劉平安，劉 愷

(河南大學(xué) a.物理與電子學(xué)院；b.實(shí)驗(yàn)室與設(shè)備管理處，河南 開(kāi)封 475004)

線脹系數(shù)測(cè)量是高校理工科學(xué)生必做的基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，旨在讓學(xué)生掌握測(cè)量線脹系數(shù)的原理與方法. 提高固體微小變化量的測(cè)量精度是實(shí)驗(yàn)成功的關(guān)鍵，最早的測(cè)量方法是尺度望遠(yuǎn)鏡和光杠桿法[1-2]，后來(lái)文獻(xiàn)報(bào)道千分表法[3]、單縫衍射法[4-5]、激光掃描F-P干涉法[6]、邁克耳孫干涉法[7]、CCD成像法[8]、電容位移傳感器法[9]、交流電容電橋法[10]等方法[11-15]. 本文設(shè)計(jì)了交流電感電橋法測(cè)量線脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)儀，增加了定標(biāo)、最小二乘法數(shù)據(jù)處理等實(shí)驗(yàn)內(nèi)容.

1 固體的線脹系數(shù)及測(cè)量原理

設(shè)L0為物體在0 ℃時(shí)的長(zhǎng)度，則其在t℃時(shí)的長(zhǎng)度為

Lt=L0(1+αt),

(1)

先測(cè)出材料在室溫t1下的長(zhǎng)度L1，再測(cè)出材料從t1升至t2的伸長(zhǎng)量δL21，則

(2)

式(2)中δL21是光杠桿法、千分表法等方法的核心測(cè)量.若再測(cè)出溫度t2下的長(zhǎng)度L2，則

(3)

L2為實(shí)驗(yàn)的核心測(cè)量量，本實(shí)驗(yàn)儀即基于該測(cè)量而設(shè)計(jì).

(4)

(5)

固體線脹系數(shù)精確測(cè)量的另一個(gè)關(guān)鍵因素是保持金屬棒均勻受熱并且精確測(cè)量其溫度.一般采用蒸汽加熱、流水加熱、電加熱等方法，再結(jié)合性能日益提高的溫度傳感器實(shí)現(xiàn)對(duì)金屬棒的精確控溫.

2 交流電感電橋法線脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)儀及測(cè)量原理

圖1所示為交流電感電橋測(cè)線脹系數(shù)電路圖.空心線圈H1和H2并排安放，柱狀鐵氧體磁芯左右兩端分別位于2個(gè)線圈中心位置，改變電位器Rs和Rp可將交流電橋調(diào)節(jié)至平衡狀態(tài).當(dāng)旋轉(zhuǎn)微分頭使磁芯向左或向右移動(dòng)時(shí)，兩線圈的電感參量同時(shí)發(fā)生改變，且改變方向相反，使得電橋平衡被破壞，輸出電壓值增大.經(jīng)測(cè)試，位移量與輸出電壓信號(hào)在一定范圍內(nèi)成線性關(guān)系.記錄微分頭旋轉(zhuǎn)時(shí)的刻度值與對(duì)應(yīng)的電橋輸出電壓，采用最小二乘法即可完成對(duì)交流電橋的定標(biāo).

圖1 交流電感電橋測(cè)線脹系數(shù)電路圖

使用定標(biāo)后的交流電橋，當(dāng)溫度改變時(shí)，金屬棒膨脹推動(dòng)與之剛性相連的磁芯發(fā)生微小移動(dòng)，靈敏度優(yōu)于11 mV/mm的交流電橋有較大的輸出電壓變化. 通過(guò)測(cè)量不同溫度下交流電橋輸出的電壓值，可求得金屬棒的伸長(zhǎng)量δL.

將交流電橋的高靈敏度特性與金屬棒長(zhǎng)度的微小變化量相聯(lián)系，是本實(shí)驗(yàn)裝置能精確地測(cè)量金屬材料線脹系數(shù)的根本原因.

圖2為交流電橋法線脹系數(shù)測(cè)量實(shí)驗(yàn)儀的裝置圖，實(shí)物圖如圖3所示. 各部分功能如下：

1.底座 2.固定螺栓 3.頂針 4.加熱爐 5.樣品棒 6.PTC平板加熱器 7.風(fēng)扇 8.測(cè)量端頂針 9.線性導(dǎo)軌 10.鐵氧體磁芯 11.雙電感線圈 12.微分頭平移臺(tái) 13.彈簧

