劉園園，王勤龍，黃文韜

(1.廣東科技學(xué)院 基礎(chǔ)部，廣東 東莞 523668；2.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004；3.廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

1 引言及主要結(jié)果

近年來(lái)，種群動(dòng)力學(xué)一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn)。非線性演化方程解的研究對(duì)于解釋生物動(dòng)力學(xué)特別是對(duì)于解釋生物入侵過(guò)程中的種群動(dòng)態(tài)行為非常重要。例如，生物入侵往往會(huì)導(dǎo)致原生群落發(fā)生劇烈變化，導(dǎo)致生物多樣性喪失[1-5]。文[6]引入一類(lèi)密度依賴和具Allee效應(yīng)種群動(dòng)態(tài)的單種群入侵模型如下：

通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q得到它的一些精確解，這對(duì)于描述移動(dòng)種群的傳播是一個(gè)非常有價(jià)值的結(jié)果。文[7]中，作者用定性理論的方法得到了方程(E)的一個(gè)孤立周期行波解，它對(duì)應(yīng)著生物入侵過(guò)程中一類(lèi)特殊的傳播模式。根據(jù)文獻(xiàn)[8],我們可以選擇三次多項(xiàng)式來(lái)描述此入侵種群的內(nèi)部反應(yīng)與增長(zhǎng)情況，在上述方程(E)的基礎(chǔ)上得到密度依賴遷移和Allee效應(yīng)的單種群修訂模型如下，

(1)

ut+(a0+a1u)ux=uxx-β1b2u+(β1b2-β1b1+b2)u2+(b1-b2+β1b1)u3-b1u4

(2)

本文通過(guò)行波變換將方程(2)轉(zhuǎn)化為行波方程，通過(guò)計(jì)算其一個(gè)正平衡點(diǎn)的前幾個(gè)焦點(diǎn)量來(lái)研究其Hopf分支與相應(yīng)的行波解問(wèn)題。近年來(lái)，對(duì)種群反應(yīng)擴(kuò)散模型周期行波解的研究非常廣泛，例如，文[9]中，作者研究了一類(lèi)捕食者-被捕食者模型，得到了在正平衡點(diǎn)處某一領(lǐng)域內(nèi)可Hopf分支出一個(gè)小振幅周期解的結(jié)論；文[10]中，作者應(yīng)用Hopf分支理論研究了一類(lèi)生物入侵模型，得到該模型由Hopf分支出一個(gè)周期解的結(jié)論；文[11-12]的作者應(yīng)用數(shù)值方法研究一類(lèi)反應(yīng)擴(kuò)散模型的Hopf分支得到一個(gè)周期解的結(jié)論；文[7]中的作者應(yīng)用微分方程定性理論方法研究一類(lèi)反應(yīng)擴(kuò)散模型在正平衡點(diǎn)處可由Hopf分支出一個(gè)周期行波解的結(jié)果。本文應(yīng)用定性理論的奇點(diǎn)量方法研究模型(2)的多重Hopf分支問(wèn)題，我們?cè)诩?xì)焦點(diǎn)鄰域得到兩個(gè)孤立閉軌道或極限環(huán)，對(duì)應(yīng)于方程(2)的兩個(gè)特殊周期行波解。

2 行波系統(tǒng)的Hopf分支

假定方程(2)有如下形式行波解(具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[13])：

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ct

(3)

(4)

稱系統(tǒng)(4)為(2)的行波系統(tǒng)。下面我們應(yīng)用的奇點(diǎn)量方法(具體參見(jiàn)文獻(xiàn)[14-16])研究系統(tǒng)(4)的Hopf分支。

接下來(lái)我們簡(jiǎn)要介紹奇點(diǎn)量方法并計(jì)算系統(tǒng)(1)的奇點(diǎn)量，首先考慮實(shí)系統(tǒng)

(5)

其中Xk(x,y),Yk(x,y)是關(guān)于x,y的k次齊次多項(xiàng)式。通過(guò)以下變換

(6)

可將系統(tǒng)(2)化為復(fù)系統(tǒng)

(7)

其中z、w、T為復(fù)變量,并且

稱系統(tǒng)(2)與(4)互為伴隨系統(tǒng)。

引理1[17,18]對(duì)系統(tǒng)(4)可逐項(xiàng)確定形式級(jí)數(shù)

(8)

(9)

其中C∞=1,μm是系統(tǒng)(4)在原點(diǎn)的第m個(gè)奇點(diǎn)量。對(duì)任意的α、β,當(dāng)α=β時(shí),Cαβ由遞推公式

(10)

當(dāng)α<0、β<0或α=β>0,置Cαβ=0。對(duì)任意的正整數(shù)m,有

(11)

