李 昱，袁 磊

(1.北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100081；2.北京特種車輛研究所，北京 100072)

0 引言

系統(tǒng)辨識(shí)是使用傳遞函數(shù)對(duì)所研究系統(tǒng)進(jìn)行表征。在研究系統(tǒng)特性的過程中，掌握如何正確使用系統(tǒng)辨識(shí)工具十分重要。

目前對(duì)線性系統(tǒng)辨識(shí)的研究已經(jīng)頗為深入。20世紀(jì)50年代末期便出現(xiàn)了傳統(tǒng)的系統(tǒng)辨識(shí)，傳統(tǒng)的系統(tǒng)辨識(shí)存在一定的局限性，僅適用于線性系統(tǒng)，對(duì)非線性系統(tǒng)的估計(jì)準(zhǔn)確性較差[1]。近年來伴隨著計(jì)算機(jī)硬件以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等理論的發(fā)展，系統(tǒng)辨識(shí)理論在非線性系統(tǒng)中又迎來了新的分析方法，這些方法統(tǒng)稱為新型系統(tǒng)辨識(shí)方法[2-3]。

針對(duì)系統(tǒng)辨識(shí)參數(shù)計(jì)算算法的綜述文章較多，但是針對(duì)在辨識(shí)過程中的系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)建立以及選取的文章較少；同時(shí)，在建模過程中，模型結(jié)構(gòu)正確地建立與合適地選取對(duì)計(jì)算的效率與最后結(jié)果的精度都有重要的影響[4-5]。本文著重對(duì)在線性系統(tǒng)辨識(shí)過程中的常用結(jié)構(gòu)模型的形式、適用場(chǎng)景以及使用方法進(jìn)行介紹與分析，同時(shí)介紹了適用于常用模型的計(jì)算算法，并使用系統(tǒng)辨識(shí)方法對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行了分析與求解。

1 系統(tǒng)辨識(shí)的概念及要素

系統(tǒng)辨識(shí)中“辨識(shí)”的定義[6]是1962年由美國著名控制理論專家Lotfi Aliasker Zadeh教授提出的：“辨識(shí)就是在輸入和輸出數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，從一組給定的模型類中，確定一個(gè)與所測(cè)系統(tǒng)等價(jià)的模型?！?/p>

線性系統(tǒng)指的是同時(shí)滿足疊加性與均勻性的系統(tǒng)，線性系統(tǒng)可用微分或者差分方程來表示。一般而言，線性系統(tǒng)的系統(tǒng)特性比較簡單，處理起來較為容易，目前對(duì)線性系統(tǒng)辨識(shí)的研究較多，方法較為成熟。相對(duì)而言，非線性系統(tǒng)整體看來更加復(fù)雜，其中局部可以簡化為線性系統(tǒng)處理。對(duì)非線性系統(tǒng)的辨識(shí)往往是將傳統(tǒng)算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊邏輯、遺傳算法等相結(jié)合[7]，目前研究還處在發(fā)展的階段。

系統(tǒng)辨識(shí)理論是現(xiàn)代控制理論的一個(gè)重要分支，系統(tǒng)辨識(shí)起源于現(xiàn)代控制理論的發(fā)展。在現(xiàn)代控制理論中，對(duì)于系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和配置等都是在對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性掌握的前提下進(jìn)行的，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究中，純理論計(jì)算在現(xiàn)實(shí)條件下十分復(fù)雜甚至不可行，這時(shí)便需要利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)直接擬合出特性相同或者相似的系統(tǒng)，從而代替原始系統(tǒng)，這種方法被稱作系統(tǒng)辨識(shí)[8]。

