譚宇翔，陶青川，趙鳳媛

（四川大學(xué)信息工程學(xué)院，成都610065）

0 引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)和人工智能的不斷發(fā)展，越來(lái)越多的電子穿戴設(shè)備和傳感硬件進(jìn)入我們的生活，傳感器作為生物活動(dòng)與機(jī)械信號(hào)結(jié)合的橋梁，顯得愈發(fā)重要。由于天然橡膠擁有良好的機(jī)械性能，具有防靜電、防水、柔韌性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，被視作制造力敏傳感器的理想材料。橡膠力敏傳感器也成為了今年國(guó)內(nèi)外硬件識(shí)別領(lǐng)域的研究重點(diǎn)。橡膠力敏傳感器的力敏感度是由其內(nèi)部的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的。因此，分析影響傳感器力敏感度的導(dǎo)電網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的原因是優(yōu)化和發(fā)展傳感器的根本途徑。由于研究熱點(diǎn)的快速更迭，對(duì)橡膠力敏傳感器的研究?jī)H限于靈敏度測(cè)量和制造過(guò)程，對(duì)影響力敏傳感器的靈敏度的內(nèi)部成因沒(méi)有得到詳細(xì)的研究。本文在已有的橡膠力敏傳感器的研究成果基礎(chǔ)上，提出使用數(shù)值模擬的方法對(duì)傳感器內(nèi)部的導(dǎo)電網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)變化機(jī)理進(jìn)行研究。針對(duì)內(nèi)部導(dǎo)電網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化的研究中，目前大多只能通過(guò)掃描電子顯微鏡（SEM）進(jìn)行觀(guān)測(cè)，不能對(duì)導(dǎo)電網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)變化進(jìn)行量化，這也是限制傳感器內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)研究的原因之一。根據(jù)以上的問(wèn)題，我們采取了客觀(guān)的模擬方法，從填料分布到傳感器受力后的形變方式上皆通過(guò)數(shù)學(xué)公式來(lái)進(jìn)行量化。本文的研究基于蒙特卡洛數(shù)值模擬方法來(lái)對(duì)傳感器進(jìn)行建模，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步模擬傳感器的形變過(guò)程，通過(guò)記錄形變過(guò)程中的物理量達(dá)到分析的目的。如圖1（a）所示，碳納米管隨機(jī)的分布于一個(gè)有限的三維空間當(dāng)中，符合碳納米管的隨機(jī)分布規(guī)律。碳納米管與碳納米管濃度較高時(shí)會(huì)完整的通路，這時(shí)通電傳感器會(huì)有電流通過(guò)。如圖1（b）所示，L1 因?yàn)樵陔姌O板之間成功搭建通路所以可以導(dǎo)電，但是L2 則因?yàn)闆](méi)有形成完整通路而導(dǎo)致不通電。傳感器的電阻變化是衡量傳感器靈敏度的前提。傳感器受力過(guò)程中傳感器會(huì)產(chǎn)生形變，從而導(dǎo)致傳感器內(nèi)部的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，從而影響傳感器的電阻。

圖1

1 建模以及電阻計(jì)算原理

良好的3D 模型的構(gòu)建能夠有效模擬傳感器內(nèi)部的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，針對(duì)力敏傳感器的制造過(guò)程原理以及傳感器的形成機(jī)理，我們采用了蒙特卡洛隨機(jī)生成方法來(lái)生成3D 模型，對(duì)碳納米管在天然橡膠中的分布進(jìn)行了有效模擬。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)已經(jīng)產(chǎn)生的導(dǎo)電網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過(guò)基爾霍夫電流定律和隧道效應(yīng)模型構(gòu)建大型稀疏多元一次方程組來(lái)求解傳感器的電阻。

