李連正，秦志昌，郭宗和，李瑞先，荊棟

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)

隨著汽車工業(yè)的飛速發(fā)展，汽車的安全性能得到了極大的提高，越來越多的汽車生產(chǎn)廠家開始關(guān)注噪音以及振動(dòng)等關(guān)于汽車舒適性的性能指標(biāo)[1]。懸架作為汽車中必不可少的部件之一，在提高乘坐舒適性以及行駛穩(wěn)定性方面起著不言而喻的重要作用[2-4]。主動(dòng)懸架相較于傳統(tǒng)廣泛使用的被動(dòng)懸架，在外部能量輸入的作用下能夠讓懸架系統(tǒng)在不同路面激勵(lì)的情況下始終保持良好的減振效果，同時(shí)能兼顧汽車的行駛穩(wěn)定性。

主動(dòng)懸架性能的好壞與其控制策略的優(yōu)劣有著直接的聯(lián)系，因此設(shè)計(jì)和選擇與主動(dòng)懸架相匹配的控制策略顯得尤為重要[5]。運(yùn)用于主動(dòng)懸架系統(tǒng)的控制方法主要有滑模變結(jié)構(gòu)控制[6-8]、最優(yōu)控制[9]、模糊控制[10]、反演控制[11-12]、PID、LQR[13-14]控制等。其中，傳統(tǒng)的PID、LQR控制器設(shè)計(jì)因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而得到廣泛應(yīng)用，然而其控制性能較為有限。

在諸多控制方法中，反演控制是一種比較成熟的控制器設(shè)計(jì)方法。其基本設(shè)計(jì)思想是將復(fù)雜系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，在保證每個(gè)子系統(tǒng)具有一定收斂性的基礎(chǔ)上獲得子系統(tǒng)的虛擬控制率，在下一個(gè)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中將上一個(gè)子系統(tǒng)的虛擬控制率作為這個(gè)子系統(tǒng)的跟蹤目標(biāo)，以遞推的方式獲得最終控制率。控制器設(shè)計(jì)過程中所采用的虛擬控制率無(wú)需通過硬件實(shí)現(xiàn)，可直接由計(jì)算得到。因設(shè)計(jì)過程具有系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的特點(diǎn)，所以基于反演控制方法所設(shè)計(jì)的控制器往往結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)。

由Krstic等[15]的著名論文為起點(diǎn)，反演法目前已經(jīng)成為解決線性及非線性系統(tǒng)控制問題的一種非常有效的方法。文獻(xiàn)[16]基于反演控制理論設(shè)計(jì)了電流反演控制器和速度反演控制器，用于永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)。文獻(xiàn)[17]利用反演控制方法結(jié)合反饋線性化設(shè)計(jì)了一種飛行器自適應(yīng)飛行控制系統(tǒng)。文獻(xiàn)[18]基于自適應(yīng)積分反演控制方法研究在未知海流作用下水下航行器的運(yùn)動(dòng)跟蹤控制問題。這些研究表明，反演控制在解決這類復(fù)雜跟蹤控制時(shí)具有良好效果。在懸架系統(tǒng)研究中，文獻(xiàn)[19]在忽略輪胎阻尼特性的前提下著重考慮了懸架系統(tǒng)中的不確定性因素，以懸架動(dòng)行程為零作為設(shè)計(jì)目標(biāo)進(jìn)行了控制器設(shè)計(jì)，最終實(shí)現(xiàn)了減小車身振動(dòng)的目的。

對(duì)基于參考模型的反演控制方法的研究，國(guó)內(nèi)外學(xué)者們也已經(jīng)取得了許多成果。文獻(xiàn)[20]基于模型參考反演控制設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)控制器，并應(yīng)用于一種變壓器繞組系統(tǒng)。文獻(xiàn)[21]以天棚阻尼系統(tǒng)作為參考模型，以參考模型的輸出為期望值進(jìn)行控制設(shè)計(jì)，減小了車身垂直加速度。文獻(xiàn)[22]通過引入高低通濾波器設(shè)計(jì)了一種理想的參考模型系統(tǒng)，結(jié)合反演控制設(shè)計(jì)了誤差跟蹤反演控制器，提高了懸架系統(tǒng)的性能。眾多研究結(jié)果表明，基于反演法以及基于參考模型的反演法的控制器設(shè)計(jì)在解決汽車懸架振動(dòng)控制問題上具有良好效果。

本文利用反演控制具有良好目標(biāo)跟蹤效果的特性，設(shè)計(jì)一個(gè)混合阻尼(天棚-地棚阻尼)懸架系統(tǒng)(該懸架系統(tǒng)現(xiàn)實(shí)中難以實(shí)現(xiàn)，但有良好的減振控制效果[23-24])作為參考模型，通過反演控制方法對(duì)參考模型系統(tǒng)的輸出信號(hào)進(jìn)行追蹤[25]，設(shè)計(jì)一種基于參考模型的反演控制器并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 1/4車輛主動(dòng)懸架系統(tǒng)模型