理想條件下，一些相對(duì)簡單的線性系統(tǒng)可以直接由物理學(xué)關(guān)系推導(dǎo)得出，例如在無誤差以及環(huán)境干擾情況下的理想彈簧阻尼系統(tǒng)，任意兩點(diǎn)間的速度、加速度等物理學(xué)關(guān)系可以由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組推導(dǎo)而出[9]。但現(xiàn)實(shí)條件下系統(tǒng)通常涉及到多個(gè)組成部分，每個(gè)部分之間的配合無法做到完全理想化，并且存在外界擾動(dòng)，實(shí)際的傳遞關(guān)系更加復(fù)雜，物理學(xué)先驗(yàn)知識(shí)一般只能作為補(bǔ)充，利用系統(tǒng)辨識(shí)以及相關(guān)算法才可以得到更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)式[10]。

系統(tǒng)辨識(shí)包含三個(gè)重要的因素：實(shí)驗(yàn)得到的系統(tǒng)輸入輸出作為辨識(shí)的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)；采用的適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)結(jié)構(gòu)模型以最大化擬合的準(zhǔn)確度；使用的參數(shù)計(jì)算算法以獲得系統(tǒng)模型中的待定系數(shù)[11]。理想化的簡單系統(tǒng)可以使用白箱法或直接計(jì)算法進(jìn)行直接辨識(shí)，該方法是使用物理公式直接推導(dǎo)得出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；真實(shí)條件下的復(fù)雜系統(tǒng)可以使用黑箱法進(jìn)行辨識(shí)，在只關(guān)注系統(tǒng)的輸入輸出而不關(guān)注系統(tǒng)的內(nèi)部聯(lián)系下找到等價(jià)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；將兩種方法結(jié)合可以根據(jù)白箱法的系統(tǒng)特點(diǎn)得到關(guān)鍵參數(shù)(例如系統(tǒng)階次等)為黑箱法的模型構(gòu)建提供依據(jù)，稱作灰箱法。在涉及到黑箱法的辨識(shí)中，最重要的兩個(gè)步驟是辨識(shí)系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)的選取與模型中參數(shù)的計(jì)算[12-13]。

2 模型結(jié)構(gòu)與計(jì)算算法

2.1 線性系統(tǒng)建模的模型結(jié)構(gòu)

2.1.1線性非參數(shù)化模型

線性非參數(shù)化模型，亦或直接辨識(shí)估計(jì)法，分為沖擊響應(yīng)直接辨識(shí)以及頻率響應(yīng)直接辨識(shí)，適用于簡單系統(tǒng)在受到脈沖輸入的實(shí)驗(yàn)條件下在時(shí)域與頻域進(jìn)行的系統(tǒng)辨識(shí)。

在時(shí)域下，一個(gè)線性系統(tǒng)可以用脈沖響應(yīng)來描述[14]。該系統(tǒng)的性質(zhì)為：

(1)

式(1)中，脈沖響應(yīng)系數(shù)gk是使用相關(guān)分析法直接從輸入/輸出數(shù)據(jù)中估計(jì)得出的[15]。

線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是其脈沖響應(yīng)的傅里葉變換。輸入和輸出之間的關(guān)系為：

y(t)=G(z)u(t)+v(t)

(2)

系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以使用頻譜分析法直接估計(jì)[16]。

線性非參數(shù)化模型結(jié)構(gòu)簡單，模型中沒有需要調(diào)試的參數(shù)，計(jì)算量小，適用于一些簡單的線性系統(tǒng)在受到脈沖輸入時(shí)的系統(tǒng)辨識(shí)。在文獻(xiàn)[17]中，對(duì)沖擊響應(yīng)下的磁懸浮軸承進(jìn)行仿真辨識(shí)，將軸承與轉(zhuǎn)子分別進(jìn)行了簡化，并在低轉(zhuǎn)速下將系統(tǒng)中各部分視作剛體建模，最后得出準(zhǔn)確的辨識(shí)結(jié)果。文獻(xiàn)[18]對(duì)軸承在不同類型的沖擊響應(yīng)下進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，建立系統(tǒng)模型并著重使用改進(jìn)的相關(guān)分析算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并驗(yàn)證了該算法的可行性。因此在研究軸承一類簡單的系統(tǒng)受到?jīng)_擊響應(yīng)下的系統(tǒng)特性，使用直接辨識(shí)估計(jì)法可以得到理想的結(jié)果。