圖3 交流電橋法線脹系數(shù)測(cè)量實(shí)驗(yàn)儀實(shí)物圖

1)底座：固定各器件；

2)固定螺栓：固定頂針的位置，使樣品棒左端位置不動(dòng)，擰松后可拆下頂針，從而更換樣品棒；

3)頂針：頂住樣品棒左端，固定其位置；

4)加熱爐：鋁合金制，包裹住樣品棒使之均勻加熱，并裝有溫度傳感器；

5)樣品棒：被測(cè)樣品(鋁和黃銅2種材料)；

6)PTC平板加熱器：緊貼加熱爐，為加熱爐的熱源；

7)風(fēng)扇：對(duì)加熱爐進(jìn)行降溫；

8)測(cè)量端頂針：頂住樣品棒右端，能夠隨樣品棒的伸縮左右平移；

9)線性導(dǎo)軌：保證測(cè)量端頂針沿軸向移動(dòng)；

10)鐵氧體磁芯：與測(cè)量端頂針剛性連接并隨之平移；

11)雙電感線圈：固定在微分頭平移臺(tái)上，其電感參量會(huì)隨鐵氧體磁芯的平移而改變；

12)微分頭平移臺(tái)：帶動(dòng)雙電感線圈左右平移，用于定標(biāo)位移讀數(shù)與交流電橋輸出信號(hào)間的關(guān)系；

13)彈簧：保證測(cè)量端頂針緊靠樣品棒右端，中間不會(huì)有間隙，更換樣品時(shí)能起到彈出樣品的作用.

該實(shí)驗(yàn)裝置利用傳感器、單片機(jī)與多個(gè)PTC電加熱器實(shí)現(xiàn)了對(duì)樣品棒均勻控溫，安裝一排散熱風(fēng)扇又可使金屬棒迅速降溫.

詳細(xì)技術(shù)指標(biāo)：溫度顯示分辨率為0.1 ℃，溫度控制范圍為室溫至80 ℃；加熱器工作電壓為AC30 V；交流信號(hào)源頻率1 kHz，幅度0～5.5 V峰峰值連續(xù)可調(diào)；電感線圈線徑0.13 mm，3 000匝；交流信號(hào)峰峰值檢測(cè)，三位半數(shù)碼管顯示，分3擋，量程分別為2 V，200 mV及20 mV，最小擋能顯示0.01 mV電壓變化；位移測(cè)量靈敏度優(yōu)于11 mV/mm；微分頭讀數(shù)精度為0.01 mm，測(cè)量范圍為0～13 mm；φ8 mm×400 mm，材質(zhì)為鋁和黃銅的金屬樣品棒各1根.

3 實(shí)驗(yàn)方法

3.1 交流電感電橋輸出電壓與微分頭位移量關(guān)系定標(biāo)

微分頭放在可平滑移動(dòng)的臺(tái)上，能夠帶動(dòng)2個(gè)電感線圈同時(shí)沿軸向移動(dòng). 保持鐵氧體磁芯不動(dòng)，將交流電橋調(diào)節(jié)至平衡，即“峰峰值信號(hào)探測(cè)”所示電壓值在“20 mV”擋位，無(wú)論2個(gè)線圈向左或向右移動(dòng)，檢測(cè)到的交流電壓信號(hào)都會(huì)增大. 因此，定標(biāo)曲線呈“V”字型，但測(cè)量線脹系數(shù)時(shí)僅用其單調(diào)增加或減小的一部分. 實(shí)際測(cè)量時(shí)線圈不動(dòng)，產(chǎn)生位移量的是鐵氧體磁芯，因此定標(biāo)時(shí)若電感線圈向左移動(dòng)，應(yīng)看作鐵氧體磁芯向右移動(dòng)，反之亦然. 定標(biāo)步驟如下：

1)用連接線分別將主機(jī)前面板2個(gè)電感線圈的接口與裝置上電感線圈的接口相連，然后將交流電橋的電壓輸出端接口與信號(hào)探測(cè)輸入端接口相連，如圖4所示，用連接線將主機(jī)后面板3個(gè)接口與裝置外殼上的3個(gè)接口相連并鎖緊；

圖4 儀器主機(jī)與裝置前后面板接線圖

2)測(cè)量樣品棒長(zhǎng)度L1，擰下左側(cè)2個(gè)固定頂針的固定螺栓，將樣品棒塞入加熱爐，裝回頂針，擰緊固定螺栓；

3)保持樣品棒溫度不變(20～25 ℃不變或?qū)囟确€(wěn)定控制于30 ℃)，旋轉(zhuǎn)微分頭移動(dòng)平移臺(tái)，使其位于5～8 mm，此時(shí)磁芯左右兩端分別位于2個(gè)線圈的中心位置，探測(cè)靈敏度較高；

4)調(diào)節(jié)主機(jī)前面板上“信號(hào)源幅度調(diào)節(jié)”旋鈕，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為增大，幅度越大，電橋的靈敏度越高;

5)交替調(diào)節(jié)電位器Rp和Rs，將交流電橋調(diào)至平衡;

6)旋轉(zhuǎn)微分頭，記錄主機(jī)上顯示的電壓U與微分頭刻度值X，通過(guò)線性擬合得到定標(biāo)公式U=aX+b，確定可用于測(cè)量的線性范圍.

