謝 苗，董鈺峰，闞彥淇

（遼寧工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

輥壓機(jī)是由多個(gè)工作部件所組成的復(fù)雜工作系統(tǒng)，而在輥壓機(jī)的組成部分中輥壓工作的完成主要依靠壓下系統(tǒng)[1-2].隔熱屏輥壓機(jī)的設(shè)計(jì)要求之一是實(shí)現(xiàn)對(duì)壓下力、壓下量的精確調(diào)節(jié)，而實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)參量精確調(diào)節(jié)的關(guān)鍵就是輥壓機(jī)壓下系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和控制精度.但最終在輥壓工作中所生產(chǎn)的隔熱屏能否滿足精度的要求不僅取決于所構(gòu)成壓下系統(tǒng)的各個(gè)部件的選擇是否合理，還取決于所選部件的強(qiáng)度和剛度是否足夠[3].輥壓機(jī)在進(jìn)行輥壓工作時(shí)，其壓下系統(tǒng)所控制的從動(dòng)輥在垂直方向上的振動(dòng)幅值大小會(huì)對(duì)工件的精度有直接的影響，因此對(duì)這種振動(dòng)規(guī)律的研究十分必要.在建立模型過程中考慮到如果在研究這種垂直方向上的振動(dòng)幅值時(shí)，只研究壓下系統(tǒng)中的從動(dòng)輥雖然也可以得出結(jié)果，但這種結(jié)果不夠全面同時(shí)也不具有代表性.因此，在建立動(dòng)力學(xué)模型時(shí)將主動(dòng)輥即整個(gè)輥系考慮在內(nèi)，建立主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)二自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)方程的建立與推導(dǎo)以及幅頻特性的研究.

王紅霞[4]等對(duì)壓下系統(tǒng)改造，增大了壓下系統(tǒng)的傳動(dòng)力矩；關(guān)云華[5]對(duì)壓下系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，解決了人工操作所導(dǎo)致的效率與精度問題；李威[6]等對(duì)六輥軋機(jī)機(jī)芯軸式分段支承輥的支反力進(jìn)行了研究，對(duì)輥身直徑的確定提供了理論支持；陳海波[7]運(yùn)用Matlab中的Simulink模塊與AMESim軟件證實(shí)了壓下系統(tǒng)改造方案的可行性；高瑞進(jìn)[8]采用 ANSYS/LSDYNA軟件進(jìn)行了四輥軋機(jī)垂直振動(dòng)的振動(dòng)規(guī)律特征和固有特性研究；侯東曉[9]等進(jìn)行了非線性動(dòng)態(tài)軋制過程下冷軋機(jī)參激振動(dòng)特性研究；LI H G[10]等在考慮了不連續(xù)條件下的諸多因素后，建立了軋機(jī)壓下系統(tǒng)中的主傳動(dòng)部分的非線性間隙但自由度動(dòng)力學(xué)模型；NIZIOL J[11]研究了軋制速度對(duì)輥?zhàn)哟怪狈较蛘駝?dòng)的影響，并提出一種能夠有效預(yù)測(cè)輥?zhàn)釉诠ぷ鬟^程中沿垂直方向位移量的方法.

本文所研究的用于生產(chǎn)航空發(fā)動(dòng)機(jī)隔熱屏的輥壓機(jī)來自于沈陽某航空發(fā)動(dòng)機(jī)集團(tuán)有限責(zé)任公司的隔熱屏輥壓機(jī)改進(jìn)項(xiàng)目.本文在對(duì)原壓下系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上，對(duì)所建立的新型輥壓機(jī)壓下系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析及疲勞分析，以驗(yàn)證新型方案的可行性.

1 動(dòng)力學(xué)模型建立

輥壓機(jī)輥壓工件時(shí)，主、從動(dòng)輥與隔熱屏工件間的阻尼和剛度均是非線性的，又考慮到主、從動(dòng)輥部分在結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性，建立主、從動(dòng)輥沿垂直方向上的非線性振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，見圖1.

