吳越 王紅運(yùn) 劉旭遙

摘? 要：隨著Matlab LMI工具箱的問世，控制領(lǐng)域中的問題研究得到了改善。但是，完美的應(yīng)用LMI方法解決離散時(shí)滯不確定性系統(tǒng)的魯棒控制理論問題，仍然需要不斷的思考與發(fā)現(xiàn)。針對(duì)離散時(shí)滯不確定性控制系統(tǒng)，為研究它時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性判據(jù)，通過構(gòu)造新的Lyapunov泛函的方法以及新的線性矩陣不等式放大的技術(shù)，再通過具體定理和定理的證明過程，得出了新的時(shí)滯依賴情況下的穩(wěn)定性判據(jù)。同時(shí)，也更清晰地說明了時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性判據(jù)。在實(shí)際工業(yè)系統(tǒng)中，時(shí)滯往往會(huì)影響系統(tǒng)的正常工作，使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的狀態(tài)，因此研究時(shí)滯問題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞：奇異攝動(dòng)系統(tǒng)? 時(shí)滯系統(tǒng)? 離散系統(tǒng)? 穩(wěn)定性? 線性矩陣不等式

中圖分類號(hào)：TP271? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1672-3791（2021）02（c）-0239-03

Stability Analysis of Discrete Time-Delay Uncertain Control Systems

WU Yue? WANG Hongyun? LIU Xuyao

（JiLin Normal University， Changchun Jilin Province， 130000 China）

Abstract：With the advent of the Matlab LMI toolbox， problem research in the field of control has improved， but the perfect application of the LMI method to solve the problem of robust control theory for discrete time-delay singularly perturbed systems still requires continuous thinking and discovery. For discrete time-delay uncertainty control system， this paper studies the delay-dependent stability criteria for discrete-time control systems with time-varying delays， by constructing a new Lyapunov functional method and a new linear matrix inequality amplification technique， through the specific theorem and the proof process of the theorem， a new stability criterion under the time-delay dependent situation is obtained. It more clearly illustrates the stability criterion of delay dependence more clearly. In actual industrial systems， time-delay often affects the normal operation of the system and makes the system in an unstable state. Therefore， the study of time-delay has important practical significance.

Key Words： Singular perturbation system;Time-delay system;Discrete system;Stability;Linear matrix inequality

自1958年，錢學(xué)森引進(jìn)現(xiàn)代控制理論以來，控制理論得到了飛速的發(fā)展，在20世紀(jì)60年代的航天領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)代控制理論的結(jié)果是基于對(duì)象的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，按照系統(tǒng)的性能要求，根據(jù)分析的被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型所設(shè)計(jì)的控制律，將其應(yīng)用于被控對(duì)象使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到所期望的性能。在系統(tǒng)分析中，任何一個(gè)物理系統(tǒng)都不可能用一個(gè)數(shù)學(xué)模型精確表示。由于建模時(shí)，對(duì)系統(tǒng)特性和環(huán)節(jié)了解不足，比如難以建模的部分、系統(tǒng)環(huán)境的變化、元器件的老化、物理參數(shù)的老化等變化因素所產(chǎn)生的系統(tǒng)行為的變化，都可能導(dǎo)致模型的不確定性的產(chǎn)生。關(guān)于離散系統(tǒng)在綜合與分析問題上的研究，從目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者所研究的結(jié)果來看，已經(jīng)比較完善。但含有不確定性的離散系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究并不多見，更需要進(jìn)一步的補(bǔ)充和改進(jìn)。現(xiàn)有文獻(xiàn)中所解決的線性離散時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，采用的是Lyapunov泛函方法，但使用這種方法的同時(shí)往往需要引入較多的矩陣變量，使得計(jì)算量大推理過程繁瑣。不同于已經(jīng)完成的研究，現(xiàn)在用新的Lyapunov函數(shù)方法，新的線性矩陣不等式放大技術(shù)，得到了對(duì)于時(shí)滯奇異不確定性控制系統(tǒng)在時(shí)滯依賴下的一個(gè)新的穩(wěn)定性判據(jù)。

