李 陳

(中聯煤層氣有限責任公司，北京 100015)

0 引 言

目前，主要通過Langmuir方程和Fick擴散定律來描述煤層氣吸附、解吸及擴散過程[1-2]。在天然裂縫中的滲流是基于Warren-Root等人提出的雙重介質模型[3-4]。李陳[5]等通過定義新的擬時間函數來描述煤層開采過程中的基質收縮效應，使得算法的精度和速度達到商業(yè)軟件的應用需求。張先敏[6]等建立了低滲透煤層氣有限導流裂縫井模型，得出在低滲透情況下直井的壓力變化規(guī)律。郭濤等分別研究評價了分層合采、壓裂水平井等不同開發(fā)模式下的產能評價以及影響因素[7-11]。Nie[12]、趙玉龍[13]等人得到了含有人工裂縫的產能評價模型并分析了各流動階段壓力、產量變化情況。

煤層氣藏地應力分布復雜，裂縫延伸方向和延伸長度多變，且兩翼裂縫長度往往不一致。受煤層較軟的影響，裂縫導流因子不會很大，裂縫產能評價需要考慮水力裂縫非對稱性帶來的影響。該文通過對物質平衡方程的優(yōu)化，得到非對稱裂縫產能評價解析解模型，該研究對煤層氣藏產能評價和高效開發(fā)具有指導意義。

1 物理模型

氣藏中一口壓裂直井，壓裂裂縫兩翼不對稱，裂縫為有限導流裂縫，氣藏為恒溫氣藏，垂直方向上不發(fā)生流動，裂縫貫穿整個氣層，生產條件為定壓生產或定產生產。

2 數學模型

2.1 天然裂縫系統(tǒng)滲流數學模型

定義擬壓力函數[14]：

(1)

定義新的擬時間函數：

(2)

(3)

天然裂縫物質平衡方程可表示為[5]：

(4)

將各變量無因次化：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：qfD為無因次裂縫流量；xf為裂縫半長，m；qf為裂縫流量，m3/d；qsc為標準狀況下流量，m3/d；xD為x方向無因次長度；x為x方向長度,m；yD為y方向無因次長度；y為y方向長度，m；pfD為裂縫無因次壓力；pic為標準狀況下地層壓力，MPa；pf為裂縫壓力，MPa；qD為無因次產量；h為地層厚度，m。

通過定義新的擬時間函數及變量無因次化，由邊界條件和初始條件，得到式(4)的解：

(10)

(11)

2.2 水力裂縫流動數學模型

定義裂縫偏心因子為：

(12)

式中：θ為裂縫偏心因子；xw為裂縫偏離裂縫中心的距離，m。

無因次化后，裂縫的滲流控制方程為：

(13)

式中：CfD為裂縫無因次導流能力；pD為無因次地層壓力；δ(xD-θ)為狄拉克函數。

結合邊界條件，式(13)在Laplace空間中的解為：

(14)

為了得到井底流壓解析解，需要耦合水力裂縫流動數學模型和天然裂縫系統(tǒng)數學模型，聯立式(10)、(11)、(14)得：

(15)

流量歸一化方程：

(16)

3 歷史擬合

在理論解析解求解過程中，需要將生產條件作為方程的定解條件，必須為穩(wěn)定生產才能夠滿足方程求解需求。但在實際的生產過程中，井底流壓或產量通常是變化的，需利用Duhamel褶積對變化的產量或壓力進行疊加，得到變產或變壓條件下的理論解析解，進而可以實現理論數據與實際數據的歷史擬合，最終在擬合的基礎上實現產能評價和產量預測。

變壓求產過程與變產求壓的區(qū)別是變壓求產時其產量為未知量，因此，需要先假設一個產量來計算平均壓力，在計算過程中不斷通過迭代計算來對產量進行修正。

4 結果分析

4.1 準確性驗證

為驗證文中模型的準確性，選擇與煤層氣藏解析解經典文獻(Anbarci，1990)[2]進行對比，原文獻為無限大氣藏無限導流裂縫，其裂縫為對稱裂縫。文中選取無因次邊界xed=10 000，yed=10 000，θ=0.0，CfD=10 000，可近似為Anbarci模型。為了與經典文獻進行對比，所有參數量綱與對比文獻一致，其中：弛豫時間為13 708 d，黏度為0.010 82 mPa·s，溫度為294 K，標準狀態(tài)下的流量為5 663 m3/d，原始地層壓力為3.1 MPa，孔隙度為0.01，井筒半徑為0.15 m，綜合壓縮系數為1.5×10-5MPa-1，朗格繆爾體積為18.6 m3/m3，天然裂隙系統(tǒng)滲透率為26 mD，煤層厚度為1.83 m。圖1為文中模型解析解與Anbarci解析解及數值解的對比。