圖1 主、從動(dòng)輥振動(dòng)模型Fig.1 vibration model of main and driven roller

圖1中，m1和m2分別為從動(dòng)輥部分等效質(zhì)量和主動(dòng)輥部分等效質(zhì)量，kg；x1和x2分別為從動(dòng)輥沿垂直方向上的位移和主動(dòng)輥沿垂直方向上的位移，mm；F（1x）和F（2x）分別為從動(dòng)輥部分與其他相連部件間的非線性力和主動(dòng)輥部分與其他相連部件間的非線性力，MPa；k1和k2分別為從動(dòng)輥與其他相連部分間的等效剛度和主動(dòng)輥與其他相連部分間的等效剛度，N/mm；c1和c2分別為從動(dòng)輥與其他相連部分間的等效非線性阻尼和主動(dòng)輥與其他相連部分間的等效非線性阻尼，N?s/m；ΔF（x）為隔熱屏工件的線性變形抗力，N.

又由于在實(shí)際輥壓工況下存在系統(tǒng)間的潤(rùn)滑因素及隔熱屏工件彈塑性變形等情況，因此在本節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型中引入 Vanderpol非線性阻尼振子(?c1+c2x2)x和 Duffing非 線 性 剛 度 振 子(k1+k2x2 )x，則有

式中，F(xiàn)（cx）為非線性阻尼力，N.

2 動(dòng)力學(xué)方程建立

在輥壓機(jī)輥壓過程中，主、從動(dòng)輥系統(tǒng)不可避免的會(huì)受到來自系統(tǒng)外部的干擾力.因此，在本節(jié)所建立的動(dòng)力學(xué)模型中加入一個(gè)作用在系統(tǒng)上的外部周期變化的干擾力F（x），其表達(dá)形式為

綜合牛頓力學(xué)模型，主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程為

聯(lián)立式（1）～式（4）和式（6）可得

由于主、從動(dòng)輥系統(tǒng)在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)上具有對(duì)稱性，因此有：m1=m2，x1=x2.將其代入式（7）中進(jìn)一步整理有

又因?yàn)槭剑?）中主、從動(dòng)輥部分的2個(gè)方程在形式上完全相同，故只研究其中一個(gè)方程.本節(jié)選取從動(dòng)輥部分動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行研究，并將其化為

再分別將 ? 2c1/m1=α，8c2/m1=β，k2/m1=γ，k1+2Δk/m1=ω02，F(xiàn)/m1=F'代入式（9）整理可得

式（10）即為主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程.

3 動(dòng)力學(xué)方程求解

本節(jié)對(duì)建立的主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，以得出可以進(jìn)一步表現(xiàn)該振動(dòng)系統(tǒng)特征的表達(dá)式，并為仿真提供理論方程.

首先將式（10）改寫成

在此引入攝動(dòng)法來求解式（11），根據(jù)攝動(dòng)法將主、從動(dòng)輥與隔熱屏工件間的關(guān)于非線性剛度和阻尼部分以及系統(tǒng)外部干擾因素部分設(shè)為ε（一個(gè)無量綱小參數(shù)）.則有

進(jìn)一步，式（12）解的形式可設(shè)為

又有

由此，對(duì)式（13）進(jìn)行求導(dǎo)，并將其結(jié)果與式（14）和式（15）聯(lián)立，推導(dǎo)可得

式（17）中，

使式（16）與式（17）中ε項(xiàng)系數(shù)相等，再次整理得

再使式（20）中sin?和cos?項(xiàng)前系數(shù)為0，有

聯(lián)立式（20）與式（21）整理后得

同理可得

綜上，可得出本節(jié)中所述的非線性動(dòng)力學(xué)方程在收到系統(tǒng)外部干擾力條件下的解析近似解為

通過觀察該主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)求解過程和求解結(jié)果可知在非線性剛度、非線性阻尼和系統(tǒng)外部干擾力同時(shí)存在的情況下，動(dòng)力學(xué)模型的求解過程和求解形式十分復(fù)雜.進(jìn)一步對(duì)該求解結(jié)果進(jìn)行分析，可知解中主要包含系統(tǒng)固有頻率、系統(tǒng)外部干擾項(xiàng)、高次諧波項(xiàng)和耦合項(xiàng).不難得知，當(dāng)系統(tǒng)固有頻率與因外部周期干擾力而產(chǎn)生的頻率間存在某種數(shù)量關(guān)系時(shí)，主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)有產(chǎn)生共振的可能.

