嚴廣松，湯 聰

(1.鄭州升達經(jīng)貿(mào)管理學院 應用數(shù)學研究所，河南 鄭州451191；2.鄭州升達經(jīng)貿(mào)管理學院 建筑工程學院，河南 鄭州451191)

最早使用計算機對牽伸過程進行模擬的是Johnson[1],他利用簡單牽伸的理想狀態(tài)，給出了牽伸須條彈性的特征，認為須條彈性對牽伸不勻的影響可以忽略。蘇玉恒等[2]分析了纖維在牽伸區(qū)的性態(tài)，將纖維在牽伸區(qū)的變速點看作具有一類拋物線型密度函數(shù)的分布點，給出了須條在牽伸區(qū)變細曲線的隨機模擬。Yan等[3]在假設須條中的纖維具有一定長度分布的情況下，提出了纖維頭端在牽伸區(qū)變速點具有拋物線形概率密度函數(shù)的特征，并且計算了這個拋物線概率密度函數(shù)族的條件期望和條件方差。還有一批學者使用其他物理方法對牽伸區(qū)纖維的變速現(xiàn)象進行建模，從纖維變速行為的分析方面給出了有意義的結(jié)論[4-8]。這些研究不但有助于進一步認識牽伸過程，而且有利于改善牽伸的設計，為牽伸技術的突破打下了基礎。

盡管前人在羅拉牽伸的研究中做了大量工作，但人們對牽伸的認識仍然需要進一步深化。本研究在假設纖維變速點集中在前羅拉鉗口的條件下，給定一種纖維長度分布，并假設輸入的須條截面是絕對均勻的，利用瞬間纖維的位置關系，給出了動態(tài)過程中牽伸須條變細曲線的隨機模擬。

1 模擬的數(shù)學模型

在對羅拉牽伸系統(tǒng)進行數(shù)學模擬之前，首先要用數(shù)學方式來表達羅拉牽伸過程的幾個部分——須條、纖維長度和牽伸機制(包括纖維在牽伸區(qū)的變速點等)，同時要給出模擬過程中的算法。本研究采用牽伸區(qū)瞬間纖維的位置關系，描述了動態(tài)纖維的運行規(guī)律。

1.1 須條形態(tài)的數(shù)學表示

要對羅拉牽伸過程進行數(shù)學模擬，一個重要的步驟就是要解決須條的數(shù)學表示問題。只有將須條的結(jié)構和性態(tài)表示到一個數(shù)學框架中，才能在模擬中有效地進行計算，從而得到各種參數(shù)對牽伸的影響。

假設進入牽伸裝置前的須條由棉纖維組成，纖維在須條中伸直、平行；須條沿著長度方向是均勻的，其截面纖維根數(shù)在沿須條長度方向的各個點幾乎是不變的。在這樣的假設下，得到了以下兩種棉纖維須條數(shù)學表達形式。

方法A：棉纖維的長度具有概率密度函數(shù)f(x)，0

(4)茶樹喜陰、需漫射光，茶園周邊的植被類型以針闊葉、喬木林混雜為宜，野生蘭草對茶葉香氣提升具有重要作用；

圖1 通道構成須條示意圖Fig.1 Sliver containing channels

圖2 帶有間隙的纖維通道Fig.2 Fiber channel with distance between fiber ends

1.2 纖維長度的表示

在對羅拉牽伸系統(tǒng)進行模擬時，要考慮須條中纖維的長度分布。棉纖維的長度分布或整齊度不僅影響紗線質(zhì)量，而且對牽伸效果有著很大影響。

本研究采用的棉纖維長度分布是根據(jù)Cui等[9]在2009年給出的表示法得到的。按照文獻[9]的方法，任一個棉纖維的長度分布概率密度函數(shù)都可以表示為兩個雙參數(shù)Weibull分布的凸組合，也就是采用5個參數(shù)即可比較準確地表示一個棉纖維長度分布的概率密度函數(shù)。棉纖維長度分布的概率密度函數(shù)如下：

f(x;α,λ1,θ1,λ2,θ2)=αfi(x;λ1,θ1)+(1-α)f2(x;λ2,θ2)，

式中：fi(x;λi,θi)=λθxλ1-1e-θx2,x>0,λi<0,θi>0,i=1,2。這里取α=0.229、λ1=2.114、λ2=3.481、θ1=1.336、θ2=0.007,得到一個棉纖維的概率密度函數(shù)，見圖3。

圖3 棉纖維長度的概率密度函數(shù)Fig.3 Density function of fiber length

1.3 牽伸區(qū)纖維運動的模型

圖4是羅拉牽伸系統(tǒng)。要對牽伸區(qū)纖維的運動進行模擬，首先假設牽伸須條中纖維的長度具有概率密度函數(shù)f(x)，其中0

圖4 羅拉牽伸系統(tǒng)Fig.4 Roll drafting mechanics

設X0表示某一時刻被后羅拉夾持的纖維在右邊露出的長度，X1是X0右邊相鄰的纖維長度，X2是與X1右邊相鄰且還在牽伸區(qū)內(nèi)的纖維長度，X3則是被前羅拉夾持的纖維。X1、X2、X3等都是隨機變量，它們相互獨立且同分布，具有共同的概率密度函數(shù)f(x)。對于X0，有

X0=ξ·Y，

(1)