2.1.2線性參數(shù)化模型

線性參數(shù)化模型的適用范圍廣泛，模型種類較多且較為復(fù)雜，依據(jù)不同的實(shí)際情況，前人設(shè)計(jì)出了多種模型結(jié)構(gòu)，每種結(jié)構(gòu)適用于不同特性的系統(tǒng)。

比較常見的線性參數(shù)化模型有：輸入輸出模型(傳遞函數(shù)模型)、狀態(tài)空間模型、過程數(shù)學(xué)模型和多項(xiàng)式模型[19]。

1)傳遞函數(shù)模型

傳遞函數(shù)模型以傳遞函數(shù)的形式對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行表示，形式為：

(3)

該模型適用于連續(xù)時(shí)間與離散時(shí)間系統(tǒng)。由式(3)可知，系統(tǒng)的輸入輸出傳遞關(guān)系完全由Num/Den決定，因此，根據(jù)極點(diǎn)與零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及各項(xiàng)系數(shù)便可確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)階次可以通過系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)配合、物理學(xué)先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行初步確定，對(duì)于參數(shù)的估計(jì)可以使用工具變量法(instrumental variable method，IV)[20]、狀態(tài)變量濾波器法(state variable filter method，SVF)、廣義泊松矩函數(shù)法(generalized poisson moment method，GPMF)以及子空間狀態(tài)估計(jì)法(subspace state estimation method,N4SID)[21]進(jìn)行。

在線性參數(shù)化模型中，傳遞函數(shù)模型的結(jié)構(gòu)較為簡單，在該模型中，需要調(diào)試的參數(shù)有零點(diǎn)以及極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，對(duì)于一些簡單或者理想化的系統(tǒng)，使用傳遞函數(shù)模型更加快捷方便。文獻(xiàn)[22]對(duì)冰箱的內(nèi)部溫度的動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)進(jìn)行研究，利用傳遞函數(shù)模型對(duì)其進(jìn)行建模，集成和發(fā)展了冰箱負(fù)荷計(jì)算的傳遞函數(shù)模型,簡化了計(jì)算過程。文獻(xiàn)[23]對(duì)人體脈搏系統(tǒng)進(jìn)行研究，將脈搏信號(hào)看作是一線性時(shí)不變系統(tǒng)在準(zhǔn)周期脈沖序列激勵(lì)下的輸出，并建立了到脈搏系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。仿真結(jié)果表明，該模型可以較真實(shí)地模擬人體脈搏信號(hào)。在簡單的單輸入單輸出系統(tǒng)的辨識(shí)中，使用傳遞函數(shù)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的準(zhǔn)確度較高。

2)狀態(tài)空間模型

狀態(tài)空間模型以狀態(tài)空間表達(dá)式[24]的形式對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行表示，形式如下：

(4)

和傳遞模型一樣，該模型也適用于連續(xù)時(shí)間與離散時(shí)間系統(tǒng)。對(duì)于狀態(tài)空間模型而言，最重要的參數(shù)是模型階次，也就是狀態(tài)向量x的維數(shù)。同樣，系統(tǒng)的階次可由先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行初步確定[25]，對(duì)于狀態(tài)空間模型，參數(shù)矩陣的估計(jì)常用N4SID(子空間狀態(tài)估計(jì)法)和PEM(最小誤差估計(jì)法)來計(jì)算[26]。

