王世輝，陸 明，王歡歡，黃家驥，喬文生

(中國(guó)航天科工集團(tuán)第六研究院601所，呼和浩特 010076)

0 引言

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)由于體積小、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、維護(hù)使用方便等優(yōu)點(diǎn)，已成為當(dāng)今戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的首選動(dòng)力裝置。隨著我國(guó)固體導(dǎo)彈武器系統(tǒng)技術(shù)的不斷發(fā)展，新一代導(dǎo)彈武器系統(tǒng)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)采用了燃值更高、更加敏感的推進(jìn)劑。但在新型固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)研制過(guò)程中從燃燒根源上出現(xiàn)了許多問(wèn)題，這些問(wèn)題產(chǎn)生的重要原因就是不清楚固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)試驗(yàn)內(nèi)部燃面動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，難以準(zhǔn)確獲得固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)相關(guān)的關(guān)鍵參數(shù)和變化規(guī)律，嚴(yán)重阻礙我國(guó)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)研制進(jìn)程。到目前為止，我國(guó)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部藥柱燃面變化仍然測(cè)不到或測(cè)不準(zhǔn)，嚴(yán)重影響我國(guó)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)研制水平、性能改進(jìn)及質(zhì)量歸零。急需進(jìn)行固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃面退移測(cè)試技術(shù)研究，而固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃面退移圖像重建方法研究是其中必須攻克的難題之一。

在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的燃面退移測(cè)試過(guò)程中，要想實(shí)現(xiàn)燃面推進(jìn)的精確測(cè)試與分析，必須解決對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火過(guò)程燃面邊緣變化的全面檢測(cè)，同時(shí)需要對(duì)燃面圖像重建的最優(yōu)求解方法的進(jìn)一步研究，使得根據(jù)有限的外部測(cè)量數(shù)據(jù)能夠獲得盡可能準(zhǔn)確、全面的燃面截面圖像。本文中主要采用了CT成像原理，在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)周向布置30個(gè)微波收發(fā)裝置，采用一發(fā)多收機(jī)制獲取發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火過(guò)程燃面投影數(shù)據(jù)，再通過(guò)CT反演技術(shù)計(jì)算獲取固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃面信息。對(duì)于CT反演計(jì)算目前最常用的主要有變換法和迭代法兩類。兩類算法各有優(yōu)缺點(diǎn)及適用環(huán)境。變換法進(jìn)行燃面重建要求投影信息完整，一般要180個(gè)投影角度以上的數(shù)據(jù)。而迭代重建方法在稀疏投影角度上，通過(guò)增加先驗(yàn)信息作為約束條件，可達(dá)到較高的重建質(zhì)量。經(jīng)過(guò)分析，可以得出，以微波數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進(jìn)行固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃面測(cè)試，是典型的依靠不夠密集數(shù)據(jù)進(jìn)行投影最優(yōu)重建問(wèn)題，其實(shí)投影數(shù)據(jù)本身并不具備最優(yōu)重建條件，因此項(xiàng)目最終使用迭代重建法進(jìn)行固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火試驗(yàn)燃面最優(yōu)重建的研究。

通過(guò)研究，直接采用ART算法進(jìn)行燃面重建，重建圖像邊緣清晰度不高，偽影嚴(yán)重，即使燃面的輪廓基本可見(jiàn)，但是重建出來(lái)的圖像的四周邊緣不夠明確，這直接影響精確進(jìn)行燃面測(cè)試。為了解決上述問(wèn)題，研究者進(jìn)行了大量的分析，得到結(jié)論為：投影出的圖像本身不是密集的，選擇其梯度后形成的新圖像可以認(rèn)為不是密集的，這時(shí)就完全可以對(duì)投影圖像進(jìn)行全變分轉(zhuǎn)換來(lái)進(jìn)行重建迭代。圖像的全變分可以有效地保留對(duì)圖像重建比較重要的特征信息，比如：圖像的銳化邊緣和目標(biāo)輪廓[1]。

本文是在上述分析基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)最小化圖像進(jìn)行圖像全變分約束，增加微波CT成像場(chǎng)的磁力線條數(shù)，以增加成像信息量，提高圖像邊緣重建質(zhì)量，從而實(shí)現(xiàn)不同直徑固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃面退移圖像最優(yōu)重建。

