周裕然，趙華新，周 陽

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

譜的相關(guān)理論是算子半群主要研究的內(nèi)容之一，許多學(xué)者研究了譜的相關(guān)性質(zhì)[1-3]。文獻[4]研究了雙參數(shù)C半群的一些結(jié)果及其相關(guān)性質(zhì)；文獻[5]給出了n階α次積分C半群的概念、預(yù)解集以及次生成元等問題；文獻[6]討論了雙參數(shù)n階α次積分C半群及其性質(zhì)；文獻[7]研究了指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的生成定理;文獻[8-11]研究了相關(guān)半群的譜映射定理。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，利用指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群的點譜、剩余譜、連續(xù)譜的定義，討論了指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群的譜映射定理。

1 預(yù)備知識

在本文中，X為無限維的復(fù)Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù)；D(A)為線性算子A的定義域，設(shè)n∈N，α≥0。

T=0當(dāng)且僅當(dāng)存在n≥0使

JnT(t,s)=0，t,s≥0。

定義1[6]設(shè)n∈N，α≥0，C∈B(X)是單射，算子族{T(t,s):?t,s≥0}?B(X)。

被稱為指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，則以下條件成立:

?t,s≥0；

(2)存在閉線性算子A=(A1,A2)，滿足

?x∈X,t,s≥0,JnT(t,s)∈D(A),

?x∈D(A),t,s≥0,

(3)存在M≥0,ω∈R使

‖T(t,s)‖≤‖C-1‖Meω(t+s)，?t,s≥0。

稱A=(A1,A2)是{T(t,s)：?t,s≥0}?B(X)的次生成元，把G(M,ω,C,t,s)記為X內(nèi)的所有指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群。

定義2[6]設(shè)A為指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C群的次生成元，則稱集合：{aλ+bμ|λn-1μn-1((aλ+bμ)n-T(t,s))-1C∈B(X),a,b∈R,t,s≥0}為指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群{T(t,s):?t,s≥0}的預(yù)解集，稱集合C/ρc(T(t,s))指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群{T(t,s):?t,s≥0}的譜，記為σc(T(t,s))。

定義3[6]設(shè){T(t,s):?t,s≥0}是復(fù)Banach空間X上的指數(shù)有界參數(shù)n階α次積分C半群，分別稱集合

σpc(A)={aλ+bμ:((aλ+bμ)n-A)-1C不存在}，

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè){T(s,t)}s,t≥0是由A次生成的指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群。令

x∈X,s,t≥0，λ,u∈R。則

(1)?x∈X,

(λn-1μn-1((aλ+bμ)n-A))Bλ,μ(s,t)x=

-λn-1μn-1C·eλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x；

(2)?x∈D(A),

Bλ,μ(s,t)(λn-1μn-1((aλ+bμ)n-A))x=

-λn-1μn-1C·eλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x。

證明由Bλ,μ(s,t)的定義可知，

Bλ,μ(s,t)∈B(X)對x∈X有

λn-1μn-1·

λn-1μn-1·

U1=U2=U3。

λn-1μn-1(λa+μb)nCBλ,μ(s,t)x。

T(s,t)Cx。

λn-1μn-1C2eλs+μtx。

λn-1μn-1(λa+μb)nCBλ,u(s,t)x+

λn-1μn-1T(s,t)x+λn-1μn-1C2eλs+μtx。

λn-1μn-1(λa+μb)nBλ,u(s,t)x+λn-1μn-1T(s,t)x+

λn-1μn-1Ceλs+μtx。

λn-1μn-1(λa+μb)nBλ,μ(s,t)x+λn-1μn-1T(s,t)x+

λn-1μn-1Ceλs+μtx。

所以λn-1μn-1((λa+μb)n-A)Bλ,μ(s,t)x=

-λn-1μn-1Ceλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x。

?x∈D(A)有，Bλ,μ(s0,t0)x∈D(A)且

Bλ,μ(s0,t0)λn-1μn-1Ax=

Bλ,μ(s0,t0)λn-1μn-1(λa+μb)nx+

λn-1μn-1Ceλs0+μt0x+λn-1μn-1T(s0,t0)x。

所以有Bλ,μ(s,t)λn-1μn-1((λa+μb)n-A)x=

-λn-1μn-1Ceλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x。

定理2 設(shè){T(s,t)}s,t≥0是由A次生成的指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，則

esσ(A1)+tσ(A2)?σc(T(s,t))。

證明因為A是指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群的次生成元，而A1，A2分別為指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群T(s,0)和T(0,t)的無窮小次生成元，所以只需要證明