根據(jù)Quanser實(shí)驗(yàn)臺(tái)架，建立1/4汽車主動(dòng)懸架模型，如圖1所示。

圖1 二自由度1/4汽車主動(dòng)懸架模型

該系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)量組成，每個(gè)質(zhì)量由一個(gè)彈簧和一個(gè)阻尼器支撐?；奢d質(zhì)量ms表示車身質(zhì)量，非簧載質(zhì)量mus表示四分之一車的輪胎懸架系統(tǒng)由彈簧、阻尼器、控制器組成，ks、cs、Fc分別表示懸架彈簧剛度、懸架阻尼器阻尼、控制器輸出主動(dòng)力，kus、cus分別表示輪胎的等效剛度及阻尼。主動(dòng)力Fc以及路面激勵(lì)zr為系統(tǒng)的兩個(gè)輸入。因重力只影響系統(tǒng)的靜平衡點(diǎn)位置，所以取廣義坐標(biāo)，zs和zus分別表示車身和輪胎相對(duì)于其處于靜平衡位置的位移，取向上為正方向。根據(jù)牛頓第二定律，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

為了方便控制器設(shè)計(jì)，將懸架系統(tǒng)通過狀態(tài)空間表示，寫成如下形式：

(2)

式中，狀態(tài)變量、系統(tǒng)的輸入和輸出變量定義為

(3)

狀態(tài)變量x中的4個(gè)分量分別表示懸架動(dòng)行程、車身垂直速度、輪胎變形量、車輪垂直速度，根據(jù)方程(1)可以計(jì)算出A，B，C，D4個(gè)矩陣，即

2 控制器設(shè)計(jì)

為了提高懸架性能，我們對(duì)主動(dòng)懸架控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，即對(duì)控制器輸出主動(dòng)力Fc進(jìn)行設(shè)計(jì)。

2.1 LQR控制器設(shè)計(jì)

為了同本文所設(shè)計(jì)的一種基于參考模型的反演控制器進(jìn)行比較，設(shè)計(jì)了一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的LQR控制器。

(5)

定義二次型目標(biāo)函數(shù)

(6)

由最優(yōu)控制理論可知，反饋控制輸入為

Fc=-Kx。

(7)

選取

利用MATLAB控制工具箱，可以計(jì)算得到最優(yōu)控制增益矩陣為

(8)

2.2 反演控制器設(shè)計(jì)

(9)

對(duì)V1求導(dǎo)得

(10)

取誤差e2=x2d-x2，其中x2d為x2的期望值，取

(11)

式中k1以及下文中的k2均為正數(shù)，將e2代入式(10)得

(12)

選取第二個(gè)李雅普諾夫函數(shù)

(13)

對(duì)V2求導(dǎo)得

(14)

(15)

(16)

取控制輸入Fc為

(17)

將方程(17)代入方程(16)得

(18)

因此，受控系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，并且隨時(shí)間趨于無(wú)窮大，e1和e2將趨于零。

理想情況下，即當(dāng)懸架動(dòng)行程為無(wú)限大，或者在不考慮懸架動(dòng)行程約束的情況時(shí)，可以選取zsd=0(車身無(wú)垂向運(yùn)動(dòng))，此時(shí)車身垂直加速度為0，但理想情況需要控制器能提供非常大的主動(dòng)力，在現(xiàn)實(shí)中難以實(shí)現(xiàn)。為了找到一個(gè)合適的zsd，考慮選取一個(gè)理想的參考模型系統(tǒng)，選取參考模型的輸出作為我們的期望值。

2.3 參考模型設(shè)計(jì)

為了達(dá)到減小車身垂直加速度且減小輪胎變形量的目的，考慮一個(gè)混合阻尼懸架系統(tǒng)，即在車身與虛擬的慣性空間之間有一個(gè)阻尼cy來抑制簧上質(zhì)量的振動(dòng)，同時(shí)假設(shè)在車輪和地面之間有一個(gè)阻尼cd來抑制簧下質(zhì)量的振動(dòng)，同時(shí)保證汽車的平順性和操縱穩(wěn)定性，克服單純的天棚阻尼系統(tǒng)的不足。該參考模型如圖2所示。

圖2 含天、地棚阻尼的1/4汽車懸架參考模型

該系統(tǒng)在圖1所示的主動(dòng)懸架系統(tǒng)的基礎(chǔ)上設(shè)置控制器主動(dòng)力為0，同時(shí)在車身與虛擬天棚之間設(shè)置一個(gè)虛擬天棚阻尼 (cy)，輪胎與地面之間設(shè)置一個(gè)虛擬地棚阻尼 (cd)。zsc、zusc分別表示車身和車輪相對(duì)于靜平衡位置的垂直位移，取向上為正方向。根據(jù)牛頓第二定律得到參考模型系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(19)

