秦建敏

這幾年，圍繞概率的問題逐漸由考查概念和計(jì)算轉(zhuǎn)為考查閱讀、理解以及實(shí)際運(yùn)用，這部分試題往往材料新穎、圖文并茂。但是簡單的隨機(jī)事件的概率問題本質(zhì)上都可以轉(zhuǎn)化為等可能條件下的摸球試驗(yàn)問題。下面我們通過幾道中考題加以闡述，以便大家更好地認(rèn)識(shí)中考中的概率問題。

例1 （2020·湖南湘潭）生死守護(hù)，致敬英雄。湘潭28名醫(yī)護(hù)人員所在的湖南對口支援湖北黃岡醫(yī)療隊(duì)紅安分隊(duì)，精心救治每一位患者，出色地完成了醫(yī)療救治任務(wù)。為致敬英雄，某校音樂興趣小組根據(jù)網(wǎng)絡(luò)盛傳的“紅旗小姐姐”跳的儋州調(diào)聲組建了舞蹈隊(duì)?，F(xiàn)需要選取兩名學(xué)生作為舞蹈隊(duì)的領(lǐng)舞，甲、乙兩班各推薦了1名男生和1名女生。（溫馨提示：用男1、女1，男2、女2分別表示甲、乙兩班的4名學(xué)生。）

（1）請用列舉的方法寫出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;

（2）若選取的兩人來自不同的班級(jí)，且按甲、乙兩班先后順序選取，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中1男1女的概率。

【分析】本題考查列表法和畫樹狀圖法，同時(shí)，按照題目中“寫出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果”的要求，在使用列舉法時(shí)，要注意按一定的順序列舉，做到不重不漏。

（1）直接列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果即可;

（2）畫出樹狀圖，找出符合題意的可能結(jié)果，再利用概率公式求出概率。

解：（1）可能出現(xiàn)的結(jié)果有：男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2。

（2）畫樹狀圖如下：

共有4種等可能的結(jié)果，其中恰好選中1男1女的結(jié)果有2種，所以恰好選中1男1女的概率為[24]=[12]。

【點(diǎn)評(píng)】本題的第（2）小題，考查的是選中的學(xué)生為1男1女的概率。我們不妨把男生看作紅球，把女生看作白球，甲班的男生、女生分別為紅1、白1，乙班的男生、女生分別為紅2、白2。那么此題就轉(zhuǎn)化為從紅1、白1和紅2、白2中分別取1個(gè)球，求這兩個(gè)球的顏色不相同的概率。這樣，問題就順利地從到班級(jí)選學(xué)生轉(zhuǎn)化為摸球試驗(yàn)，回歸熟悉的問題，思考起來簡單明了。

例2 （2020·遼寧營口）隨著“新冠肺炎”疫情防控形勢日漸好轉(zhuǎn)，各地開始復(fù)工復(fù)學(xué)。某校復(fù)學(xué)后成立“防疫志愿者服務(wù)隊(duì)”，設(shè)立4個(gè)“服務(wù)監(jiān)督崗”：①洗手監(jiān)督崗，②戴口罩監(jiān)督崗，③就餐監(jiān)督崗，④操場活動(dòng)監(jiān)督崗。李老師和王老師報(bào)名參加了志愿者服務(wù)工作，學(xué)校將報(bào)名的志愿者隨機(jī)分配到4個(gè)監(jiān)督崗。

（1）李老師被分配到“洗手監(jiān)督崗”的概率為;

（2）用列表法或畫樹狀圖法，求李老師和王老師被分配到同一個(gè)監(jiān)督崗的概率。

【分析】（1）一共有4個(gè)監(jiān)督崗，李老師被分配到每個(gè)監(jiān)督崗的可能性相等，所以李老師被分配到“洗手監(jiān)督崗”的概率為[14]。

（2）在分配監(jiān)督崗時(shí)，李老師有4種等可能的崗位分配，針對李老師的每一項(xiàng)崗位分配，王老師又有4種等可能的崗位分配，由此得出李老師和王老師所有的崗位分配種數(shù)。其中李老師和王老師被分配到同一個(gè)監(jiān)督崗的情況有4種，進(jìn)而求得相應(yīng)概率。

解：（1）[14];

（2）（方法一）畫樹狀圖，如圖所示：

由樹狀圖可以看出，隨機(jī)將李老師和王老師分配到4個(gè)監(jiān)督崗，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16種，并且它們出現(xiàn)的可能性相等，其中，兩位老師被分配到同一個(gè)監(jiān)督崗的情況有4種，即①①，②②，③③，④④，

∴P（兩位老師被分配到同一個(gè)監(jiān)督崗）=[416]=[14]。

（方法二）根據(jù)題意，列表如下：

[ ① ② ③ ④ ① （①，①） （①，②） （①，③） （①，④） ② （②，①） （②，②） （②，③） （②，④） ③ （③，①） （③，②） （③，③） （③，④） ④ （④，①） （④，②） （④，③） （④，④） ][王老師][李老師]

由表格可以看出，隨機(jī)將李老師和王老師分配到4個(gè)監(jiān)督崗，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16種，并且它們出現(xiàn)的可能性相等，其中，兩位老師被分配到同一個(gè)監(jiān)督崗的情況有4種，即（①，①），（②，②），（③，③），（④，④），

∴P（兩位老師被分配到同一個(gè)監(jiān)督崗）=[416]=[14]。

【點(diǎn)評(píng)】這是一道以防疫監(jiān)督崗人員調(diào)配為背景的實(shí)際問題，我們依然可以將它轉(zhuǎn)化為摸球試驗(yàn)。“一只不透明的袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為①、②、③、④的小球，這4個(gè)球除標(biāo)號(hào)外完全相同，從中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記下標(biāo)號(hào)，放回后再從中隨機(jī)抽取一個(gè)，求兩次抽出小球標(biāo)號(hào)相同的概率。”對大家來說，這個(gè)摸球試驗(yàn)是一個(gè)可以輕松應(yīng)對的問題。

同學(xué)們，通過對這幾個(gè)問題的分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，模型思想、轉(zhuǎn)化思想是多么重要。數(shù)學(xué)是需要積累解題經(jīng)驗(yàn)的，但是如果能在解決一類問題后，認(rèn)真觀察、思考、歸納其中的規(guī)律，對我們提高數(shù)學(xué)水平會(huì)有很大的幫助。

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）