esρ(A1)+tρ(A2)?ρc(T(s,t))或者

設(shè)λn-1μn-1e(λa+μb)n∈ρc(T(s,t))，則

(-Cλn-1μn-1eλs+μt-λn-1μn-1T(s,t))-1∈B(x)。

令M=(-Cλn-1μn-1eλs+μt-λn-1μn-1T(s,t))-1，

則由定理1，?x∈X有

λn-1μn-1((λa+μb)n-A)Bλ,μ(s,t)Mx=

(-Ceλs+μtλn-1μn-1-λn-1μn-1T(s,t))Mx=x。

對于?x∈D(A)，有

MBλ,μ(s,t)λn-1μn-1((λa+μb)n-A)x=

M(-Ceλs+μtλn-1μn-1-λn-1μn-1T(s,t))x=x。

由Bλ,μ(s,t)的定義知，M與Bλ,μ(s,t)可交換，則?x∈D(A)有

Bλ,μ(s,t)Mλn-1μn-1((λa+μb)n-A)x=x。

綜上可知，(λn-1μn-1((λa+μb)n-A))=

Bλ,μ(s,t)M∈B(x)，故

aρ(A1)+bρ(A2)，

從而定理得證。

定理3 設(shè){T(s,t)}s,t≥0是由A次生成的指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，則

esσp(A1)+tσp(A2)?ρp(T(s,t))。

λn-1μn-1(aλk+bμk)n=

證明

從而由定理1知

即?x0≠0，使得

由定義得λn-1μn-1eλs+μt∈σpc(T(s,t))。

(2)設(shè)λn-1μn-1eλs+μt∈σp(T(s,t))，

由定義3知?x0≠0，使得

-λn-1μn-1Ceλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x=

λn-1μn-1Ce(λa+μb)lx-λn-1μn-1T(al,bl)x，

λn-1μn-1e-(λa+μb)(l+t)T(a(l+t),b(l+t))x0=

λn-1μn-1e-(λa+μb)le-(λa+μb)tC-1T(al,bl)T(at,bt)x0=

λn-1μn-1e-(λa+μb)lT(al,bl)x0。

所以連續(xù)函數(shù)l→λn-1μn-1e-(λa+μb)lT(al,bl)x0是以t為周期的周期函數(shù)。

由于λn-1μn-1e-(λa+μb)lT(al,bl)x0不恒等于零，所以Fourier函數(shù)必有一個不為零，所以?k∈N，使得

以下證明

令ηk=λn-1μn-1(aλk+bμk)n，

η=λn-1μn-1(aλ+bμ)n，

ξ=λn-1μn-1(aλ0,+bμ0)n，則

λn-1μn-1(ξ-A)-1Cx0=

T(a(φ+nt),b(φ+nt))x0dφ=

T(a(φ+nt),b(φ+nt))x0dφ=

所以λn-1μn-1(ηk-A)xk=0。

而xk≠0，A是閉線性算子，因此

ηk=λn-1μn-1(aλk+bμk)n=

結(jié)論得證。

定理4 設(shè){T(s,t)}s,t≥0是由A次生成的指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，若

λn-1μn-1(λa+μb)n∈σ(A)，且對于n∈N，

λn-1μn-1(λa+μb)n=

證明若λn-1μn-1(λa+μb)∈σ(A)，設(shè)(λa+μb)∈σr(A)。由定義3得

則存在x*∈X′，x*≠0，使得

〈x*,λn-1μn-1((λa+μb)n-A)·Cx〉=0。

由λn-1μn-1((λa+μb)n-A)Bλ,μ(s,t)x=

(-C·eλs+μtλn-1μn-1T(s,t))x，

λn-1μn-1((λa+μb)n-A)Bλ,μ(s,t)x=

-C·eλs+μtλn-1μn-1x-λn-1μn-1T(s,t)x，

得〈x*,(-C·eλs+μtλn-1μn-1-λn-1μn-1T(s,t))x〉=0，x∈X。

因此

即R(-C·eλs+μtλn-1μn-1-λn-1μn-1T(s,t))在X中不稠密。

由定理3得?n∈N，使得

λn-1μn-1(λa+μb)n=

這與定理的已知條件矛盾。

因此(-C·eλs+μtλn-1μn-1-λn-1μn-1T(s,t))-1存在，從而由定義知

定理5 設(shè){T(s,t)}s,t≥0是由A生成的指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，若

則由定理3得λn-1μn-1(λna+μnb)∈σp(A)，與已知條件矛盾。

則由定理4得λn-1μn-1(λna+μnb)∈σr(A)，與已知條件矛盾。