狀態(tài)空間模型在建模的過程中引入了對(duì)多個(gè)信號(hào)的矩陣表示，維數(shù)上更高，對(duì)于多輸入多輸出的系統(tǒng)而言，可以更好地進(jìn)行表示。文獻(xiàn)[27]在對(duì)汽車懸架系統(tǒng)特性的研究中，分別選取車身多個(gè)部位進(jìn)行測(cè)量，利用狀態(tài)空間模型對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行建模，建立了4個(gè)輸入3個(gè)輸出模型，通過建模及仿真，得到了可以有效地研究汽車振動(dòng)特性的方法。文獻(xiàn)[28]研究了雙率系統(tǒng)的系統(tǒng)辨識(shí)，經(jīng)過推導(dǎo)得出該系統(tǒng)可被視作線性時(shí)不變多變量系統(tǒng)，研究該系統(tǒng)時(shí)搭建了狀態(tài)空間模型，并證明了其可靠性。在研究多變量系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)每個(gè)輸入對(duì)應(yīng)于每個(gè)輸出均存在一個(gè)傳遞關(guān)系，使用狀態(tài)空間模型可以使用矩陣的形式對(duì)系統(tǒng)的輸入輸出以及系統(tǒng)特性進(jìn)行更有效地表示。

3)過程數(shù)學(xué)模型

過程數(shù)學(xué)模型用增量K、延遲Td和一個(gè)或多個(gè)時(shí)間常量來描述一個(gè)系統(tǒng)，形式如下：

(5)

式(5)中，e-sTd為系統(tǒng)延遲項(xiàng)，1+Tns為系統(tǒng)零點(diǎn)項(xiàng)，該模型是傳遞函數(shù)模型的簡化。在工業(yè)過程中，針對(duì)典型的控制系統(tǒng)，使用過程數(shù)學(xué)模型表征系統(tǒng)特性準(zhǔn)確度較高。

4)多項(xiàng)式模型

多項(xiàng)式模型以多項(xiàng)式的形式對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行表示，其中包括四個(gè)子模型：①自回歸各態(tài)歷經(jīng)模型(autoregressive exogenous,ARX models)；②有外源變量的隨機(jī)預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)模型(ARMAX models)；③輸出誤差模型(output-error models)；④時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型(box-jenkins models)。

四種子模型均是多項(xiàng)式的形式，差別在于參數(shù)部分的表示有所不同，與傳遞函數(shù)模型以及狀態(tài)空間模型不同的是其只適用于離散時(shí)間系統(tǒng)。

對(duì)于ARX模型來說，該模型是Matlab系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)中最經(jīng)常使用到的參數(shù)模型，常用的模型結(jié)構(gòu)為：

(6)

該模型需要調(diào)試的參數(shù)為極點(diǎn)個(gè)數(shù)、零點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及系統(tǒng)的純延時(shí)大小，對(duì)于沒有時(shí)延的系統(tǒng)，可以將延時(shí)參數(shù)設(shè)置為1。模型參數(shù)可使用ARX以及IV算法進(jìn)行估計(jì)。ARMAX、OE和BJ模型則是在ARX模型的基礎(chǔ)上，引入了擾動(dòng)而來的。

ARMAX模型的基本結(jié)構(gòu)為：

(7)

OE模型的基本結(jié)構(gòu)為：

(8)

BJ模型的基本結(jié)構(gòu)為：

(9)

對(duì)于ARMAX、OE和BJ模型，參數(shù)的估計(jì)通常使用誤差估計(jì)方法。上述四個(gè)子模型是多項(xiàng)式模型的四種不同的表述形式，其基本結(jié)構(gòu)為：

(10)