將懸架系統(tǒng)通過狀態(tài)空間表示，寫成如下形式：

(20)

狀態(tài)變量、系統(tǒng)的輸入和輸出變量定義為

(21)

根據(jù)方程(1)可以計(jì)算出如下矩陣：

根據(jù)主動(dòng)懸架系統(tǒng)模型的阻尼參數(shù)，以cs的整數(shù)倍分別選取兩組虛擬阻尼參數(shù)進(jìn)行對(duì)比研究。cy、cd的選值見表1。

表1 參考模型混合阻尼參數(shù)

圖3和圖4分別展示了表1中兩組虛擬阻尼作用下參考模型系統(tǒng)的輸出，即車身位移曲線和車身垂直加速度曲線。

圖3 參考模型車身垂直位移

圖4 參考模型車身垂直加速度

從圖3和圖4中可以看出，相對(duì)于普通的被動(dòng)懸架系統(tǒng)，在增加虛擬天棚-地棚阻尼后，車身位移曲線相對(duì)光滑，車身垂直加速度明顯減小，說明該虛擬阻尼可以有效減小車身垂直振動(dòng)。

該基于天棚-地棚阻尼的混合阻尼懸架系統(tǒng)只是一種理想的概念模型，在實(shí)際環(huán)境中并無(wú)法直接應(yīng)用。然而，因其完美的減振性能，國(guó)內(nèi)外諸多研究學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了深入研究并通過諸多主動(dòng)控制方法間接實(shí)現(xiàn)了其控制性能。在本文中，我們選擇該理想天棚-地棚阻尼控制系統(tǒng)模型作為一種參考模型，將該系統(tǒng)的輸出信號(hào)作為2.2節(jié)所設(shè)計(jì)的反演控制器的期望值，即

(23)

因此，本文所研究的基于參考模型的反演控制器融合了理想的天棚-地棚阻尼控制器的優(yōu)良控制性能和反演控制器的穩(wěn)定性，為主動(dòng)懸架控制提供了一種新的研究思路。

3 仿真分析

根據(jù)已經(jīng)建立的模型和算法進(jìn)行仿真模擬。選取車輛1/4試驗(yàn)臺(tái)架模型參數(shù)，對(duì)圖2主動(dòng)懸架系統(tǒng)在MATLAB/Simulink中進(jìn)行仿真，同時(shí)與LQR控制下主動(dòng)懸架控制效果進(jìn)行對(duì)比。主動(dòng)懸架試驗(yàn)臺(tái)架參數(shù)見表2。

表2 實(shí)驗(yàn)臺(tái)架模型參數(shù)

在仿真過程中，根據(jù)文獻(xiàn)[10]選取一種由路面函數(shù)d(t)模擬的正弦擾動(dòng)疊加在凸起和凹陷的路面函數(shù)上作為路面激勵(lì)，道路的輪廓是時(shí)間t的函數(shù)，即

3.1 反演控制追蹤效果

設(shè)定方程(13)中反演控制器的兩個(gè)參數(shù)分別為k1=20和k2=20，然后對(duì)圖1所示的主動(dòng)懸架系統(tǒng)進(jìn)行反演控制，并將其與天棚-地棚阻尼控制結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖5和圖6分別展示了兩種控制策略下1/4懸架的車身位移、車身垂直加速度曲線。

圖5 兩種控制策略下的車身位移

圖5和圖6中藍(lán)色線條展示了表1中G1和G2兩種情景下懸架系統(tǒng)的理想控制效果，紅色線條代表以此理想輸出作為參考信號(hào)(即以天棚-地棚阻尼控制的被動(dòng)懸架系統(tǒng)為參考模型)的反演控制下主動(dòng)懸架系統(tǒng)輸出?？梢钥闯觯诜囱菘刂频南到y(tǒng)輸出與基于天棚-地棚阻尼控制的理想輸出之間有較小的誤差，兩條曲線基本重合，表明所設(shè)計(jì)的反演控制器可以很好地實(shí)現(xiàn)天棚-地棚阻尼控制的效果。

圖6 兩種控制策略下的車身垂直加速度

仿真結(jié)果說明，基于反演控制的主動(dòng)控制算法可以實(shí)現(xiàn)一類無(wú)法直接用于實(shí)際懸架系統(tǒng)的天棚-地棚阻尼減振控制。

3.2 主動(dòng)懸架性能分析

圖7—圖10展示了懸架系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)、LQR控制和模型參考反演控制下的車身垂直加速度、輪胎變形量、 懸架動(dòng)行程以及控制器主動(dòng)力。BG1和BG2分別表示按G1和G2兩種情景所設(shè)定的被動(dòng)懸架系統(tǒng)作為參考模型的反演控制。