定義1設(shè)系統(tǒng)(4)在原點(diǎn)處的第m個(gè)奇點(diǎn)量為μm,若μ1=μ2=…=μm-1=0,且μm≠0稱原點(diǎn)為m階細(xì)奇點(diǎn)。

由文獻(xiàn)[14]可知,系統(tǒng)(4)的首個(gè)非零的焦點(diǎn)量v2m+1(2π)與其伴隨復(fù)系統(tǒng)的首個(gè)非奇點(diǎn)量μm滿足v2m+1(2π)=iπμm,因此，焦點(diǎn)量和奇點(diǎn)量是等價(jià)的，可將系統(tǒng)的焦點(diǎn)量的計(jì)算轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)奇點(diǎn)量的計(jì)算。

引理2[19]對(duì)于系統(tǒng)(4)，其伴隨復(fù)系統(tǒng)原點(diǎn)的奇點(diǎn)量μi(i=1,2,…,k)有m個(gè)獨(dú)立參數(shù)θ=(θ1,θ2,…,θm)，若θ=θ0時(shí)，該復(fù)系統(tǒng)原點(diǎn)為m階細(xì)奇點(diǎn)(相應(yīng)地系統(tǒng)(4)平衡點(diǎn)(1,0)為m階細(xì)焦點(diǎn))且雅克比行列式滿足

則系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)(1,0)的充分小鄰域內(nèi)可擾動(dòng)出m個(gè)小振幅極限環(huán)。

令β1=1+ρ2(ρ≠0)，通過(guò)

(12)

我們可以得到系統(tǒng)(4)的伴隨復(fù)系統(tǒng)如下：

(13)

并且系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)(1,0)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(13)的原點(diǎn)。通過(guò)數(shù)學(xué)軟件Mathematica進(jìn)行計(jì)算可得：

定理2.1系統(tǒng)(13)在原點(diǎn)處的前2個(gè)奇點(diǎn)量μm的表達(dá)式為：

情形1：若a1=0,則μ2=0。

在計(jì)算μ2的過(guò)程中，已置μ1=0。

由定理2.1顯然有：

定理2.2系統(tǒng)(13)原點(diǎn)前2個(gè)奇點(diǎn)量為零當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件之一成立

(i)a1=0；

(ii)a1≠0,b2=1,ρ=±1；

定理2.3系統(tǒng)(13)原點(diǎn)的所有奇點(diǎn)量為零當(dāng)且僅當(dāng)定理2.2中兩組條件之一成立,即這兩個(gè)條件為系統(tǒng)(13)原點(diǎn)的中心條件。

證明當(dāng)a1=0時(shí),系統(tǒng)(4)可化簡(jiǎn)為

(14)

當(dāng)a1≠0,b2=1,ρ=±1時(shí),系統(tǒng)(4)可化簡(jiǎn)為

(15)

同理可知系統(tǒng)(15)關(guān)于y軸對(duì)稱,即證系統(tǒng)(13)原點(diǎn)是中心。

定理2.4系統(tǒng)(13)原點(diǎn)成為2階細(xì)奇點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立

(16)

相應(yīng)地，系統(tǒng)(4)平衡點(diǎn)(1,0)成為二階細(xì)焦點(diǎn)的充要條件是式(16)成立。

通過(guò)行列式方法計(jì)算有

因此我們可以得到

定理2.5當(dāng)系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)(1,0)為2階細(xì)焦點(diǎn)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)(4)的系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)擾動(dòng)，該系統(tǒng)在平衡點(diǎn)(1,0)處最多可分支出兩個(gè)極限環(huán)。

3 數(shù)值模擬分析

下面我們應(yīng)用Mathmatica軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，為驗(yàn)證本文所得理論結(jié)果，根據(jù)定理2.4和定理2.5，我們?nèi)》匠痰某跏紬l件為：a0=5.2,a1=-5,β1=1.508，c=0.2001,b2=0.97,b1=0.03。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，可得系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)(1,0)處分支出兩個(gè)極限環(huán)，見(jiàn)圖1。

圖1 系統(tǒng)(4)的相平面圖Fig.1 The phase plan of system(4)

綜上分析可知，數(shù)值模擬的結(jié)果與理論分析結(jié)果吻合較好。事實(shí)上，當(dāng)系統(tǒng)(4)的系數(shù)滿足a0+a1-c>0并且ν3(2π)=0,ν5(2π)≠0，根據(jù)Hopf分支定理和定理3.3，我們可以得到系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)(1,0)附近有兩個(gè)小振幅極限環(huán)。

4 結(jié)論