1 固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃面退移圖像重建理論研究

迭代重建主要是通過(guò)求解線性方程組：

AX=b

(1)

式中，X為待求燃面，b為微波穿過(guò)燃面的衰減值，A為投影矩陣。對(duì)于該線性方程組的求解必須先確定投影矩陣A?？紤]到微波傳輸路徑并非X射線的直線傳播模式，需要確定微波傳輸路徑，并進(jìn)行網(wǎng)格劃分，再進(jìn)行投影矩陣刻畫, 然后通過(guò)CT反演計(jì)算獲取發(fā)動(dòng)機(jī)燃面退移圖像信息。本文研究的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火試驗(yàn)燃面退移圖像最優(yōu)重建方法研究流程包括：獲取發(fā)動(dòng)機(jī)燃面微波CT成像場(chǎng)的磁力線路徑，獲取發(fā)動(dòng)機(jī)燃面的微波投影數(shù)據(jù)，發(fā)動(dòng)機(jī)燃面退移圖像重建，重建質(zhì)量判別，完成重建。獲取發(fā)動(dòng)機(jī)燃面微波CT成像場(chǎng)的磁力線路徑，獲取發(fā)動(dòng)機(jī)燃面的微波投影數(shù)據(jù)是燃面重建的基礎(chǔ)，它們是為重建提供充足的數(shù)據(jù)，提供數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性、完備性直接決定了燃面重建的精確性；發(fā)動(dòng)機(jī)燃面退移圖像重建步驟是燃面重建的具體算法，是重建的核心內(nèi)容。其主要包括初值選取、迭代計(jì)算、正交投影、TV降噪、共軛方向更新、終止準(zhǔn)則六部分；而重建質(zhì)量判別主要是判斷應(yīng)用此重建算法得出的燃面圖像質(zhì)量是否符合要求，若符合要求，則燃面重建過(guò)程結(jié)束，燃面重建成功；否則，重新進(jìn)行燃面重建，直到結(jié)果符合要求。

具體固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火試驗(yàn)燃面退移圖像重建流程如圖1所示。

圖1 固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火試驗(yàn)燃面退移圖像重建流程圖

1.1 獲取燃面微波CT成像場(chǎng)的磁力線路徑

微波也是電磁波的一類，電磁波在不同介質(zhì)中傳播的理論基礎(chǔ)是麥克斯韋方程。麥克斯韋方程非常全面地描寫了電磁場(chǎng)在不同介質(zhì)中的傳播規(guī)律。在沒(méi)有源的導(dǎo)電的介質(zhì)中，描寫麥克斯韋方程為：

上面方程以電流、電場(chǎng)等參數(shù)的變化以及電磁場(chǎng)隨空間和時(shí)間變化為基礎(chǔ)，一方面建立了電流場(chǎng)密度、場(chǎng)強(qiáng)度矢量和電荷的密度三者之間的關(guān)系，另一方面還總結(jié)概括了電磁變化現(xiàn)象的本質(zhì)。電磁波在介質(zhì)中傳播的同時(shí)會(huì)產(chǎn)生不定量的衰減，電磁波的能量會(huì)造成損失消耗，主要是因?yàn)殡姶挪ǖ臄U(kuò)散、介質(zhì)間的吸收，還有其在不同臨界面上的折射、反射以及散射。電磁波的損耗衰減主要認(rèn)為是在電磁場(chǎng)的下，介質(zhì)產(chǎn)生的磁化、傳導(dǎo)和極化所引起的。

根據(jù)電磁波衰減特性，仿真電池磁波層析成像，再根據(jù)1次發(fā)射29次接收的機(jī)制，初步獲取了微波的CT成像的磁力線路線。然后根據(jù)電磁場(chǎng)的傳播規(guī)律，在初步獲取的微波CT成像場(chǎng)的磁力線路徑的每條磁力線兩側(cè)各增加2條磁力線，以增加信息量，得到燃面微波CT成像場(chǎng)的最終的磁力線路徑[2]。

1.2 獲取燃面的微波投影數(shù)據(jù)