4 仿真

本節(jié)用式（12）作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，即

當(dāng)作用在主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)上的來自系統(tǒng)外部干擾頻率ω與系統(tǒng)固有頻率0ω間存在整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，有如下表達(dá)式

4.1 主共振動(dòng)力學(xué)特性仿真分析

式（26）中，當(dāng)λ=1時(shí)，主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率與來自系統(tǒng)外部的干擾頻率值無限接近幾乎相等，這種情況下，主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生主共振現(xiàn)象.

在此前提下，式（25）可改寫成

假設(shè)式（27）存在如下形式的解

式中，?=tω?θ.進(jìn)一步求解可得

將式（26）代入式（29）整理可得主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)主共振動(dòng)力學(xué)特性方程為

從式（30）的形式及內(nèi)容可得知，與系統(tǒng)頻率和振幅相關(guān)的因素為：阻尼系數(shù)α=?2c1/m1；非線性阻尼系數(shù)β= 8c2/m1；非線性剛度系數(shù)γ=k2/m1.

在此運(yùn)用Matlab軟件對(duì)主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行幅頻特性仿真分析，并進(jìn)一步研究不同α、β和γ值對(duì)所建模型幅頻特性關(guān)系的影響.其中，α和β為阻尼系數(shù)，γ為剛度系數(shù).

所設(shè)計(jì)的新型輥壓機(jī)上下輥系等效質(zhì)量為m1=m2= 8 7kg.

參考相似結(jié)構(gòu)[7-8]并結(jié)合輥壓機(jī)實(shí)際工作環(huán)境，?。篶1= 5 × 1 06N?s/ m ，c2= 2 × 1 06N?s/ m ，F(xiàn)'=1.5，ω0=1.5，ε=0.05.

具體仿真如下：

① 以剛度系數(shù)γ為變量的主從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)主共振幅頻特性.

以剛度系數(shù)γ為變量，以.m文件編寫式（30），并運(yùn)用Matlab仿真，得出曲線見圖2.

圖2 不同剛度系數(shù)γ下主從動(dòng)輥幅頻特性Fig.2 amplitude frequency characteristic of main and driven roller at different stiffness coefficients γ

由圖2可知，在3個(gè)不同的剛度系數(shù)下，主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)幅頻特性曲線變化的規(guī)律基本相同，都是先處于平穩(wěn)狀態(tài)，隨后隨著外部干擾頻率的逐漸增加振幅急劇增大之后又逐漸過渡到平穩(wěn)狀態(tài).隨著剛度系數(shù)的不斷增大，曲線的幅值跳躍點(diǎn)逐漸向橫坐標(biāo)的正方向移動(dòng)，最大振幅值越來越小.但3條曲線的幅值跳躍點(diǎn)均處于外部干擾頻率值為1.4～1.6內(nèi).當(dāng)剛度系數(shù)為-1.5時(shí)，幅值最大為2 × 1 0?2mm，當(dāng)剛度系數(shù)為 1.5時(shí)，幅值最小為1.8 × 1 0?2mm.

② 以阻尼系數(shù)α為變量的主從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)主共振幅頻特性.

以阻尼系數(shù)α為變量，以.m文件編寫式（30），并運(yùn)用Matlab仿真，得出曲線見圖3.

圖3 不同阻尼系數(shù)α下主從動(dòng)輥幅頻特性Fig.3 amplitude frequency characteristic of main and driven roller at different damping coefficient α

