何孝凱,曹周鍵

(1. 湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410205; 2. 北京師范大學(xué) 天文系，北京 100875)

李導(dǎo)數(shù)(Lie derivative)是微分流形上的一類重要導(dǎo)數(shù)算子，它是一種對(duì)流形M上的張量場(chǎng)沿著某個(gè)給定方向求導(dǎo)的運(yùn)算.李導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)和物理中都有廣泛的應(yīng)用[1-8].在我們讀到過(guò)的教材中，學(xué)者們都是先介紹流形上光滑矢量場(chǎng)ξa給出的單參微分同胚群，再介紹流形上的推前映射和拉回映射，然后在此基礎(chǔ)上定義流形上的張量場(chǎng)Ta1…akb1…bl沿矢量場(chǎng)ξa的李導(dǎo)數(shù)ξTa1…akb1…bl[5-9].唯一不同的是有的教材使用主動(dòng)語(yǔ)言，有的使用被動(dòng)語(yǔ)言.主修物理和天文的學(xué)生大都沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)過(guò)微分流形，對(duì)推前和拉回映射倍感抽象，對(duì)由此誘導(dǎo)的變換也會(huì)深感復(fù)雜、難懂.所以很多初學(xué)者覺(jué)得李導(dǎo)數(shù)的概念比較抽象，不易掌握.本文將給出一種關(guān)于李導(dǎo)數(shù)新的講授方式，該方式擺脫推前和拉回映射，便于初學(xué)者理解.

1 矢量場(chǎng)的適配坐標(biāo)系

(1)

(2)

2 李導(dǎo)數(shù)的定義

本節(jié)我們將用一種新的方式定義流形上張量場(chǎng)沿某給定矢量場(chǎng)的李導(dǎo)數(shù).這里我們只討論矢量場(chǎng)的李導(dǎo)數(shù),往其他任意張量場(chǎng)的推廣是直接的.設(shè)ξa是n維流形M上的一個(gè)給定光滑矢量場(chǎng).對(duì)M上的任意光滑矢量場(chǎng)ua，我們定義ua沿ξa的李導(dǎo)數(shù)如下

(3)

其中{xμ}(μ=1，2,…,n)是矢量場(chǎng)ξa的適配坐標(biāo)系，uμ是矢量場(chǎng)ua在適配坐標(biāo)系{xμ}(μ=1，2,…,n) 坐標(biāo)基底下的分量.

從而

其中第二個(gè)等號(hào)我們用到了式(2).另一方面，還有性質(zhì)：

所以有

這就證明了流形上矢量場(chǎng)ua沿給定矢量場(chǎng)ξa的李導(dǎo)數(shù)(3)與所使用的適配坐標(biāo)系無(wú)關(guān),所以這個(gè)定義是良好的.

3 李導(dǎo)數(shù)在任意坐標(biāo)系下的表達(dá)式

上一節(jié)我們給出了n維流形上的矢量場(chǎng)ua沿給定矢量場(chǎng)ξa的李導(dǎo)數(shù).根據(jù)定義我們可以直接寫(xiě)出在ξa的適配坐標(biāo)系下李導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式.本節(jié)我們將進(jìn)一步討論該李導(dǎo)數(shù)在任意坐標(biāo)系下的表達(dá)式,進(jìn)而我們會(huì)看到定義式(3)與通常教材中給出的矢量場(chǎng)李導(dǎo)數(shù)定義是一致的.

設(shè)ξa和ua是n流形M上的兩個(gè)光滑矢量場(chǎng)， {xμ}(μ=1，2,…,n)是矢量場(chǎng)ξa的適配坐標(biāo)系，{x′μ}(μ=1，2,…,n)是流形M上的任意一個(gè)坐標(biāo)系(不一定是ξa的適配坐標(biāo)系).在這兩組 坐標(biāo)系下，ξa和ua可被表示成：

接下來(lái)將證明Lξua在坐標(biāo)系{x′μ}下的表達(dá)式為

(4)

為了證明式(4)，首先注意到

(5)

其中第二個(gè)等號(hào)用到了式(1).于是從式(3)出發(fā)，有

(6)

直接計(jì)算給出

其中第二個(gè)等號(hào)用到了式(5).此外

其中倒數(shù)第二個(gè)等號(hào)用到了式(5).從而式(6)可化為

這樣就得到了n維流形上的矢量場(chǎng)ua沿給定 矢量場(chǎng)ξa的李導(dǎo)數(shù)在任意坐標(biāo)系下的表達(dá)式.當(dāng){x′μ}也是矢量場(chǎng)ξa的適配坐標(biāo)系時(shí)，有

從而式(4)化簡(jiǎn)為

與上一節(jié)的定義式一致.

作為本節(jié)的結(jié)束，討論定義式(3)與通常教材中定義的李導(dǎo)數(shù)的一致性.在通常的教材中，矢量場(chǎng)ua沿給定矢量場(chǎng)ξa的李導(dǎo)數(shù)等于矢量場(chǎng)ua和ξa的對(duì)易子[5-9]，即

Lξua=[ξ,u]a

(6)

注意到在n維流形M上某坐標(biāo){x′μ}系下對(duì)易子的表達(dá)式為

此等式的右端與式(4)右端一致，可見(jiàn)我們 按定義式(3)引入的矢量場(chǎng)ua沿給定矢量場(chǎng)ξa的李導(dǎo)數(shù)滿足式(7)，與通常教材中的結(jié)果一致.

4 結(jié)語(yǔ)

本文中引入了一種新的方式來(lái)定義流形上的張量場(chǎng)沿給定矢量場(chǎng)的李導(dǎo)數(shù).首先引入矢量場(chǎng)ξa的適配坐標(biāo)系概念.實(shí)際上適配坐標(biāo)系的概念并不多余，因?yàn)樵趶V義相對(duì)論課程中講授Killing矢量場(chǎng)的時(shí)候也會(huì)引入適配坐標(biāo)系的概念,相當(dāng)于只是把這個(gè)概念的講解提前一點(diǎn).基于適配坐標(biāo)系，就可以給出流形上光滑矢量場(chǎng)ua沿ξa的李導(dǎo)數(shù)直觀定義.同時(shí)也很容易可以講清楚我們的定義與具體適配坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān).在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出了矢量場(chǎng)的李導(dǎo)數(shù)在任意坐標(biāo)系下的表達(dá)式，與通常教科書(shū)講解的李導(dǎo)數(shù)輕松銜接.不同于通常教材從推前映射和拉回映射出發(fā)，用映射這一主動(dòng)觀點(diǎn)或者用由映射誘導(dǎo)的無(wú)窮小變換這一被動(dòng)觀點(diǎn)來(lái)定義李導(dǎo)數(shù)[5-10]，我們采用的定義方式更便于初學(xué)者理解和掌握.本文中重點(diǎn)討論了矢量場(chǎng)ua沿ξa的李導(dǎo)數(shù)定義，這一做法可自然推廣至流形上的任意張量場(chǎng)沿ξa的李導(dǎo)數(shù)，在此不再贅述.