(yōu)解越接近，則表明優(yōu)化算法的優(yōu)化性能越好。對于雙目標(biāo)驗(yàn)證函數(shù)ZDT1和三目標(biāo)驗(yàn)證函數(shù)DTLZ1，本文采用反向世代距離(IGD)作為適應(yīng)度函數(shù)值。IGD值越低，則表明優(yōu)化算法的收斂性能越好，獲得的最優(yōu)化前沿越接近于真實(shí)最優(yōu)前沿，IGD值的計(jì)算公式(13)所述。

(13)

式(13)中，Q—均勻分布在真實(shí)最優(yōu)前沿的pareto面上的采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)集合；

Q′—待驗(yàn)證算法計(jì)算得到的最優(yōu)化前沿的近似pareto解集；

d(Qip,Q′)—第ip個(gè)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)Qip與Q′之間最小的距離，|Q|為Q的規(guī)模。

以下是具體的仿真對比結(jié)果：

(1) Schaffer函數(shù)

圖5 Schaffer函數(shù)仿真驗(yàn)證尋優(yōu)曲線

表1 Schaffer函數(shù)仿真尋優(yōu)結(jié)果

由圖5和表1可知，相比其它算法，本文提出的IWOA最優(yōu)。函數(shù)最優(yōu)解為(x1,x2)=(4.2×10-4,4.8×10-4)；最優(yōu)解函數(shù)值為：F(x1,x2)=6.4×10-4。

(2)ZDT1函數(shù)

圖6 ZDT1函數(shù)仿真測試尋優(yōu)曲線

表2 ZDT1函數(shù)和DTLZ1函數(shù)仿真尋優(yōu)結(jié)果

由圖6和表2可知，相比其它算法，本文提出的IWOA最優(yōu)。仿真驗(yàn)證尋優(yōu)得到的最優(yōu)IGD值為6.57×10-4。

(3)DTLZ1函數(shù)

圖7 DTLZ1函數(shù)的仿真驗(yàn)證尋優(yōu)曲線

由圖7可知，相比其它算法，本文提出的IWOA最優(yōu)，仿真驗(yàn)證尋優(yōu)得到的最優(yōu)IGD值為1.17×10-3。

3.2 基于樣條理論的自動入庫泊車matlab2016b實(shí)驗(yàn)平臺的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文采用基于matlab2016b平臺實(shí)現(xiàn)自動入庫泊車軌跡優(yōu)化，并采用基于visual studio的監(jiān)控平臺來監(jiān)測自動入庫泊車軌跡優(yōu)化的全過程，其間通訊用VC++來構(gòu)建。本文將泊車軌跡優(yōu)化環(huán)境及其監(jiān)控環(huán)境集成于一臺筆記本計(jì)算機(jī)中，采用VC++6.0編寫的模擬串口通信器進(jìn)行通訊，通訊介質(zhì)采用office excel。主要參數(shù)配置如下所述：泊車優(yōu)化數(shù)據(jù)模擬采集的限制時(shí)間為4 s，泊車可行性模擬判斷限制時(shí)間為1.5 s，泊車軌跡優(yōu)化模擬計(jì)算限制時(shí)間為10.5 s，泊車跟蹤模擬控制限制時(shí)間為30 s，緊急停止模擬計(jì)算的限制時(shí)間為0.2 s，泊車停止模擬計(jì)算限制時(shí)間為1 s，駕駛員提示器模擬反應(yīng)限制時(shí)間為0.05 s，求解三次樣條插值函數(shù)多項(xiàng)式系數(shù)的功能函數(shù)為spline，求解泊車軌跡曲線長度方法為積分?jǐn)M合法，控制周期為1 000 μs。

以尺寸為5.0 m×2.5 m(長×寬)的停車位和尺寸為3.4 m×1.7 m(長×寬)的車輛覆蓋區(qū)域?yàn)樵囼?yàn)對象，軌跡優(yōu)化方法分別采用IWOA、CWOA和MOEA/D，跟蹤控制算法均采用模糊預(yù)測控制算法，車輛覆蓋區(qū)域與庫邊近角點(diǎn)的水平距離均為2.2 m，車輛覆蓋區(qū)域與庫邊線的距離分別為1 m和0.8 m。對于所述的仿真條件，具體的自動入庫泊車跟蹤控制軌跡曲線與示意情況及其相關(guān)結(jié)果(見圖8—9)和(見表3—4)。在圖8中，車輛覆蓋區(qū)域與庫邊線的距離為1 m。圖9為車輛覆蓋區(qū)域與庫邊線距離為0.8 m。在圖8—9中，車庫角點(diǎn)A為表4—5中參考點(diǎn)集的坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平方向?yàn)闄M軸，以豎直方向?yàn)榭v軸。

圖8 自動入庫泊車跟蹤控制軌跡曲線仿真圖(1 m)

圖9 自動入庫泊車跟蹤控制軌跡曲線仿真圖(0.8 m)

表3 自動入庫泊車跟蹤控制相關(guān)結(jié)果

表4 自動入庫泊車跟蹤控制相關(guān)結(jié)果

由(圖8—9)，(表4—5)可知，相比于MOEA/D和CWOA，盡管均保證在泊車運(yùn)行過程中車輛與庫邊線無避碰風(fēng)險(xiǎn)，但采用IWOA所獲得的自動入庫泊車跟蹤控制軌跡更加平滑且泊車軌跡長度更短。這表明本文提出的IWOA具有更強(qiáng)的優(yōu)化性能，從而能夠?qū)?yōu)得到更理想的泊車軌跡，更有助于智能汽車自動入庫泊車，所獲得的入庫泊車跟蹤控制效果更佳。

4 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)優(yōu)化算法具有的收斂速度慢、易于陷入局部最優(yōu)等問題，結(jié)合三次樣條理論，構(gòu)建了一種自動入庫泊車優(yōu)化模型。本文先在非線性遞減的收斂策略基礎(chǔ)上引入變速率調(diào)整因子β，通過β的自適應(yīng)調(diào)整，增強(qiáng)收斂性能和提高收斂速度；然后采用自適應(yīng)變異概率用以改善算法全局收斂性能。利用驗(yàn)證函數(shù)測試和自動入庫泊車實(shí)際問題的仿真驗(yàn)證結(jié)果表明，本文提出的改進(jìn)算法具有更強(qiáng)的全局搜索能力和較快的收斂速度，能夠較好地應(yīng)用于自動入庫泊車軌跡優(yōu)化。