宋九九

[摘? 要] 幾何動點圖形問題是中考熱點問題之一，常以動點為基礎(chǔ)，形成一系列的關(guān)于線段、圖形面積、特殊圖形等問題，問題解析需要理解其中的運動規(guī)律，轉(zhuǎn)化動點條件，構(gòu)建幾何模型，實現(xiàn)問題的簡單直觀化. 文章將一道動點形成的特殊三角形問題為例，進行方法指導(dǎo)、過程探究，并進行教學(xué)總結(jié)探討.

[關(guān)鍵詞] 動點;特殊三角形;建模;方法;微設(shè)計

幾何動點問題是初中數(shù)學(xué)動態(tài)問題類型，由動點形成的特殊圖形問題在中考中十分常見，該問題通常由點動出發(fā)，形成了線動、形動等幾何特征，以探究線段長、幾何面積、特殊圖形存在等問題形式考查學(xué)生的知識轉(zhuǎn)化、邏輯分析、模型構(gòu)造能力，以及動態(tài)幾何觀.

問題實例，方法指導(dǎo)

問題：如圖1所示，在△ABC中，已知∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，點P和Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P的運動軌跡為從點A出發(fā)，沿著A→B方向運動，運動速度為1 cm/秒，點Q的運動軌跡為從點B出發(fā)，沿著B→C→A方向運動，運動速度為2 cm/秒. 它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒.

（1）當(dāng)出發(fā)時間為2秒后，求PQ的長;

（2）分析從出發(fā)幾秒鐘后，△PQB可以第一次形成等腰三角形？

（3）當(dāng)點Q在邊CA上運動時，試求可使△BCQ成為等腰三角形的運動時間.

方法指導(dǎo)：上述屬于由動點引起的特殊圖形問題，圖像中含有雙動點，點P和Q分別具有不同的運動軌跡，讀題、審題是解題的前提，需要根據(jù)題干信息理解圖像，把握以下幾點：一是動點的軌跡，點P：A→B（1cm/秒），點Q：B→C→A（2cm/秒）;二是運動特點，本題目中是同時運動.

對于動點引起的特殊圖形問題，解析的關(guān)鍵是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，一般采用圖2所示步驟，即第一步，參數(shù)表示，推導(dǎo)線段長;第二步，分類討論，構(gòu)建圖像情景;第三步，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程;第四步，解題推結(jié)論，檢驗結(jié)果.

過程探究，問題解答

（1）該問求出發(fā)2秒后PQ的長，題目較為簡單，實則考查學(xué)生對圖像運動軌跡的理解，2秒鐘后，點P和Q分別在AB和BC邊上，則點P，Q和點B構(gòu)成直角三角形，PQ為Rt△PBQ的斜邊，利用勾股定理即可求出，具體如下.

由題意可知，2秒后BQ=4 cm，BP=AB-AP=6 cm，在Rt△PBQ中使用勾股定理，可得PQ=2 .

（2）該問探究△PQB第一次形成等腰三角形時的運動時間，實則考查學(xué)生初步建模能力. 分析圖像可知由于∠B=90°，則為等腰三角形時有BP=BQ，即代入?yún)?shù)線段即可構(gòu)建方程，從而求出時間，具體如下.

設(shè)出發(fā)時間為t秒，則有BQ=2t，BP=8-t，由BP=BQ可得2t=8-t，可解得t= ，即運動 秒后，△PQB可以第一次形成等腰三角形.

（3）該問探究點Q在邊CA上運動時，可使△BCQ為等腰三角形的時間，問題中沒有設(shè)定三角形的腰，則需要分三種情形討論，可考慮構(gòu)建模型，根據(jù)上述總結(jié)的模型方法來求解.

①當(dāng)CQ=BQ時，此時有∠C=∠CBQ，根據(jù)條件可推知∠A=∠ABQ，故有BQ=AQ，所以CQ=AQ=5，BC+CQ=11，則t= =5.5秒，即運動5.5秒后，可形成CQ=BQ的等腰三角形;

②當(dāng)CQ=BC時，則有BC+CQ=12，所以t= =6秒，即運動6秒后，可形成CQ=BC的等腰三角形;

③當(dāng)BC=BQ時，可過點B作AC的垂線，設(shè)垂足為點E，則可推知BE= = ，所以CE= ，故CQ=2CE=7.2，所以BC=CQ=13.2，可得t= =6.6秒.

評析 上述是關(guān)于由動點引起的特殊三角形問題，問題分設(shè)三小問，分別求線段長、等腰三角形，以及探究等腰三角形存在性，整體上有一定的難度，屬于幾何探究題. 所涉三問有一定的引導(dǎo)作用，由淺入深、由易到難引導(dǎo)學(xué)生進行設(shè)參、建模、構(gòu)形，如第1問引導(dǎo)學(xué)生設(shè)參推線段，第2問深入構(gòu)建特殊模型，第3問則上升到利用等腰三角形的特殊性來分類討論，數(shù)形結(jié)合解析轉(zhuǎn)化模型. 整個解題過程也嚴(yán)格按照上述總結(jié)的解題方法，過程簡明，條理清晰.

總結(jié)歸納，教學(xué)微設(shè)

動點幾何問題屬于類型問題，其解法具有一定的教學(xué)價值，實際教學(xué)中建議根據(jù)考題特點總結(jié)歸納解法，以考題為背景開展教學(xué)微設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生進行解題探究，培養(yǎng)學(xué)生的解題思維.