多項(xiàng)式模型的優(yōu)點(diǎn)：其一可以通過逐步疊加高次項(xiàng)來進(jìn)行逼近，且往往項(xiàng)數(shù)越高，結(jié)果越貼近原始模型；其二，通過選擇不同的復(fù)雜度子模型，既可以對(duì)簡單系統(tǒng)進(jìn)行表達(dá)又可以對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)準(zhǔn)確表征。文獻(xiàn)[29]對(duì)阻尼器進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，該阻尼器擁有多個(gè)組件并以不同方式相連，在建模時(shí)使用到了多項(xiàng)式模型，并在仿真后進(jìn)行了模型驗(yàn)證以及誤差分析，建立了一個(gè)12階多項(xiàng)式參數(shù)模型；同樣在文獻(xiàn)[30]中，對(duì)磁流變阻尼器進(jìn)行了研究，認(rèn)為高次多項(xiàng)式擬合容易導(dǎo)致擬合曲線的兩端出現(xiàn)劇烈地振蕩，并且最后使用了分段三次多項(xiàng)式來表征系統(tǒng)并消除了振蕩；在文獻(xiàn)[31]中使用多項(xiàng)式模型對(duì)傳感器的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了建模并完成系統(tǒng)辨識(shí)；文獻(xiàn)[32]在進(jìn)行BDI指數(shù)預(yù)測(cè)時(shí)使用了ARMA以及ARMAX模型；文獻(xiàn)[33]在進(jìn)行徑流短期預(yù)測(cè)中使用了ARMAX模型；文獻(xiàn)[34]同樣使用ARMAX模型對(duì)穩(wěn)壓設(shè)備進(jìn)行建模。

對(duì)于以上各模型來說，不同的模型結(jié)構(gòu)在傳遞函數(shù)的表達(dá)方式上存在差異，其本質(zhì)都是為了用數(shù)學(xué)公式的形式表示出系統(tǒng)特性。例如傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型可以相互轉(zhuǎn)化，過程數(shù)學(xué)模型則是對(duì)傳遞函數(shù)模型進(jìn)行簡化而來，而多項(xiàng)式模型中的四個(gè)子模型均是對(duì)基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行不同程度地簡化。其根本目的都是為了表達(dá)出系統(tǒng)的傳遞關(guān)系，不同點(diǎn)在于多項(xiàng)式模型等相對(duì)復(fù)雜的模型結(jié)構(gòu)對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)表征更加準(zhǔn)確，相對(duì)來說系統(tǒng)擬合度更高，但計(jì)算量也相應(yīng)增大。因此，根據(jù)不同實(shí)際情況選擇合適的系統(tǒng)模型十分關(guān)鍵。

通過對(duì)上述各模型結(jié)構(gòu)的理論分析以及學(xué)者們?cè)谙到y(tǒng)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)中的經(jīng)驗(yàn)匯總，表1對(duì)線性系統(tǒng)辨識(shí)的模型結(jié)構(gòu)相關(guān)特性做出歸納。

表1 常用傳遞函數(shù)模型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)Tab.1 Characteristics of commonly used transfer function model structures

2.2 模型參數(shù)的計(jì)算算法

線性系統(tǒng)常用的傳統(tǒng)參數(shù)估計(jì)算法經(jīng)過多年的發(fā)展研究已經(jīng)頗為深入，這里只簡單介紹一下上述涉及到的幾種算法[35]。

2.2.1工具變量法(instrument variable)

工具變量法，亦或輔助變量法(auxiliary variable)是一種最小二乘參數(shù)估計(jì)法的延伸，其定義如下：

(11)

在收斂不到真值θ的情形下，可以用一個(gè)輔助向量z(t)，使在N→∞時(shí)，輔助變量趨于(即收斂于)真值θ0。輔助變量法的關(guān)鍵在于如何構(gòu)造一個(gè)滿足上述條件的輔助變量，也就是說輔助變量應(yīng)當(dāng)與噪聲v(t)不相關(guān)，而與φ(t)強(qiáng)相關(guān)。因此常見的一種選擇是由輸入激勵(lì)和一個(gè)確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出組成[36]。工具變量法與最小二乘法一樣，作為最普適的估計(jì)算法，在系統(tǒng)模型的參數(shù)估計(jì)過程中有著頻繁的應(yīng)用。

2.2.2預(yù)測(cè)誤差法(prediction error estimate)

PEM采用數(shù)值優(yōu)化方法來最小化代價(jià)函數(shù)VN(G,H)，定義如下：

(12)