式中：Y是一個與X1、X2、X3等都獨立的隨機變量，密度函數(shù)是f(x)；ξ～U(0，1)是一個與Y獨立的隨機變量。這樣，就表示了纖維一根根首尾相接進入牽伸區(qū)但在牽伸區(qū)的纖維根數(shù)不定的情況。

實際上，不會出現(xiàn)纖維在牽伸區(qū)始終首尾相接的情況。因為X3從前羅拉鉗口伸出便被夾持，并以v2的速度被拉開，于是就出現(xiàn)了下面兩種情況，如圖5和圖6所示。

圖5 通道里的纖維被斷開Fig.5 Separated fibers in the drafting zone

圖6 纖維在牽伸區(qū)內(nèi)出現(xiàn)斷開Fig.6 Separated fibers in the drafting zone

根據(jù)以上分析，就有了羅拉牽伸模擬的步驟：

(1)給定參數(shù)L(牽伸羅拉隔距)、v1(后羅拉表面線速度)、v2(前羅拉表面線速度)、f(x)(纖維長度的概率密度函數(shù))。

(2)生成一個Y～f(x)，再生成一個ξ～U(0，1)，按照公式(1)計算出觀察值x0，其中隨機變量ξ與隨機變量Y獨立。

(3)利用X1～f(x)生成一個觀察值x1，判斷x0+x1是否大于L。若x0+x1

在以上步驟中，任何一個纖維首尾相接的通道在經(jīng)過牽伸系統(tǒng)時總能產(chǎn)生一個函數(shù)g(x)或者h(x)，假設須條截面中有N個通道，就可以產(chǎn)生N個函數(shù)g(x)或者h(x)。將它們疊加起來，就得到了牽伸區(qū)須條的變細曲線，其中函數(shù)h(x)的疊加就是須條在牽伸區(qū)截面中快速纖維的根數(shù)。

2 模擬的主要結(jié)果

按照上述模型，使用MATLAB軟件編程就可以得到相應的牽伸模擬結(jié)果。這里主要分析羅拉牽伸的參數(shù)對牽伸中須條變細曲線的影響與前羅拉鉗口處纖維量的變化(這個變化實際反映的是須條的均勻度)。

2.1 一種纖維長度分布下的模擬

給定纖維長度的一個概率密度函數(shù)，給定牽伸隔距和牽伸倍數(shù)，后羅拉表面的線速度為20 m/min。經(jīng)過上述步驟的模擬，得到圖7。從圖7中可以看出，在輸入須條截面纖維根數(shù)為3 000時，可以看到變細曲線的趨勢是平滑的。在圖7中還可以看到被加速的纖維根數(shù)的曲線，越接近前羅拉，這個曲線就越高。這些結(jié)論與以往的文獻一致，說明本模型能夠反映羅拉牽伸的真實性。

圖7 變細曲線和快速纖維曲線Fig.7 The attenuation curve and the curve for accelerated fibers

從圖7中可以看到，由于牽伸倍數(shù)選定的是5，所以左邊須條截面纖維根數(shù)是3 000，而右邊須條截面纖維根數(shù)在600左右，快速纖維的根數(shù)平滑地增長到了前羅拉鉗口。

2.2 不同牽伸倍數(shù)的模擬

羅拉牽伸研究的一個重要目標就是希望能增大牽伸倍數(shù)，也就是前后羅拉線速度之比。這里分別采用牽伸倍數(shù)為10和15進行模擬，并記錄牽伸中前羅拉鉗口處纖維根數(shù)的變化。圖8與圖9分別是牽伸倍數(shù)為10和15時的須條變細曲線。

圖8 牽伸倍數(shù)為10時的變細曲線Fig.8 Attenuation curve with R=10

圖9 牽伸倍數(shù)為15時的變細曲線Fig.9 Attenuation curve with R=15

通過同一設定條件的多次模擬，記錄前羅拉鉗口處纖維根數(shù)的變化，計算數(shù)據(jù)的變異系數(shù)，可以看出隨著牽伸倍數(shù)的增大，變異系數(shù)呈現(xiàn)非線性增大的趨勢。這種趨勢說明，牽伸機構本身存在一個固有的降低須條均勻度的規(guī)律。

3 結(jié)論

通過一種靜態(tài)的隨機建模方法，分析了羅拉牽伸的動態(tài)變化規(guī)律，給出了符合羅拉牽伸實際的模擬結(jié)果，對于進一步認識牽伸系統(tǒng)具有指導意義。本模型在模擬過程中將一些條件簡單化，比如須條的均勻度設定和變速點的假設，但不影響最終的模擬結(jié)果。 從隨機模擬的結(jié)果來看，可以得出以下結(jié)論：

(1)當纖維在牽伸區(qū)的變速點在前羅拉鉗口時，須條的變細曲線基本是上凸的。

(2)當牽伸倍數(shù)增大時，前羅拉鉗口處纖維量的波動增大。

(3)當增大牽伸區(qū)羅拉隔距時，牽伸后的須條均勻度變差。

(4)模擬結(jié)果與實際牽伸的原理較好地吻合了，說明模型是有效的。

按照本模型的算法，后續(xù)將進一步對簡單牽伸的各種情況進行模擬，比如對等長纖維須條的牽伸，對各種具有不同纖維長度分布的須條的牽伸，對纖維運動不同變速點分布的牽伸等，從而得到影響牽伸須條均勻度的因素和更加符合實際的模擬結(jié)果。