陳希有, 齊 琛, 李冠林, 牟憲民

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116023)

0 引言

疊加定理是電路課程的重要教學(xué)內(nèi)容之一。在講到這個定理時，幾乎無一例外地要特別強(qiáng)調(diào)，功率與電壓或電流不是線性關(guān)系，不能按疊加定理計算電路消耗的總功率。由此這一論斷便在學(xué)生思想中早早地固定下來，先入為主，只要遇到計算功率的問題，都不敢使用疊加定理。然而，事實并非如此，不能一概而論。對某些特殊電路，完全可以按照疊加定理的步驟計算多個電源共同作用時產(chǎn)生的總功率。一些作者對此已經(jīng)有所研究。文獻(xiàn)[1]、[2]，基于純電阻電路，使用特勒根定理證明了一個普遍規(guī)律：電壓源組和電流源組共同作用產(chǎn)生的總功率，等于這兩組電源按組單獨作用時，分別產(chǎn)生的總功率的疊加。文獻(xiàn)[3]證明了，當(dāng)兩個獨立電源在某阻抗上產(chǎn)生的電流相位相差90度時，它們共同作用在阻抗上產(chǎn)生的總有功功率和總無功功率都滿足疊加定理。文獻(xiàn)[1]、[4]較詳細(xì)地討論了多頻電路平均功率滿足疊加定理的問題。

本文進(jìn)一步列舉一些特殊電路，證明了在這些特殊電路中，是可以按照疊加定理的步驟來計算總功率的。在教學(xué)中，一般都較早地講授疊加定理，當(dāng)時還不具備必要的基礎(chǔ)來聯(lián)系這些特殊電路。但在后續(xù)的教學(xué)內(nèi)容中，應(yīng)該恰如時機(jī)地修正功率不滿足疊加定理的絕對論斷。

將本文列舉的某些特殊電路用于教學(xué)，或留作啟發(fā)性思考，可以培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑的科學(xué)精神，以及具體問題具體分析的認(rèn)識論觀點；站在更高度的系統(tǒng)觀點認(rèn)識電路問題，而不僅僅是站在以某個電壓或電流為激勵或響應(yīng)的較狹隘觀點。

1 電源非對稱三相電路功率的疊加性

根據(jù)對稱分量法，非對稱的三相電源可以分解成正序、負(fù)序和零序三組對稱分量(本文不介紹分解方法，可以參見早期電路教材，例如文獻(xiàn)[5]，或“電力系統(tǒng)分析”課程教材)。計算時可以讓三個序分量單獨作用，每個序分量單獨作用時，都是對稱三相電路。

為簡便，假設(shè)系統(tǒng)無中線，這樣可以忽略零序電流。對有零序電流的情況，下面的結(jié)論也是正確的。將負(fù)載上非對稱的瞬時相電壓和相電流分別用向量u和i來表示，并表達(dá)成正序分量與負(fù)序分量之和的形式，即

經(jīng)計算，二者內(nèi)積即三相負(fù)載總瞬時功率為

上式第二行中的兩項功率都是時間的余弦函數(shù)，并且角頻率是電源角頻率的2倍，因此在一個電源周期內(nèi)的積分必然都是零。剩下第一行中的兩項，分別是正序電源和負(fù)序電源單獨作用產(chǎn)生的瞬時功率，這些功率是常量，因此也是平均功率。由此得出結(jié)論：

正序電源和負(fù)序電源共同作用產(chǎn)生的三相平均功率，等于它們單獨作用時產(chǎn)生的三相平均功率的疊加。

出現(xiàn)這種疊加形式是由于不同相序的電壓和電流不形成平均功率的緣故。如果討論的是瞬時功率，情況就不同了，因為任何相序關(guān)系的電壓和電流都可以形成瞬時功率，因而不能用疊加的方法來計算三相瞬時功率。

在這個特例中，將正序和負(fù)序電源分別看作是系統(tǒng)的輸入，而將三相平均功率看作是系統(tǒng)的一種輸出。

2 多頻穩(wěn)態(tài)電路功率的疊加性

多頻穩(wěn)態(tài)電路是指電路中含有多個不同頻率正弦電源的電路。這些不同的頻率又區(qū)分成頻率成整數(shù)倍關(guān)系(例如傅里葉展開后對應(yīng)的諧波電源)，以及頻率雖不成整數(shù)倍關(guān)系，但倍數(shù)為有理分?jǐn)?shù)兩種情況。對前者，總平均功率等于各不同頻率電源單獨作用產(chǎn)生的平均功率的疊加，這幾乎是電路類教材中都提到的結(jié)論；對后者，文獻(xiàn)[1]和[2]已有詳細(xì)分析，其結(jié)論與前者是一樣的。需補(bǔ)充說明的是，總平均功率是指在這些電源公共周期內(nèi)的平均功率。本文對此不再重述，只是作為功率滿足疊加性的一個方面稍作提及。