式(12)中，e(t)為模型的測(cè)量輸出與預(yù)測(cè)輸出之差，e(t)為向量；代價(jià)函數(shù)VN(G,H)為標(biāo)量值，下標(biāo)N表示代價(jià)函數(shù)是數(shù)據(jù)樣本個(gè)數(shù)的函數(shù)，N越大，代價(jià)函數(shù)越精確。預(yù)測(cè)誤差法在狀態(tài)空間模型以及多項(xiàng)式模型的參數(shù)估計(jì)中應(yīng)用頻繁。

2.2.3子空間辨識(shí)法(N4SID)

子空間辨識(shí)法可應(yīng)用于多輸入多輸出模型，對(duì)于給定的一個(gè)未知的單入單出或多入多出系統(tǒng)，假定輸入測(cè)量值為u，輸出測(cè)量值為y，在系統(tǒng)可能存在噪聲的情況下，估計(jì)出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。其直接利用輸入輸出數(shù)據(jù)的行與列估計(jì)出廣義觀測(cè)矩陣以及卡爾曼狀態(tài)序列，利用最小二乘法求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式[37]。子空間估計(jì)法對(duì)多輸入多輸出模型的估計(jì)效果較好，例如在狀態(tài)空間模型中的應(yīng)用十分廣泛。

3 實(shí)際應(yīng)用中不同線性系統(tǒng)辨識(shí)方法對(duì)比

在實(shí)際應(yīng)用中，通過已知系統(tǒng)的特性、復(fù)雜度等情況可以先排除一些不適用或計(jì)算精度不高的方法。例如在簡單的兩物體鋼性接觸條件下可以首先使用傳遞函數(shù)模型，而在復(fù)雜的多物體系統(tǒng)中，可以首先使用多項(xiàng)式模型，在多輸入多輸出系統(tǒng)中，狀態(tài)空間模型則更適用[38-39]。

為了驗(yàn)證并對(duì)比不同方法在實(shí)際應(yīng)用中的區(qū)別以及適用性，本文對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)與仿真分析。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容如下：已知某型炮彈及引信是通過螺紋剛性連接，獲得了炮彈在彈底受到的軸向沖擊與引信部位產(chǎn)生的軸向響應(yīng)的相關(guān)數(shù)據(jù)，對(duì)炮彈底部到引信部位的響應(yīng)傳遞進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，以求得其彈底到引信的傳遞函數(shù)。

仿真部分使用的軟件為Matlab 2019b，本文調(diào)用了Matlab 2019b中內(nèi)置系統(tǒng)辨識(shí)工具箱，其中上述算法的相關(guān)函數(shù)已整合為庫函數(shù)供用戶直接調(diào)用，并且可以選擇性使用內(nèi)置的UI程序進(jìn)行交互。由于計(jì)算量不高，分別使用了多種辨識(shí)方法進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比[40-42]。

已有數(shù)據(jù)是在1×10-5s的采樣間隔下，記錄的1 204組輸入輸出數(shù)據(jù)。使用Matlab 2019b軟件對(duì)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理與分析，根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制的時(shí)間-響應(yīng)圖像如圖1所示。