1? 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

考慮以下離散時(shí)滯不確定性控制系統(tǒng)

（1）

初始條件：，其中，，是狀態(tài)向量，d（t）是系統(tǒng)的滯后時(shí)間，A，B是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，A漸近穩(wěn)定，d（k）為時(shí)變時(shí)滯可微函數(shù)，且

d1≤d（k）≤d2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

其中，d1，d2為已知正整數(shù)，是系統(tǒng)初始條件。如果，為反應(yīng)不確定結(jié)構(gòu)的常數(shù)矩陣，是范數(shù)有界不確定模型的參數(shù)矩陣，滿足

≤I? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

其中，表示系統(tǒng)參數(shù)不確定性矩陣，它們具有形式

（4）

離散時(shí)滯系統(tǒng)是指一切在時(shí)間或者空間上不連續(xù)的具有時(shí)特性的系統(tǒng)，時(shí)滯是時(shí)間的滯后的簡(jiǎn)稱，指令發(fā)出后，一定時(shí)間后系統(tǒng)才做出回應(yīng)。時(shí)滯是指當(dāng)前狀態(tài)的變化率不僅依賴于當(dāng)前的狀態(tài)，也依賴于過去某時(shí)刻或某時(shí)間段的狀態(tài)的特性。存在時(shí)滯，一方面使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差從而造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，另一方面也可以在某些系統(tǒng)中通過時(shí)滯來改善控制效果。離散控制系統(tǒng)在20世紀(jì)50年代就引起了注意，系統(tǒng)用數(shù)字計(jì)算機(jī)在模擬、分析、設(shè)計(jì)、計(jì)算時(shí)在時(shí)間上是離散的，把時(shí)間變量考慮成離散變量，研究的系統(tǒng)考慮成離散系統(tǒng)，目前離散系統(tǒng)的分析與控制成為控制理論里的一個(gè)重要部分。

引理1 對(duì)任意適當(dāng)維數(shù)的向量a，b和矩陣X，N，P，R，其中N和R是對(duì)稱的，若

≥0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

則

（6）

證明

（7）

證得引理成立。

引理2 如果存在對(duì)稱陣，且，則有如下LMIs條件：

（1） Z1>0;

（2）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;

（3）;

則，，其中

（8）

線性矩陣不等式自1992年以來被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)與控制問題中的解決過程，隨著用于解決優(yōu)化問題的線性矩陣不等式的內(nèi)點(diǎn)法的提出，及MATLAB軟件中LMI工具箱的提出，應(yīng)用線性矩陣不等式方法越來越受到重視。

2? 時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性判據(jù)

定理：若存在對(duì)稱正定陣Q>0，W>0，適當(dāng)維數(shù)的矩陣P，對(duì)稱陣N和R，滿足≥0，對(duì)于矩陣有，對(duì)于滿足條件（2），（3）和（4）所具有的時(shí)變時(shí)滯可微函數(shù)d（k），不確定性F，給定正數(shù)，下列LMIs條件是可行的。

Z1>0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

（10）

（11）

（12）

（13）

其中，，，則系統(tǒng)（1）對(duì)是漸近穩(wěn)定的。

證明 定義一個(gè)二次L-K泛函，其中

（14）

（15）

其中，Q，W為對(duì)稱正定矩陣，即，，由線性矩陣不等式條件，，有：

（16）

（17）

這樣V（k）就為正定的L-K泛函。

把V（k）沿系統(tǒng)（1）向前差分，有：

（18）

可知，存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣P，對(duì)稱陣N和R，得：

由以上不等式可得：

其中：，

因此，由LMIs條件得：

（19）

于是，，故，所以系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定的。

3? 結(jié)語(yǔ)

在給定的時(shí)滯離散系統(tǒng)下，利用給出的LMIs條件，先定義一個(gè)二次L-K泛函，再進(jìn)行構(gòu)造，利用線性矩陣不等式，把定義的泛函沿著系統(tǒng)進(jìn)行差分，通過詳細(xì)的證明過程，證明出該系統(tǒng)的時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性判據(jù)，從而確定該不確定性系統(tǒng)是穩(wěn)定的，證得結(jié)論成立。

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