圖1 文中模型解析解與Anbarci解析解及數值解的對比Fig.1 The comparison of the analytical solution of the model in thispaper with Anbarci analytical solution and numerical solution

由圖1可知，文中模型解析解與數值解的擬合誤差要小于Anbarci與數值解的擬合誤差，在壓力分析中文中模型解析解更加準確，而Anbarci解析解計算結果偏小。

4.2 流動階段劃分

煤層氣藏非對稱水力裂縫直井滲流狀態(tài)可以劃分為6個流動階段(圖2)。圖中σ為速率常數，σ=1 000，ω為裂隙系統(tǒng)存儲系數，ω=0.5，λ為裂隙系統(tǒng)竄流系數，λ=100，red為無因次邊界長度，red=100，tD為無因次生產時間，CD為無因次井筒存儲系數，ΨwD為無因次擬井底流壓，ΨwD′為Laplace空間中無因次擬井底流壓。

圖2 煤層氣藏壓裂直井不同流動階段壓力響應Fig.2 The pressure response at different flow stages offractured vertical well in coalbed methane reservoir

(1) 井筒儲集階段(圖2中①)。該階段主要反映早期井筒儲集效應的影響，無因次擬井底流壓和無因次擬井底流壓導數均為直線，且2條直線斜率均為1。

(2) 井筒儲集過渡階段(圖2中②)。該階段井筒儲集效應逐漸減弱，氣藏中的氣體逐漸流向井筒，擬壓力主要受到氣藏和井儲效應的影響，無因次擬壓力導數曲線逐漸降低。

(3) 天然裂縫到水力裂縫的線性滲流階段(圖2中③)。該階段可以進一步細分為2個階段：雙線性流階段和線性流階段。從雙線性流階段過渡到線性流階段的過程中，無因次擬壓力導數的斜率由1/4過渡到1/2。裂縫的導流能力決定了雙線性滲流階段的長度，一般情況下，裂縫的導流能力越大，雙線性流階段持續(xù)的時間越長。由于無因次擬壓力在該階段只有輕微的降低，因此，基質的解吸現象不明顯。

(4) 基質解吸、氣體擴散作用階段(圖2中④)。隨著擬壓力的進一步降低，解吸現象變得越來越明顯。該階段吸附氣逐漸通過解吸附從基質中解吸出來變?yōu)樽杂蓺?，使基質周圍的氣體濃度增加，氣體通過擴散作用進入天然裂縫系統(tǒng)。無因次擬壓力導數呈現“V”字型?！癡”字型的深度和持續(xù)時間由井筒存儲系數、儲容系數、解吸系數以及竄流系數決定。該階段也是煤層氣、頁巖氣等具有吸附解吸現象氣藏的特征階段。

(5) 擬徑向流動階段(圖2中⑤)。該階段氣體從基質中解吸出來擴散到天然裂縫系統(tǒng)，這一過程與氣體從天然裂縫流入人工裂縫系統(tǒng)的過程達到動態(tài)平衡，擬壓力的下降速率變小。

(6) 邊界控制流階段(圖2中⑥)。在有邊界的氣藏模型中，壓力波到達邊界后，對于恒壓邊界氣藏而言，由于邊界能量供應充足，壓力較快達到穩(wěn)定狀態(tài)；對于封閉邊界系統(tǒng)，壓力系統(tǒng)達到擬穩(wěn)定狀態(tài)。

4.3 裂縫非對稱程度影響分析

裂縫兩翼非對稱程度不同，井底流壓反應不同。圖3為非對稱裂縫的無因次壓力變化情況。

圖3 裂縫兩翼非對稱程度不同壓力曲線Fig.3 The pressure curves at different asymmetricdegree on two wings of fracture