圖1 時(shí)間-響應(yīng)圖像Fig.1 Time-response graph

仿真結(jié)果中，u1為彈體受到的沖擊加速度，y1為引信體受到的沖擊加速度。在引信彈體系統(tǒng)中，引信各部分以及彈體各部分間使用螺紋連接，系統(tǒng)的輸入振動(dòng)以波的形式通過彈體結(jié)構(gòu)以及螺紋傳遞給引信結(jié)構(gòu)，實(shí)驗(yàn)中將該系統(tǒng)視為線性系統(tǒng)，將輸入輸出數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)。鑒于對(duì)傳感器固定方式及引信內(nèi)部結(jié)構(gòu)沒有了解，遂使用黑箱法，即在不考慮物理學(xué)先驗(yàn)知識(shí)的前提下進(jìn)行辨識(shí)。由于系統(tǒng)的輸入為振動(dòng)信號(hào)，因此選擇使用線性參數(shù)化辨識(shí)模型作為系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu)，即將收集到的傳感器數(shù)據(jù)經(jīng)過預(yù)處理后分別使用傳遞函數(shù)模型、狀態(tài)空間模型、過程數(shù)學(xué)模型以及多項(xiàng)式模型進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，通過對(duì)模型中的自定義參數(shù)進(jìn)行設(shè)置來得到不同擬合度的曲線，然后選擇性地在圖像中展示了幾種不同擬合度的結(jié)果，圖中標(biāo)有數(shù)字序號(hào)的代表仿真計(jì)算出的響應(yīng)曲線。實(shí)驗(yàn)中將70%的擬合度定為可接受的擬合度，在這個(gè)數(shù)值附近或大于這個(gè)數(shù)值，則認(rèn)為傳遞函數(shù)表達(dá)式可以較為準(zhǔn)確地表征原始系統(tǒng)。為方便觀察辨識(shí)曲線的差異，對(duì)不同辨識(shí)方法的結(jié)果曲線均取前30%進(jìn)行放大與原曲線進(jìn)行對(duì)比。

圖2為根據(jù)實(shí)驗(yàn)輸入輸出數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制的引信部位實(shí)際響應(yīng)的加速度-時(shí)間圖像。下文使用不同系統(tǒng)辨識(shí)模型對(duì)彈體引信進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，得到的擬合度數(shù)據(jù)為仿真結(jié)果相對(duì)實(shí)際響應(yīng)的準(zhǔn)確程度。

圖2 實(shí)際響應(yīng)曲線Fig.2 Actual response curve

圖3為使用傳遞函數(shù)模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模的仿真結(jié)果。結(jié)果顯示仿真曲線與實(shí)際模型曲線有一定的差異，擬合度最高在72%左右，該表達(dá)式分母為五階，分子為三階，擬合度滿足要求且表達(dá)式簡潔，故使用傳遞函數(shù)模型表征系統(tǒng)較為合適。

圖3 傳遞函數(shù)模型仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of transfer function model

圖4為使用狀態(tài)空間模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模的仿真結(jié)果，從辯識(shí)結(jié)果可以看出，實(shí)線仿真曲線與實(shí)際模型響應(yīng)曲線差別較小，該曲線是在將模型階次設(shè)置在30次附近時(shí)所得，擬合度可以達(dá)到71%左右，該擬合度相對(duì)較高，但是30階模型得到的系數(shù)矩陣的規(guī)模達(dá)到了30×30，過于復(fù)雜，故適用性不高。

圖4 狀態(tài)空間模型仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of state space model

圖5為使用過程數(shù)學(xué)模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模的仿真結(jié)果。經(jīng)過仿真，得到過程數(shù)學(xué)模型的最大擬合度在58%左右，雖然得出的傳遞函數(shù)表達(dá)式簡潔，但是曲線擬合度低于70%，故認(rèn)為此模型不適用于該實(shí)驗(yàn)。

圖5 過程數(shù)學(xué)模型仿真結(jié)果 Fig.5 Simulation results of process model

圖6為使用多項(xiàng)式模型中的ARX子模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模的仿真結(jié)果。圖中四條曲線中有三條擬合度較高，其中實(shí)線擬合度超過了90%。由圖像可以得到結(jié)論：該系統(tǒng)在ARX模型建模下，隨著對(duì)極點(diǎn)零點(diǎn)數(shù)目配置的提高，其擬合度會(huì)逐漸上升，最終達(dá)到94%左右，此時(shí)擬合度完全滿足要求，但該傳遞函數(shù)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)達(dá)到了300項(xiàng)以上，計(jì)算量龐大且表達(dá)式繁瑣，故不推薦采用此方法。