根據(jù)磁力線仿真路徑方程，求解投影矩陣，投影矩陣A中aij定義為i號(hào)射線交j號(hào)像素的交線長(zhǎng)度。根據(jù)投影矩陣將重建區(qū)域離散化，在以被測(cè)物體中心為圓心的圓周上均勻的設(shè)置n個(gè)發(fā)射/接收器。每次發(fā)射其中之一，然后切換其他接收信號(hào)狀態(tài)，最后一起進(jìn)行數(shù)據(jù)檢測(cè)[3-4]。此時(shí)，微波在被測(cè)媒質(zhì)中的傳播滿足普通形式的波動(dòng)方程：

(2)

(3)

(4)

借助格林函數(shù)，可得由所有源產(chǎn)生的照射為：

(5)

如此便得到 “投影”數(shù)據(jù)A。

1.3 燃面退移圖像重建

為了充分利用圖像的梯度稀疏性，通過(guò)公式(5)，可得到最小化圖像[5]，即：

y=Ax

(6)

圖像x的TV范數(shù)[6]的公式如下:

(7)

其中:▽x=xi-xi-1，▽y=yj-yj-1。

以TV范數(shù)最小化為目標(biāo)進(jìn)行圖像重建[7-8]，迭代公式如下：

(8)

其中：pi為投影測(cè)量值，μj為待求的衰減系數(shù)，λ為松弛因子，aij為i條微波交j號(hào)像素的長(zhǎng)度。

在公式(8)的每一步迭代過(guò)程中，為了構(gòu)造了一種以TV范數(shù)最小化為基礎(chǔ)的圖像重建計(jì)算方法，對(duì)每步的結(jié)果進(jìn)行了TV降噪修正處理和凸集的正交投影變化，迭代的具體過(guò)程如下：

根據(jù)公式(8)的迭代公式進(jìn)行重建，算法具體步驟如下：

1)初始值進(jìn)行選?。好頢作為星形的欠缺數(shù)據(jù)采樣矩陣，起始集y0=S?DFT(x)為只能在S中得出原始圖像的傅里葉變換系數(shù)，?為S的對(duì)應(yīng)值相乘。然后，命初值x0=DFT-1(y0)；

2)迭代重建計(jì)算：通過(guò)共軛梯度計(jì)算以下迭代式：

(9)

其中:λn為步長(zhǎng)，dn為共軛梯度的方向。

(10)

(11)

其中：對(duì)任意給定的二維圖像x=(xij) ，其TV降噪矩陣為TV-denoise(x)=(tij)，并且：

(12)

5)共軛更新：共軛梯度法的搜索方向dn是當(dāng)前迭代的負(fù)梯度方向與上一次迭代搜索方向的組合，即：

dn+1=dTV(xn+1)+βdn

(13)

6)終止條件：判斷當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到某一設(shè)定數(shù)值時(shí)或迭代結(jié)果收斂時(shí)停止迭代，否則返回2)迭代計(jì)算繼續(xù)上述過(guò)程。

1.4 重建質(zhì)量判別

對(duì)上述得出的不同直徑燃面的重建數(shù)值與實(shí)際數(shù)值進(jìn)行比較，兩者之間的誤差不大于1 mm時(shí)，完成迭代，證明燃面重建質(zhì)量符合要求，否則繼續(xù)迭代，直到實(shí)現(xiàn)兩者之間的誤差不大于1 mm為止。

(14)

2 試驗(yàn)仿真結(jié)果與分析

以固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱直徑200 mm，環(huán)形天線陣列個(gè)數(shù)為30個(gè)，發(fā)射天線(天線距離藥柱弧面10 mm時(shí))左右相鄰的兩個(gè)接收天線夾角約為168°為例，進(jìn)行固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火試驗(yàn)燃面退移圖像重建。

由于天線尺寸較大，只能圍繞火箭發(fā)動(dòng)機(jī)外殼布置有限數(shù)量的天線，因此獲得的投影數(shù)據(jù)并不完備。根據(jù)1.1獲取燃面微波CT成像場(chǎng)的磁力線路徑的方法，可以得到天線的輻射邊緣觀察到的強(qiáng)電場(chǎng)仿真結(jié)果，如圖2所示。