3.2 金屬棒線脹系數(shù)的測(cè)量

1)旋轉(zhuǎn)微分頭使平臺(tái)帶動(dòng)線圈移動(dòng)，觀察主機(jī)上探測(cè)所得的電壓值，使線圈位于適用于定標(biāo)公式的線性范圍內(nèi)；

2)設(shè)置控溫模塊的初始溫度為t1：按“升溫”按鈕至所需溫度(一般可設(shè)為高于室溫5 ℃左右的整數(shù)溫度)，按“確定”開(kāi)始加熱. 待加熱爐內(nèi)溫度(即“溫度控制與顯示”的溫度)與交流電橋輸出電壓值均穩(wěn)定后，記錄溫度與電壓值；

3)增加控溫模塊溫度，如改變量為5 ℃，分別設(shè)置末溫為ti=t1+5i,i=1,2,3…，最高末溫≤80 ℃；

4)測(cè)量得到對(duì)應(yīng)的一系列輸出電壓值U′；

5)通過(guò)定標(biāo)公式U=aX+b將電壓值U′換算為位移量X′，線性擬合微分頭讀數(shù)X′與樣品棒溫度ti，得到其斜率k.結(jié)合樣品棒長(zhǎng)度L1，即可計(jì)算得到樣品棒的線脹系數(shù).

說(shuō)明：原本擬合不同末溫ti與金屬棒相應(yīng)長(zhǎng)度Li之間的關(guān)系曲線Li-ti，因?yàn)長(zhǎng)i-L1=δLi1=δXi1=Xi′-X0，X0為交流電橋平衡時(shí)微分頭的初始讀數(shù)，是定值，因此，以Xi′-ti曲線代替Li-ti曲線，這樣，無(wú)需每次測(cè)量金屬棒在不同溫度下的長(zhǎng)度，記錄微分頭的讀數(shù)即可.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 L1=400 mm黃銅棒的線脹系數(shù)

記錄微分頭讀數(shù)從6.000 mm逐漸增大至7.500 mm時(shí)的輸出電壓信號(hào)，如表1所示. 微分頭位移量與輸出電壓信號(hào)的U-X曲線如圖5所示.

表1 裝入黃銅棒時(shí)微分頭位移量與輸出電壓

圖5 黃銅棒的U-X關(guān)系曲線

首先要保證鐵氧體在定標(biāo)的最佳線性范圍內(nèi)移動(dòng). 因?yàn)辄S銅棒受熱膨脹推動(dòng)磁芯的運(yùn)動(dòng)和定標(biāo)時(shí)磁芯的相對(duì)運(yùn)動(dòng)相同(與實(shí)際移動(dòng)的線圈方向相反)，所以，保持微分頭的初始位置不變或者稍微減小即可.

每間隔5 ℃，記錄系統(tǒng)輸出電壓值如表2所示. 注意，系統(tǒng)穩(wěn)定的溫度可能會(huì)和設(shè)定溫度有少許偏差，但只要溫度和輸出電壓達(dá)到雙穩(wěn)定狀態(tài)即可記錄數(shù)據(jù)，這不影響測(cè)量結(jié)果.

表2 黃銅棒在不同溫度下輸出電壓及計(jì)算的位移量X′

根據(jù)定標(biāo)擬合得到的微分頭位移量與輸出電壓的關(guān)系方程，計(jì)算出不同末溫時(shí)微分頭的位移量Xi′.用最小二乘法擬合黃銅棒輸出電壓與位移量Xi′-ti圖線如圖6所示.

圖6 黃銅棒的Xi′-ti

根據(jù)式(5)得黃銅棒的線脹系數(shù)為α銅=17.64×10-6℃-1.

4.2 L1=400 mm鋁棒的線脹系數(shù)

記錄微分頭讀數(shù)從6.000 mm逐漸減小至5.000 mm時(shí)輸出電壓值，如表3所示，結(jié)果顯示初期線性差，刪除這3個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行定標(biāo). 擬合U-X如圖7所示.

表3 裝入鋁棒時(shí)微分頭位移量與輸出電壓信號(hào)關(guān)系定標(biāo)

根據(jù)圖7，可以計(jì)算出不同末溫時(shí)微分頭的位移量Xi′,如表4所示. 分析位移量和輸出電壓的關(guān)系曲線，可發(fā)現(xiàn)加熱初期5 ℃內(nèi)，線性差，這可能與剛開(kāi)始鋁棒受熱不均勻有關(guān)，也可能與微分頭回到初始位置附近產(chǎn)生了回程差有關(guān). 擬合45 ℃以上數(shù)據(jù)如圖8所示，根據(jù)式(5)得到線脹系數(shù)α鋁=22.75×10-6℃-1.