圖6 ARX模型仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of ARX model

圖7為使用多項(xiàng)式模型中的ARMAX子模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模的仿真結(jié)果。使用ARMAX模型仿真出的傳遞函數(shù)擬合度在70%左右，但在零點(diǎn)極點(diǎn)個(gè)數(shù)達(dá)到上百個(gè)時(shí)，計(jì)算速度明顯慢于ARX模型，故ARMAX模型同樣不適用于該系統(tǒng)。

圖7 ARMAX模型仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of ARMAX model

圖8為使用多項(xiàng)式模型中的OE子模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模的結(jié)果，可以看到，當(dāng)使用OE模型仿真時(shí)，模型階次設(shè)置為10次時(shí)，擬合度最高達(dá)到80%左右。傳遞函數(shù)的項(xiàng)數(shù)為11項(xiàng)，相對(duì)于之前的ARX以及ARMX模型在80%擬合度時(shí)，計(jì)算量最??；相對(duì)于傳遞函數(shù)模型擬合度更高，表達(dá)式也比較簡潔，因此OE模型對(duì)于炮彈引信振動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)的辨識(shí)來說也是一種適用的方法。

圖8 OE模型仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of OE model

圖9為使用多項(xiàng)式模型中的BJ子模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模的仿真結(jié)果。BJ模型在模型階數(shù)達(dá)到30上下時(shí)，擬合度可以達(dá)到80%左右，此時(shí)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)在60項(xiàng)左右。模型簡潔程度要次于OE模型。綜上所述，本研究中不同模型的擬合度和表達(dá)式復(fù)雜度如表2所示。

表2 傳遞函數(shù)擬合度Tab.2 Transfer functions’ fitting degree

圖9 BJ模型仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results of BJ model

從以上仿真結(jié)果可以看到，在彈體引信模型的系統(tǒng)辨識(shí)研究中，使用傳遞函數(shù)模型和OE模型獲取系統(tǒng)傳遞函數(shù)，可以做到在傳遞函數(shù)表達(dá)式簡潔的同時(shí)，達(dá)到相對(duì)較高的擬合度，故選該模型來計(jì)算系統(tǒng)傳遞函數(shù)比較合適。

4 結(jié)論

系統(tǒng)辨識(shí)作為系統(tǒng)特性研究中的重要手段，近幾年來發(fā)展迅速，特別是針對(duì)線性系統(tǒng)的辨識(shí)方法已經(jīng)發(fā)展成熟。在辨識(shí)的過程中，需要根據(jù)不同實(shí)際情況對(duì)辨識(shí)方法進(jìn)行選擇以便得到更好的擬合函數(shù)，系統(tǒng)模型的選擇和參數(shù)辨識(shí)算法的選擇在這個(gè)過程中至關(guān)重要，合適的模型算法可以更輕松地得到擬合度高的函數(shù)。

本文詳細(xì)介紹了線性系統(tǒng)的辨識(shí)模型，并歸納總結(jié)了不同模型的特點(diǎn)與適用范圍。在簡單系統(tǒng)受到脈沖輸入的實(shí)驗(yàn)條件下(如瞬時(shí)沖擊)可首先使用線性非參數(shù)化模型；在簡單系統(tǒng)受到非脈沖輸入條件(如振動(dòng))可以首先使用傳遞函數(shù)模型；在多輸入多輸出系統(tǒng)的辨識(shí)中，可以使用狀態(tài)空間模型以及子空間辨識(shí)算法；在已知傳遞函數(shù)符合傳遞函數(shù)模型且模型中部分階次項(xiàng)系數(shù)已知時(shí)，可采用過程數(shù)學(xué)模型；在復(fù)雜系統(tǒng)階次較高或?qū)ο到y(tǒng)結(jié)構(gòu)已知不多時(shí)，建議首先嘗試多項(xiàng)式模型。最后，本文開展了基于實(shí)際應(yīng)用的系統(tǒng)辨識(shí)算法研究，結(jié)果表明，研究炮彈引信系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)及特性相似的系統(tǒng)時(shí)，可以首先嘗試使用傳遞函數(shù)以及OE方法進(jìn)行建模。