3 多頻穩(wěn)態(tài)電路中平均儲能和平均作用力的疊加性

眾所周知，在多頻穩(wěn)態(tài)電路中，電壓或電流有效值的平方，等于各不同頻率電源單獨作用時，產(chǎn)生的電壓或電流有效值的平方和。也就是說，電壓或電流有效值的平方滿足疊加性。這樣，凡是與電壓或電流有效值平方成正比的量也就都滿足疊加性。例如，在多頻穩(wěn)態(tài)電路中，電容儲能是周期變化的，其平均值可按下式計算：

它正比與電容電壓有效值的平方。因此得出結(jié)論：

在多頻穩(wěn)態(tài)電路中，電容儲能的平均值，等于各不同頻率電源單獨作用時，在電容上產(chǎn)生的儲能平均值的疊加。

對電感也有類似結(jié)論，這是因為

在這兩個特例中，將儲能元件的平均儲能看作是系統(tǒng)的一種輸出。

再例如，當(dāng)平板電容極板之間存在電壓uC時，如圖1所示，兩個極板之間便存在吸引力，給出這個力大小的計算公式如下[6]：

圖1 平板電容受力分析

該導(dǎo)數(shù)可以根據(jù)平板電容的計算公式來獲得。

如果在極板之間施加的是周期電壓，則極板之間的吸引力也是周期的。在電壓的一個周期內(nèi)，吸引力(極板固定)的平均值是

它正比與電容電壓有效值的平方。因此得出結(jié)論：

在多頻穩(wěn)態(tài)電路中，電容極板之間的平均吸引力，等于各不同頻率電源單獨作用時，在極板上產(chǎn)生的平均吸引力的疊加。

同理，如果兩個互感線圈串聯(lián)，從而流過相同電流，如圖2所示，那么兩個線圈之間的電磁作用力(吸引或排斥，取決于磁場方向)的瞬時值為

圖2 互感線圈受力情況

式中M代表互感，它與線圈之間的距離x有關(guān)。可以通過互感系數(shù)的計算公式來求得該導(dǎo)數(shù)。

如果使線圈通過的是多頻穩(wěn)態(tài)電流，線圈之間的作用力必然是周期變化的。在一個周期內(nèi)，作用力(線圈固定)的平均值是

它正比與線圈電流有效值的平方，因此也滿足疊加性。

在上述兩個特例中，將作用力看作系統(tǒng)的一種輸出。

4 二端口網(wǎng)絡(luò)功率的疊加性

如果電阻性互易二端口網(wǎng)絡(luò)兩個端口分別接入電流源和電壓源，互易網(wǎng)絡(luò)可以用T形電路來等效，得到圖3所示等效電路。

圖3 討論二端口網(wǎng)絡(luò)功率的疊加性

利用疊加定理可以寫出端口電壓和電流之間的關(guān)系：

因此，二端口網(wǎng)絡(luò)從兩個端口消耗的功率分別為

將上述兩個功率相加就是二端口網(wǎng)絡(luò)消耗的總功率。然而，相加后，對應(yīng)USIS的兩項因符號相反而剛好抵消，所以總功率表達(dá)式簡化成下式：

這兩項顯然就是電流源與電壓源單獨作用時，二端口網(wǎng)絡(luò)消耗的功率。由此得出結(jié)論：

對電阻性互易二端口網(wǎng)絡(luò)，兩個端口分別連接電流源和電壓源，由這兩個電源共同作用導(dǎo)致二端口網(wǎng)絡(luò)消耗的功率，等于它們分別單獨作用時，二端口網(wǎng)絡(luò)消耗功率的疊加。

關(guān)于二端口及多端口網(wǎng)絡(luò)功率疊加性的更多問題，筆者將另文討論。

5 無損均勻線傳輸功率的疊加性

分暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情況。先設(shè)無損均勻線兩端各接入一個階躍電壓源，分別產(chǎn)生正向行波和反向行波，如圖4所示。在產(chǎn)生反射之前，于它們相遇處線上的電壓和電流分別為兩個方向行波的疊加，即