1.1 3D模型的構(gòu)建

碳納米管的建模方式是將其看作一個(gè)圓柱體，且圓柱體的兩端是半圓球，如圖2 所示。這是一個(gè)可穿透的圓柱體。這樣的構(gòu)建方法稱(chēng)為硬核模型。碳納米管圓柱體的半徑代表軟核模型的厚度h。

圖2

碳納米管作為傳感器中唯一的導(dǎo)電物質(zhì)，它的分布特性直接影響傳感器的性質(zhì)。由于在橡膠力敏傳感器的設(shè)計(jì)中，天然橡膠從橡膠樹(shù)中提取之后，融化成了液體，碳納米碳管以及其他配料加入到天然橡膠溶液當(dāng)中需要不斷攪拌，以達(dá)到均勻分布的目的。因此，碳納米管在三維空間中的模擬也必須要服從隨機(jī)分布的原則。為了達(dá)到隨機(jī)分布的目的，我們使用了蒙特卡洛隨機(jī)生成方法[1]。具體的實(shí)現(xiàn)機(jī)理如下：

S=（Sx，Sy，Sz）就是軟核模型的起始點(diǎn)，這個(gè)起始點(diǎn)隨機(jī)產(chǎn)生于三維空間之內(nèi)，Lx、Ly、Lz分別表示有限空間的長(zhǎng)寬高。在起始點(diǎn)產(chǎn)生之后，碳納米管的空間角度也應(yīng)該是隨機(jī)產(chǎn)生的。因此引入了隨機(jī)單位向量u→：

其中，ux、uy、uz分別代表一個(gè)0 到1 范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，且u→的模為1。所以碳納米管模型的終止點(diǎn)也就可以表示為：

L 代表碳納米管的長(zhǎng)度。這樣在空間中的碳納米管模型就構(gòu)建成功了。碳納米管間的距離可以通過(guò)空間的線(xiàn)段間距離公式求得[2]。

1.2 隧穿效應(yīng)原理

納米級(jí)顆粒這種微觀(guān)粒子存在波粒二象性。由于范德華力的存在，納米級(jí)導(dǎo)電顆粒不會(huì)存在完全的接觸，導(dǎo)電顆粒間必然間隔著適當(dāng)?shù)姆兜氯A距離。有別于傳統(tǒng)滲流理論，隧道效應(yīng)[3]的原理是納米級(jí)導(dǎo)電顆粒的導(dǎo)電原理不是日常認(rèn)知中的接觸才能導(dǎo)電，而是在一定的范德華距離（隧道距離）范圍內(nèi)產(chǎn)生電子躍遷，即不接觸也能導(dǎo)電。在一定的范德華距離范圍內(nèi)，導(dǎo)電顆粒之間存在的電阻稱(chēng)之為結(jié)電阻，如圖3 所示。結(jié)電阻可以通過(guò)以下公式進(jìn)行描述[4]：

圖3

其中，P表示普朗克常數(shù)，d表示碳納米管之間的距離，A是碳納米管的截面積，e是電荷量，m是電子質(zhì)量，λ是勢(shì)壘高度。除了導(dǎo)電顆粒間的結(jié)電阻，導(dǎo)電顆粒本身也存在自身的電阻，稱(chēng)之為段電阻。段電阻可以通過(guò)以下公式進(jìn)行描述：

其中，F(xiàn)表示碳納米管上產(chǎn)生電子躍遷不同部位之間的距離，σCNT表示碳納米管的電導(dǎo)率，D2表示的是碳納米管直徑的平方。

1.3 傳感器電阻求解

傳感器內(nèi)部的導(dǎo)電顆粒上，發(fā)生電子躍遷的部位稱(chēng)之為節(jié)點(diǎn)。在碳納米管上，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間存在段電阻，在導(dǎo)電顆粒之間，節(jié)點(diǎn)與位于另一個(gè)導(dǎo)電顆粒上的節(jié)點(diǎn)之間存在結(jié)電阻。正是由于這些節(jié)點(diǎn)間的電阻關(guān)系和連接關(guān)系，構(gòu)成了一個(gè)大型的節(jié)點(diǎn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，將導(dǎo)電網(wǎng)絡(luò)量化成了節(jié)點(diǎn)分布圖，如圖4 所示。參與導(dǎo)電的節(jié)點(diǎn)和通路通過(guò)BFS 算法尋找而得[1]。為了能夠求解復(fù)雜導(dǎo)電網(wǎng)絡(luò)的電阻，我們通過(guò)基爾霍夫電流定律構(gòu)造了大型節(jié)點(diǎn)方程組如下式[6]：