由圖3可知，當θ=1.0時，表示裂縫完全在井的一邊，為單翼裂縫；當θ=0.5時，表示井在裂縫的3/4處；當θ=0.0時，表示井在裂縫中心處，為對稱裂縫。

由圖3可知：在相同產量的情況下，對稱裂縫的壓降要小于非對稱裂縫，因為在氣體生產過程中，氣體在非對稱裂縫中的滲流阻力較大，消耗能量較多，地層能量利用率較低，自然產收率較低，因此，最佳的裂縫形態(tài)為中心對稱裂縫。

圖4為不同導流能力下井底流壓變化情況。由圖4可知，當裂縫導流能力越大時，裂縫非對稱性對井底流壓影響越小。一方面，水力裂縫的導流能力遠大于天然裂縫，氣體在裂縫中滲流所消耗的能量比在天然裂縫中小得多，天然裂縫系統(tǒng)是決定能量消耗的主體；另一方面，水力裂縫容易提供一個通暢的流通路徑，以滿足天然裂縫中滲流出來的氣體在其中滲流。裂縫的導流能力越小，裂縫非對稱性所帶來的差異越大。對于煤層氣藏，由于煤儲層較軟，其水力裂縫導流能力通常較差，非對稱性裂縫對井底流壓影響較大。因此，對稱裂縫為地層能量利用率最高的裂縫，在煤層氣藏儲層改造過程中，應盡可能壓裂形成對稱裂縫以降低氣體滲流的能量消耗。生產后期，對稱性不同、導流能力相同的裂縫無因次井底流壓逐漸重合，表明非對稱性對產能評價的影響主要發(fā)生在生產前期。

圖4 不同導流能力下井底流壓變化情況Fig.4 The variations of downhole flow pressure at different conductivity

5 現場實例

沁水盆地A區(qū)塊Well1—Well4井位于西山煤田中北部古交礦區(qū)，屬于晉中斷陷，區(qū)塊構造相對簡單，斷層發(fā)育較少，地層穩(wěn)定，但受后期構造運動影響，該區(qū)域一個向斜構造核部擠壓形成一個“鼻狀”構造，導致附近地層應力分布不規(guī)則，微地震監(jiān)測顯示水力裂縫兩翼的長度不一致。通過壓裂模擬及試井分析研究發(fā)現，裂縫導流能力較差，改造措施效果不理想，常規(guī)模型產能評價時歷史擬合效果較差。根據裂縫延伸效果，需要采用非對稱裂縫模型進行產能評價。以Well1井為例，考慮裂縫非對稱性對其井底流壓和產氣量進行歷史擬合(圖5)，擬合誤差明顯降低，尤其是當裂縫導流因子較小時，裂縫偏心因子的引入可以更好地改善擬合效果。表1為Well1—Well 4井壓力、產量歷史擬合誤差情況。由表1可知，該區(qū)塊4口井壓力擬合誤差由31.0%降至7.0%，日產氣量擬合誤差由20.0%降至6.5%，4口井平均偏心因子為0.225，在水力壓裂實施的過程中，裂縫非對稱性較為嚴重，平均裂縫導流因子為65，相比于常規(guī)氣藏及其他頁巖氣藏，裂縫導流能力較弱。

圖5 Well1井底流壓、產氣量歷史擬合Fig.5 The history fitting of downhole pressure and gas production of Well 1

表1 井底流壓、產量歷史擬合誤差Table 1 The error of history fitting of downhole pressure and gas production

6 結 論

(1) 建立了考慮裂縫非對稱性的產能評價模型，通過Duhamel褶積，解決了變流壓生產或者變產量生產問題，達到了解析解模型與歷史生產數據擬合的目的。

(2) 對稱裂縫為地層能量利用率最高的裂縫，裂縫的非對稱性對單井產能的影響程度會隨著裂縫導流能力的降低而增加，影響主要發(fā)生在生產前期。

(3) 沁水盆地A區(qū)Well1—Well4井水力裂縫非對稱性較強(裂縫平均偏心因子達到0.225)、導流能力較弱(平均裂縫導流因子為65)，考慮裂縫非對稱性能夠明顯改善擬合效果，壓力擬合誤差由31.0%降至7.0%，日產氣量擬合誤差由20.0%降至6.5%，有效提高了預測精度。