由圖3可知，在不同阻尼系數(shù)α下，主、從動(dòng)輥系統(tǒng)幅頻特性曲線走勢(shì)幾乎相同，但隨著阻尼系數(shù)α的逐漸增大的過程中，主、從動(dòng)輥系統(tǒng)的幅頻特性曲線的幅值跳躍點(diǎn)逐漸向坐標(biāo)左側(cè)移動(dòng)且振動(dòng)峰值越來越小.從圖3中觀察得知，3條曲線在外部干擾頻率為0.5～1.4和1.6～2的區(qū)間內(nèi)幾近重合.此時(shí)，主、從動(dòng)輥系統(tǒng)的振動(dòng)幅值最小，整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)；在外部干擾頻率為1.5左右時(shí)，3條曲線均出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象.當(dāng)阻尼系數(shù)α為0.25時(shí)，振動(dòng)峰值最大為 2 × 1 0?2mm；當(dāng)阻尼系數(shù)α為1時(shí)，振動(dòng)峰值最小為 0.8 × 1 0?2mm.此時(shí)主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)可能會(huì)發(fā)生振蕩現(xiàn)象，但隨著外部干擾頻率的繼續(xù)增大，這種跳躍現(xiàn)象又逐漸消失，最后系統(tǒng)趨于平穩(wěn).

③ 以阻尼系數(shù)β為變量的主從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)主共振幅頻特性.

以阻尼系數(shù)β為變量，以.m文件編寫式（30），并運(yùn)用Matlab仿真，得出曲線見圖4.

圖4 不同阻尼系數(shù)β下主從動(dòng)輥幅頻特性Fig.4 amplitude frequency characteristic of main and driven roller at different damping coefficient β

由圖4可知，在不同阻尼系數(shù)β下，主、從動(dòng)輥系統(tǒng)幅頻特性曲線變化情況與圖3情況大致相同，但隨著阻尼系數(shù)β的增大，主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)的振幅峰值越來越大.其中，當(dāng)阻尼系數(shù)β為1.2時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)峰值最大為1.9×10-2mm；當(dāng)阻尼系數(shù)β為0.2時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)峰值最小為1.2×10-2mm.

4.2 非主共振動(dòng)力學(xué)特性仿真分析

當(dāng)ω與0ω間的數(shù)量關(guān)系為0ω是ω的大于1的整數(shù)倍時(shí)，主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)發(fā)生超諧波共振，這時(shí)有

假設(shè)式（31）解的形式為

式中，?=λωt?θ.

在此，取λ=2，則可得

① 以剛度系數(shù)γ為變量的主從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)超諧波共振幅頻特性.

將式（34）以.m文件編寫，γ分別取-1.5、0.5、1.5，并運(yùn)用Matlab仿真，結(jié)果見圖5.

圖5 不同剛度系數(shù)γ下主從動(dòng)輥幅頻特性Fig.5 amplitude frequency characteristic of main and driven roller at different stiffness coefficients γ

由圖5可知，在剛度系數(shù)γ取不同值時(shí)，主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)幅頻特性曲線變化的規(guī)律基本相同，均為先處于平穩(wěn)狀態(tài)，隨后隨著外部干擾頻率的逐漸增加振幅急劇增大之后又逐漸過渡到平穩(wěn)狀態(tài).另外，隨著剛度系數(shù)的不斷增大，曲線的幅值跳躍點(diǎn)逐漸向橫坐標(biāo)的正方向移動(dòng)，最大振幅值越來越小，但3條曲線的幅值跳躍點(diǎn)均處于外部干擾頻率值為0.75左右.當(dāng)剛度系數(shù)γ為-1.5時(shí)跳躍點(diǎn)幅值最大為 2.9 × 1 0?2mm，剛度系數(shù)γ為1.5時(shí)跳躍點(diǎn)幅值最小為 2.6 × 1 0?2mm.

② 以阻尼系數(shù)α為變量的主從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)超諧波共振幅頻特性.

將式（34）以.m文件編寫，取α值分別為0.25、0.5、1，并運(yùn)用Matlab仿真，結(jié)果見圖6.

圖6 不同阻尼系數(shù)α下主從動(dòng)輥幅頻特性Fig.6 amplitude frequency characteristic of main and driven roller at different damping coefficient α

由圖6可知，在不同阻尼系數(shù)α下，主、從動(dòng)輥系統(tǒng)幅頻特性曲線走勢(shì)幾乎相同，但隨著阻尼系數(shù)α的逐漸增大的過程中，主、從動(dòng)輥系統(tǒng)的幅頻特性曲線的幅值跳躍點(diǎn)逐漸向橫坐標(biāo)左側(cè)移動(dòng)且振動(dòng)峰值越來越小.從圖中觀察得知，3條曲線在外部干擾頻率為0～0.7和0.8～1的區(qū)間內(nèi)幾近重合，此時(shí)，主、從動(dòng)輥系統(tǒng)的振動(dòng)幅值最小，整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)；在外部干擾頻率為0.75左右的區(qū)間內(nèi)，3條曲線均出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象，當(dāng)阻尼系數(shù)α為0.25時(shí)，振動(dòng)峰值最大為 2.7 × 1 0?2mm；這種跳躍現(xiàn)象又逐漸消失，最后系統(tǒng)趨于平穩(wěn).