1. 總結(jié)歸納

求解動點幾何問題的基本思路是：在變化中探求不變的性質(zhì)，總結(jié)不變的幾何規(guī)律，該思路同樣適用于由動點引起的特殊三角形問題. 在求解動點構(gòu)成的特殊三角形問題時，可采用如下步驟.

第一步，把握運動變化的形式，理解動點過程，結(jié)合動點的幾何要素提取與動點位置、數(shù)量的關(guān)系，盡可能地求出相關(guān)量，如動點引出的線段長，如上述考題的第1問中求線段長.

第二步，確定具體圖形中動點的位置，根據(jù)題意繪制特殊圖形，實現(xiàn)問題的化動為靜，如考題的第2問運動2秒后，動點位置固定，形成了直角三角形.

第三步，根據(jù)已知條件，將動點的移動距離轉(zhuǎn)化為含有時間t的代數(shù)式，實現(xiàn)所需線段條件的參數(shù)化.

第四步，利用特殊圖形的性質(zhì)或相互關(guān)系，提取相應(yīng)的等量關(guān)系，構(gòu)建代數(shù)方程，求解問題，如上述第3問利用等腰三角形的腰長特性，構(gòu)建等線段方程，求出了時間t的值.

2. 教學(xué)微設(shè)計

實際教學(xué)中不僅要總結(jié)解法，還應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，建議采用教學(xué)微設(shè)計的方式，逐步設(shè)問，讓學(xué)生體驗解題過程，感知方法與過程的融合，同時合理變式拓展學(xué)生思維.

環(huán)節(jié)（一）——條件呈現(xiàn)，信息提取

題設(shè)1：如圖3所示，在△ABC中，已知∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm.

題設(shè)2：點P和Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P的運動軌跡為從點A出發(fā)，沿著A→B方向運動，運動速度為1 cm/秒，點Q的運動軌跡為從點B出發(fā)，沿著B→C→A方向運動，運動速度為2 cm/秒.

教學(xué)引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生逐句讀題，把握圖形特征，理解點動過程，關(guān)注點動特點，教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生直觀呈現(xiàn)動點規(guī)律. 從三大題設(shè)條件出提取以下信息：①△ABC為直角形;②點動要素，P：A→B（1 cm/秒），點Q：B→C→A（2 cm/秒）;③兩動點同時移動.

環(huán)節(jié)（二）——拾級而上，信息轉(zhuǎn)化

設(shè)問1：若動點P和Q它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒，可以推導(dǎo)出哪些線段長？

設(shè)問2：當(dāng)出發(fā)時間為2秒后，求PQ的長.

教學(xué)引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生利用物理上的“速度—時間—路程”公式，聯(lián)系路程推導(dǎo)線段長，從而將動點條件轉(zhuǎn)化為線段條件，即當(dāng)點Q和P分別在BC和AB上運動時，則有AP=t，BQ=2t，進而可推知CQ=6-2t，BP=8-t. 后續(xù)設(shè)問2則引導(dǎo)學(xué)生初步構(gòu)建模型，提取直角三角形，嘗試用幾何知識求解線段問題，初步體驗數(shù)學(xué)建模的過程.

環(huán)節(jié)（三）——能力強化，數(shù)學(xué)建模

設(shè)問1：分析從出發(fā)幾秒鐘后，△PQB可以第一次形成等腰三角形？

設(shè)問2：點Q在邊CA上運動時，試求可使△BCQ成為等腰三角形的運動時間.

設(shè)問引導(dǎo)：①當(dāng)△PQB第一次形成等腰三角形時，可提取哪些等量條件？②當(dāng)Q在邊CA上運動時，若△BCQ成為等腰三角形，有哪幾種情形，分別可提取哪些等量條件？③利用等量條件推導(dǎo)線段關(guān)系，可構(gòu)建怎樣的方程？

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中合理設(shè)問，逐步引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生立足等腰三角形特性提取線段等量關(guān)系，進而構(gòu)建方程，幫助學(xué)生總結(jié)“數(shù)學(xué)建?！再|(zhì)提取→方程轉(zhuǎn)化”的求解動點幾何問題的策略.

環(huán)節(jié)（四）——拓展變式，思維提升

在教學(xué)最后有必要開展考題變式，利用變式問題來拓展學(xué)生思維，上述問題可進行如下深化變式.

變式問題：在圖4的△ABC中，已知∠C=90°，AB=10 cm，BC=6 cm. 動點P從點C出發(fā)，按照C→A→B→C的路徑運動，速度為1 cm/秒，出發(fā)時間設(shè)為t.

（1）運動2秒后，求△ABP的周長.

（2）求t為何值時，△BCP為等腰三角形.

（3）若另有一點Q，從點C出發(fā)，運動路徑為C→B→A→C，速度為2 cm/秒，若兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也停止. 試求t為何值時，直線PQ將△ABC的周長分割為相等的兩部分.

教學(xué)引導(dǎo)：上述為變式問題，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生按照總結(jié)的方法理解題意，推導(dǎo)線段長，構(gòu)建模型，化動為靜. 其中的周長問題實則就是求線段長，對于其中的多點軌跡，可以特殊點為分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，逐步化繁為簡.

寫在最后

幾何動點圖形問題的解析過程較為復(fù)雜，所用的數(shù)學(xué)思想也較多，但按照一定的解題原則，合理利用方法策略，則可以把握問題的運動規(guī)律，化動為靜，構(gòu)建直觀的數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)問題的簡化解決. 而在日常教學(xué)中，應(yīng)采用知識探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生體驗解題過程，注重方法總結(jié)、考題變式，讓學(xué)生透視問題本質(zhì)，把握問題特征，形成解題策略.