圖4 無損線兩端接階躍電源

因此，沿x方向傳輸?shù)墓β蕿?/p>

由于無損線行波之間滿足u+=Zci+，u-=Zci-，所以上式括號中的交叉乘積項之差為零，即

這說明，兩對不同方向的電壓與電流產(chǎn)生的瞬時傳輸功率相互抵消。這樣便得出結(jié)論：

兩個電源共同作用在正向行波和反向行波相遇處產(chǎn)生的瞬時傳輸功率，等于兩個電源單獨作用時，在該處產(chǎn)生的瞬時傳輸功率的疊加。

再討論正弦穩(wěn)態(tài)情況，以下可以證明，當(dāng)線路兩端所接電阻(或電源內(nèi)阻)相等時，兩個電源在無損線上產(chǎn)生的傳輸功率也有條件地滿足疊加性。這又分下面三種具體情況，電路連接如圖5所示。

圖5 討論無損線傳輸功率滿足疊加性的電路

因此，沿線向x方向傳輸?shù)钠骄β蕿?/p>

這說明，兩對不同方向的行波電壓與電流形成的平均功率相互抵消。結(jié)果得到

(1)

由此得出結(jié)論：兩端均匹配時，兩個電源在兩端共同作用，沿?zé)o損線傳輸?shù)钠骄β剩扔趦蓚€電源單獨作用時，沿?zé)o損線傳輸?shù)钠骄β实寞B加。

因為是無損線，線上傳輸?shù)钠骄β侍幪幭嗤?，因此可以取線路中間位置來分析，并用戴維南定理等效左右兩部分，得到圖6所示的集中參數(shù)等效電路。圖中等效阻抗按均勻傳輸線公式來計算：

圖6 計算線路中間位置電壓電流的等效電路

線路中間位置電壓與電流分別為：

因此，沿線向x方向傳輸?shù)膹?fù)功率為

(2)

由此得

(3)

P"同理，略。

(3)當(dāng)R1=R2=R≠Zc，且兩個電源大小和相位差任意時，對特定長度的無損線，線上傳輸?shù)墓β室矟M足疊加性。特定的長度是l=mπ/β，其中m為正整數(shù)。論證如下：m為奇數(shù)時，等效阻抗為

m為偶數(shù)時，等效阻抗為

它們共同的重要特征是等效阻抗為實數(shù)。仍取線路中間位置進(jìn)行分析。不難驗證式(2)中交叉乘積項之差的實部為零，即

所以式(3)仍然成立，即無損線上傳輸?shù)墓β蕽M足疊加性。

6 計算舉例

僅就均勻傳輸線穩(wěn)態(tài)情況舉例如下。已知條件是Zc=377 Ω，β=10-5/km，R1=R2=R。其他條件分4種情況，對應(yīng)計算結(jié)果如表1所示。全部是用傳輸線方程計算所得，而不是使用集中參數(shù)等效電路。表中電壓、電阻、功率單位分別為V、Ω和W。表中第1行數(shù)據(jù)對應(yīng)R=Zc，兩個電源可以是任意相位關(guān)系；第2行對應(yīng)R≠Zc，但兩個電源需要滿足同相位關(guān)系；第3行對應(yīng)R≠Zc、兩個電源可以是任意相位關(guān)系，但長度須是mπ/β；第4行對應(yīng)線長為3.3π/β，其他同第3行。除第4種情況外，其他情況的功率都在所限定條件下滿足疊加性。

表1 無損線傳輸功率的疊加性舉例

7 結(jié)語

(1)存在正序、負(fù)序與零序電源電路、多頻電源電路、無損線暫態(tài)和正弦穩(wěn)態(tài)電路，這些有特殊條件的電路，由全部電源共同作用產(chǎn)生的平均功率、平均儲能、平均作用力等，滿足疊加性。

(2)滿足特殊條件的二端口網(wǎng)絡(luò)，它吸收的總平均功率滿足疊加性。

(3)在平均功率滿足疊加性的特例中，并不意味著平均功率與激勵電壓或電流之間是線性關(guān)系。在所舉出的例子中，功率、能量、作用力等，與激勵電壓或電流之間都不滿足齊次關(guān)系，因而都是非線性關(guān)系。

(4)本文討論的功率疊加性進(jìn)一步表明，某些非線性問題仍然可以使用疊加定理來分析，疊加定理與線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)意義上的可加性是有別的。