③ 以阻尼系數(shù)β為變量的主從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)超諧波共振幅頻特性.

將式（34）以.m文件編寫，取β值分別為1.2、0.5、0.2，并運(yùn)用Matlab仿真，結(jié)果見圖7.

圖7 不同阻尼系數(shù)β下主從動(dòng)輥幅頻特性Fig.7 amplitude frequency characteristic of main and driven roller at different damping coefficient β

由圖7可知，在不同阻尼系數(shù)β下，主、從動(dòng)輥系統(tǒng)幅頻特性曲線變化情況與圖6情況大致相同，但隨著阻尼系數(shù)β的增大，主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)的振幅峰值越來越大.其中，當(dāng)阻尼系數(shù)β為 1.2時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)峰值最大為 2.7 × 1 0?2mm；當(dāng)阻尼系數(shù)β為0.2時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)峰值最小為 1.7 × 1 0?2mm.

5 結(jié)論

建立了輥壓機(jī)主、從動(dòng)輥統(tǒng)垂直振動(dòng)系統(tǒng)2自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，經(jīng)過推導(dǎo)與求解得到了主、從動(dòng)輥統(tǒng)垂直振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性方程，研究了在主共振與非主共振情況下不同剛度與阻尼系數(shù)對(duì)該系統(tǒng)幅頻特性的影響，經(jīng)過對(duì)仿真圖像分析得知：

（1）在主共振的情況下，剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)的改變并不會(huì)影響主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)幅頻特性曲線的整體變化趨勢(shì)，但隨著剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的變化，系統(tǒng)的幅頻特性曲線也會(huì)隨之發(fā)生一些變化.系統(tǒng)幅頻特性曲線的跳躍點(diǎn)會(huì)隨剛度系數(shù)的增大而逐漸向橫坐標(biāo)正方向移動(dòng)，且跳躍點(diǎn)峰值隨著這種變化從 2 ×10-2mm 至 1.8×10-2mm逐漸減??；系統(tǒng)幅頻特性曲線的跳躍點(diǎn)會(huì)隨阻尼系數(shù)α的增大而逐漸向橫坐標(biāo)負(fù)方向移動(dòng)，且跳躍點(diǎn)峰值隨著這種變化從2×10-2mm 至 0.8×10-2mm逐漸減??；系統(tǒng)幅頻特性曲線的跳躍點(diǎn)會(huì)隨阻尼系數(shù)β的增大而逐漸向橫坐標(biāo)正方向移動(dòng)，且跳躍點(diǎn)峰值隨著這種變化從1.2 × 1 0?2mm至 1.9 × 1 0?2mm逐漸增大.

（2）在超諧波共振的情況下，剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)對(duì)主、從動(dòng)輥垂直振動(dòng)系統(tǒng)幅頻特性曲線變化規(guī)律的影響與主共振的情況大致相同，但對(duì)系統(tǒng)幅值變化的影響與主共振時(shí)不同.系統(tǒng)幅頻特性曲線的跳躍點(diǎn)峰值會(huì)隨剛度系數(shù)的增大從 2.9×10-2mm 至2.6 × 1 0?2mm逐漸減?。幌到y(tǒng)幅頻特性曲線的跳躍點(diǎn)峰值會(huì)隨阻尼系數(shù)α的增大從 2.7×10-2mm 至1.5 × 1 0?2mm逐漸減??；系統(tǒng)幅頻特性曲線的跳躍點(diǎn)峰值會(huì)隨阻尼系數(shù)β的增大從 1.7×10-2mm 至2.7 × 1 0?2mm逐漸增大.