圖2 天線輻射邊緣的強(qiáng)電場(chǎng)仿真結(jié)果圖

從圖2可以得出，每個(gè)天線都接到了輻射信號(hào)。再通過(guò)上述的接收裝置，得到CT成像的初步的磁力線路線圖如圖3所示。

圖3 初步磁力線路徑仿真圖

通過(guò)進(jìn)一步分析重建結(jié)果，發(fā)現(xiàn)磁力線在發(fā)射端比較密集，越靠近接收端磁力線變得越稀疏。因此，隨著燃面直徑變大，接收端附近的燃面有磁力線穿過(guò)的像素極少，信息不完全，從而導(dǎo)致重建燃面直徑存在較大偏差。而且隨著燃面直徑越大，誤差也會(huì)越大。針對(duì)該問(wèn)題，提出增加磁力線的方法，因?yàn)閷?shí)際微波探測(cè)過(guò)程，并非理想的單點(diǎn)探測(cè)，而是由一個(gè)窄小的面構(gòu)成面探測(cè)，在同一個(gè)面上接收到的信息是一樣的，因此增加磁力線條數(shù)就可以增加信息量，靠近接收端磁力線也會(huì)變得相對(duì)密集。

然后根據(jù)電磁場(chǎng)的傳播規(guī)律，在圖3的每條磁力線兩側(cè)增加了2條磁力線，以增加信息量，得到燃面微波CT成像場(chǎng)的最終的磁力線路徑，如圖4所示。

圖4 最終磁力線路徑仿真圖

對(duì)于圖4的磁力線仿真路徑方程，根據(jù)1.2描述方法，求解投影矩陣如圖5所示。

圖5 微波斷層成像投影矩陣圖

采用如圖5所示的環(huán)形幾何模型，將重建區(qū)域離散化，在以被測(cè)物體中心為圓心的圓周上均勻的設(shè)置29個(gè)發(fā)射/接收器。每次發(fā)射其中的一個(gè)，再轉(zhuǎn)變?yōu)榻邮招盘?hào)狀態(tài)，最后共同進(jìn)行數(shù)據(jù)。在公式(4)得出的投影數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，將燃面微波CT成像場(chǎng)的最終的磁力線路徑中3條磁力線的微波接收值都設(shè)置為相同值，得到燃面30×90的微波投影數(shù)據(jù)，如圖6所示。

圖6 不同燃面直徑的微波投影數(shù)據(jù)

根據(jù)1.3描述方法進(jìn)行重建迭代，經(jīng)過(guò)多次計(jì)算，本次迭代進(jìn)行100次，迭代結(jié)果已經(jīng)收斂。這時(shí)重建結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同燃面直徑的重建結(jié)果圖

這時(shí)得出不同燃面直徑重建結(jié)果與實(shí)際數(shù)值對(duì)比圖8，圖9為不同直徑燃面的重建數(shù)值與實(shí)際數(shù)值之間的誤差曲線，從曲線可得，兩者之間的誤差不大于1 mm，證明應(yīng)用上述發(fā)動(dòng)機(jī)燃面退移圖像重建算法計(jì)算出的燃面重建質(zhì)量符合要求。

圖8 燃面直徑結(jié)果對(duì)比圖

圖9 誤差曲線圖

3 結(jié)束語(yǔ)

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃面退移過(guò)程直接決定了其內(nèi)彈道特性。成功進(jìn)行定量化地測(cè)量燃面退移變化過(guò)程,不但有效地預(yù)測(cè)發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道的精度，還對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)具有重要作用，因此本文研究了固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火試驗(yàn)燃面退移圖像重建優(yōu)化求解方法。依靠有限的測(cè)試數(shù)據(jù)，先是獲取了燃面微波CT成像場(chǎng)的磁力線路徑，然后又投影出燃面的數(shù)據(jù)，通過(guò)前面這些數(shù)據(jù)來(lái)最優(yōu)重建固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火試驗(yàn)的退移圖像，最后通過(guò)實(shí)例進(jìn)行仿真計(jì)算，得出重建數(shù)值與實(shí)際數(shù)值之間的誤差不大于1 mm，符合重建要求，同時(shí)驗(yàn)證了上述重建方法的有效性，為進(jìn)一步掌握固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的燃燒特性奠定基礎(chǔ)。