圖7 車身垂直加速度

圖8 輪胎變形量

圖9懸架動(dòng)行程

圖10 控制器主動(dòng)力

由圖7和圖8可以看出，相較于被動(dòng)懸架系統(tǒng)(即開環(huán)系統(tǒng))，LQR控制方法在減小車身垂直加速度和輪胎變形量方面具有一定的效果。進(jìn)一步對(duì)比可以看出，兩組基于參考模型的反演控制器的控制效果要優(yōu)于LQR控制器。其中，以G2作為參考模型的反演控制在一定程度上要優(yōu)于以G1作為參考模型的反演控制。

圖9和圖10分別展示了懸架系統(tǒng)在幾種控制策略下的動(dòng)行程和控制力大小?？梢钥闯?，在兩組基于參考模型的反演控制器作用下的主動(dòng)懸架系統(tǒng)的懸架動(dòng)行程和控制力均大于LQR，而兩組反演控制的懸架動(dòng)行程和控制力相差不大。結(jié)果表明，以方程(19)作為路面激勵(lì)時(shí)，1/4車輛主動(dòng)懸架系統(tǒng)在本文所提出的基于參考模型的反演控制策略的作用下能夠?qū)崿F(xiàn)更好的減振效果。此外，以天棚-地棚阻尼被動(dòng)懸架系統(tǒng)作為參考模型的反演控制要優(yōu)于僅以天棚阻尼被動(dòng)懸架作為參考模型的反演控制。

3.3 控制器參數(shù)k1和k2的影響

通過仿真驗(yàn)證了本文提出的基于參考模型的反演控制器的有效性后，我們又對(duì)如何選擇更優(yōu)的控制器參數(shù)k1和k2進(jìn)行了簡(jiǎn)單研究。

為了選擇更優(yōu)的控制器參數(shù)，定義一個(gè)用于評(píng)價(jià)反演控制器性能的指標(biāo)，即

為研究k1和k2在不同取值情況下對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響，本文將兩個(gè)參數(shù)分別在(0，100)區(qū)間均勻離散為40份，將其兩兩組合為1 600組參數(shù)并分別進(jìn)行試驗(yàn)?；诜匠?20)分別計(jì)算各組參數(shù)下的性能指標(biāo)值，得到圖11。

圖11 基于參考模型的反演控制策略的性能指標(biāo)

從圖11中可以看出，選取不同的k1、k2會(huì)對(duì)控制器的誤差追蹤效果有一定影響。隨著k1、k2的增大，控制器追蹤精度在一定程度上有所提高，但在到達(dá)一定數(shù)值后，k1、k2進(jìn)一步增大，控制器追蹤精度反而會(huì)降低。圖11中局部放大部分表現(xiàn)了隨著k1、k2的變化，在接近完全追蹤時(shí)，控制器會(huì)出現(xiàn)類似超調(diào)的現(xiàn)象。

該模型參考反演控制器作用下的主動(dòng)懸架系統(tǒng)，能實(shí)現(xiàn)對(duì)參考模型系統(tǒng)的誤差跟蹤，選取合適的k1、k2可使反演控制器對(duì)參考模型的追蹤精度達(dá)到95%以上。在參數(shù)k1=20和k2=20時(shí)，恰好處于圖11中追蹤精度較高的位置，其追蹤精度接近98%。從圖4和圖5中也可以看出，主動(dòng)懸架系統(tǒng)與理想?yún)⒖寄Ｐ拖到y(tǒng)的響應(yīng)曲線基本重合，即表明在該參數(shù)下的反演控制器具有良好的控制性能。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在建立二自由度1/4車主動(dòng)懸架的基礎(chǔ)上，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、采用反演控制的方法，設(shè)計(jì)了一種基于參考模型的反演控制器，并根據(jù)控制模型和仿真算法在MATLAB中建立仿真程序進(jìn)行控制效果驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，利用該方法設(shè)計(jì)的控制器，在選取合適的控制器參數(shù)時(shí)，能夠有效追蹤參考模型信號(hào)，使主動(dòng)懸架減振性能接近理想?yún)⒖寄Ｐ蛻壹芟到y(tǒng)減振性能。該方法設(shè)計(jì)的控制器使車身垂直加速度明顯減小，提升了汽車的乘坐舒適性，在一定程度上減小了輪胎變形量，從而提高了汽車行駛的穩(wěn)定性。同時(shí)選取更為優(yōu)秀的參考模型系統(tǒng)可以進(jìn)一步提高懸架系統(tǒng)的性能。此外，研究表明，k1、k2的取值也對(duì)控制效果有著顯著影響，后續(xù)研究將進(jìn)一步針對(duì)k1、k2以及cy、cd的選取進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)并進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究。