圖4

其中，gi，j表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)與第j個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的電導(dǎo)率，∑gi,…代表第i個(gè)節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)內(nèi)其他所有節(jié)點(diǎn)間的電導(dǎo)率之和。ui表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓值。由于不與i節(jié)點(diǎn)直接相連的其他節(jié)點(diǎn)的電導(dǎo)率視作0，即無(wú)窮小，因此這個(gè)矩陣是一個(gè)典型的大型稀疏矩陣，方程的個(gè)數(shù)等于節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。為了求解大型方程組，我們使用的求解方法是廣義最小殘差法（GMRES），這是一種典型的迭代算法。

1.4 力敏傳感器受力的形變機(jī)理

傳感器的受力形變由基底產(chǎn)生直接影響，也就是天然橡膠。天然橡膠的優(yōu)點(diǎn)在于它擁有極強(qiáng)的韌性和可恢復(fù)能力，在產(chǎn)生較大形變時(shí)自我恢復(fù)的性能良好。通過(guò)對(duì)基底的分析和測(cè)量，在受力方向位于笛卡爾坐標(biāo)系x軸方向的基礎(chǔ)上，基底的形變規(guī)則如下：

其中，Lx、Ly、Lz分別代表的是傳感器的長(zhǎng)寬高，ε是拉伸比，v 是天然橡膠的泊松比。

傳感器的外部基底形變規(guī)則知曉的情況下，傳感器內(nèi)部的導(dǎo)電填料顆粒的形變前后的空間位置變化規(guī)則如下[5]：

其中，ε是拉伸比，v是橡膠的泊松比，（x，y，z）代表碳納米管中心的三維空間坐標(biāo)，θ表示碳納米管與x軸方向的夾角。形變之后的空間結(jié)構(gòu)得到確認(rèn)之后，傳感器形變后的電阻就可以通過(guò)方程組的計(jì)算過(guò)程得到。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

通過(guò)模擬體積濃度為0.25%、0.375%、0.5%的碳納米管制成的橡膠力敏傳感器，為了驗(yàn)證結(jié)果的有效性和精確性，我們?cè)谶M(jìn)行模擬的同時(shí)，制作了對(duì)應(yīng)的傳感器。如圖5 所示，碳納米管濃度越小，靈敏度越高。通過(guò)與真實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較，圖中的數(shù)據(jù)證實(shí)我們的模擬方法非常精確。為了能夠探究影響傳感器靈敏度的根本原因，我們對(duì)導(dǎo)電顆粒的不同的連接狀態(tài)的變化進(jìn)行分類(lèi)。如圖6（a）所示，這是一類(lèi)受力過(guò)程中顆粒之間的距離由小于隧穿距離（T）變化成大于隧穿距離從而導(dǎo)致連接斷開(kāi)的節(jié)點(diǎn)，稱(chēng)之為D 類(lèi)節(jié)點(diǎn)。圖6（b）中展示的是一類(lèi)受力過(guò)程距離從大于隧穿距離到小于隧穿距離從而產(chǎn)生新連接的節(jié)點(diǎn)，稱(chēng)之為A 類(lèi)節(jié)點(diǎn)。