圖8 鋁棒的Xi′-ti關(guān)系圖

表4 鋁棒在不同溫度下輸出電壓及計(jì)算的位移量X′

圖7 鋁棒的U-X關(guān)系曲線

因?yàn)榻饘侔羰軣崤蛎浲苿?dòng)磁芯的運(yùn)動(dòng)和定標(biāo)時(shí)方向一致，所以微分頭要回到定標(biāo)的初始位置6.500 mm，或稍小的位置.

5 分析與總結(jié)

電感電橋不常用的原因是電感不易測(cè)量，但將交流電橋雙線圈中電感的變化量轉(zhuǎn)換成微小位移量，僅僅利用了電感電橋輸出電壓與引起電感變化的位移量的線性關(guān)系實(shí)現(xiàn)了微小位移量的電測(cè). 雖然使用了電感電橋，但無(wú)須測(cè)量電感的大小，只要測(cè)量定標(biāo)后交流電橋的輸出電壓即可推得樣品棒的位移量(以微分頭上讀數(shù)表示). 測(cè)量的全程，測(cè)試電路與樣品棒沒(méi)有接觸.

交流電橋使用雙線圈較之單線圈的優(yōu)勢(shì)[13]：根據(jù)ΔL=k0Δl，線圈電感的變化量與磁芯在線圈中的位移量成正比，因?yàn)榇判镜淖笥覂啥朔謩e處于左右2個(gè)線圈的中心位置，磁芯的位移導(dǎo)致了2個(gè)線圈的電感同時(shí)變化，不但交流電橋的輸出量發(fā)生較大改變，而且在電橋調(diào)平的前提下，無(wú)論磁芯的位移向左還是向右，輸出電壓都在增大，從而提高了測(cè)量精度.

彈簧機(jī)構(gòu)使金屬棒和磁芯緊密接觸，測(cè)得磁芯的位移量就能準(zhǔn)確反映出金屬棒的伸長(zhǎng)量. 彈簧彈力對(duì)樣品棒的位移量的影響取決于樣品棒的彈性模量. 一般金屬的彈性模量在102GPa量級(jí)，而實(shí)驗(yàn)儀所用彈簧的彈性系數(shù)比較小，樣品棒在實(shí)驗(yàn)儀可達(dá)到的溫度范圍內(nèi)，線膨脹效應(yīng)引起的徑向形變量都小于1 mm，根據(jù)胡克定律，彈簧施加在樣品棒上的壓力變化就很小，所以彈力對(duì)樣品棒的位移量影響微乎其微，可以忽略不計(jì).

頂針采用了新型不銹鋼材料，線脹系數(shù)為1×10-5～1.5×10-5，明顯小于樣品的線脹系數(shù). 實(shí)驗(yàn)儀中的頂針處于加熱裝置外部，且與樣品棒接觸的部位做成尖狀，這樣測(cè)試過(guò)程中，頂針的溫度變化又很小，形變量微乎其微，減小了頂針自身膨脹的引入誤差.

加熱爐是鋁合金材料，屬于熱的良導(dǎo)體，四周均勻排布4個(gè)相同功率的加熱器，且加熱爐芯與樣品棒之間間隙很小，最大程度保證了加熱溫度的均勻性，在對(duì)不同樣品棒的實(shí)際測(cè)試中也得到了很好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，因此可以認(rèn)為溫度的均勻性符合實(shí)驗(yàn)要求. 高靈敏度的傳感器和高精度的數(shù)字溫度表(分辨率0.1 ℃)，使得溫度表能正確反映樣品棒的實(shí)際溫度.

3 000匝的電感線圈提高了位移測(cè)量的靈敏度. 每次測(cè)試前必須進(jìn)行定標(biāo)，測(cè)量時(shí)，要使鐵氧體磁芯在定標(biāo)曲線線性最好的區(qū)域內(nèi)移動(dòng)，以提高測(cè)量的精度.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，用自制的交流電感電橋測(cè)得金屬棒的線脹系數(shù)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)儀器所測(cè)量的數(shù)據(jù)能較好的吻合. 和傳統(tǒng)方法比較，實(shí)驗(yàn)中增加了交流電橋調(diào)節(jié)、磁芯位移量與輸出電壓信號(hào)定標(biāo)、最小二乘法數(shù)據(jù)處理等內(nèi)容. 同時(shí)，該實(shí)驗(yàn)方法可以應(yīng)用在其他類似的直線微小位移量的測(cè)量上. 將交流電橋與固體線脹系數(shù)測(cè)量2個(gè)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)巧妙結(jié)合起來(lái)，豐富了實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，開(kāi)闊了學(xué)生的視野，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.