圖5

圖6

2.1 傳感器受力過(guò)程中兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量變化

眾所周知，在傳感器受力過(guò)程中，參與導(dǎo)電的導(dǎo)電顆粒數(shù)量會(huì)減少，但是具體的減少機(jī)理并沒(méi)有得到有效的解釋。我們發(fā)現(xiàn)，傳感器受力過(guò)程中，不僅僅是單純的節(jié)點(diǎn)斷開(kāi)導(dǎo)致參與導(dǎo)電顆粒的數(shù)量減少，而是因?yàn)楫a(chǎn)生新連接節(jié)點(diǎn)（A 類(lèi)節(jié)點(diǎn)）的數(shù)量少于斷開(kāi)的節(jié)點(diǎn)（D 類(lèi)節(jié)點(diǎn)）的數(shù)量，因此使得傳感器整體的導(dǎo)電節(jié)點(diǎn)數(shù)量呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，實(shí)驗(yàn)的節(jié)點(diǎn)結(jié)果如圖7 所示。

圖7

2.2 傳感器受力過(guò)程中兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)的電壓值變化

通過(guò)對(duì)三個(gè)濃度的傳感器的節(jié)點(diǎn)類(lèi)別數(shù)量進(jìn)行分析我們發(fā)現(xiàn)，在任意的拉伸比下，A 類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量都會(huì)小于D 類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，隨著拉伸比逐漸增大，D 類(lèi)節(jié)點(diǎn)與A 類(lèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)量的差距就會(huì)越來(lái)越大。但是拉伸過(guò)程中A 類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量呈現(xiàn)均勻的趨勢(shì)，數(shù)值大小幾乎不變。

在對(duì)兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量進(jìn)行分析之后，通過(guò)求得的節(jié)點(diǎn)電壓值我們對(duì)兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)的電壓值進(jìn)行分析，如圖8所示。我們發(fā)現(xiàn)在傳感器受力過(guò)程中，傳感器中新增的節(jié)點(diǎn)電壓的電壓數(shù)值總是逐漸增大，而斷開(kāi)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓值呈現(xiàn)恒定。

圖8

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析

通過(guò)對(duì)節(jié)點(diǎn)分類(lèi)進(jìn)行分析后我們發(fā)現(xiàn)，傳感器受力過(guò)程中，傳感器靈敏度可以通過(guò)兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)的相對(duì)變化來(lái)表征。兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)電壓的變化趨勢(shì)和節(jié)點(diǎn)的數(shù)量變化趨勢(shì)呈現(xiàn)出了整體不變，相對(duì)變化的情形。不論總體的節(jié)點(diǎn)數(shù)量大小，越靈敏的傳感器D 類(lèi)節(jié)點(diǎn)與A 類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量差就越大。節(jié)點(diǎn)數(shù)量即參與導(dǎo)電的導(dǎo)電顆粒數(shù)量的變化是衡量傳感器靈敏度的標(biāo)準(zhǔn)之一。

3 結(jié)語(yǔ)

本文在前人對(duì)橡膠力敏傳感器的研究和數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上，基于節(jié)點(diǎn)分類(lèi)的方法探討了衡量傳感器靈敏度的結(jié)構(gòu)上的標(biāo)準(zhǔn)。通過(guò)MATLAB 2016b 平臺(tái)上建立了3D 模型，并通過(guò)基爾霍夫電流定律求解出了傳感器的電阻。與真實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照我們發(fā)現(xiàn)我們的模擬結(jié)果與真實(shí)結(jié)果十分接近，說(shuō)明我們的模擬方法和計(jì)算方法是有效且精確的。在此基礎(chǔ)上通過(guò)分析，尋找到了衡量傳感器靈敏度的結(jié)構(gòu)化原因。結(jié)果表明，越靈敏的傳感器，在單位拉伸比下參與導(dǎo)電的導(dǎo)電顆粒數(shù)量減少得越多，減少的數(shù)量是由A 類(lèi)節(jié)點(diǎn)和D類(lèi)節(jié)點(diǎn)的差值決定的。