卓 然，王未卿

(1.浙江特殊教育職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，浙江 杭州 310023；2.北京科技大學(xué) 東凌經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100083)

0 引 言

樽海鞘群算法SSA是一種全新智能優(yōu)化算法[1]，其思想源于樽海鞘的聚集行為。該生物通過(guò)吸收海水的推動(dòng)力移動(dòng)，并以鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)順次跟隨。樽海鞘可劃分為兩個(gè)群組：領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者。鏈?zhǔn)诪轭I(lǐng)導(dǎo)者，在搜索食物源中具備最優(yōu)判斷，主導(dǎo)種群移動(dòng)。其它稱(chēng)為追隨者，追隨者相互跟隨，相互領(lǐng)導(dǎo)。每次迭代中，樽海鞘按適應(yīng)性排序，個(gè)體相互跟隨，而非所有個(gè)體只向當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體移動(dòng)，降低了搜索過(guò)程陷入局部最優(yōu)的概率，其尋優(yōu)精度和收斂性能優(yōu)于傳統(tǒng)粒子群算法、遺傳算法、蟻群算法、灰狼優(yōu)化算法。此外，SSA的控制參數(shù)相對(duì)更少，大大減少了算法對(duì)控制參數(shù)的依賴(lài)。同時(shí)，其模型更為簡(jiǎn)單，已廣泛應(yīng)用于光伏系統(tǒng)功率控制[2]、無(wú)源時(shí)差定位[3]、網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)[4]、頻譜分配[5]、工程優(yōu)化[6]和圖像分割[7]等領(lǐng)域。然而，傳統(tǒng)SSA依然存在尋優(yōu)精度不高、易于陷入局部最優(yōu)的不足，主要體現(xiàn)在：①隨機(jī)種群初始化無(wú)法確保初始種群在空間中的均勻分布；②執(zhí)行全局搜索的領(lǐng)導(dǎo)者只受目標(biāo)位置引導(dǎo)，雖然收斂較快，但搜索不充分，遍歷性不足。而執(zhí)行局部開(kāi)發(fā)的追隨者會(huì)在領(lǐng)導(dǎo)者已知最優(yōu)區(qū)域內(nèi)做精細(xì)搜索，但跨度不足，在領(lǐng)導(dǎo)者無(wú)法獲得全局最優(yōu)時(shí)無(wú)法跳出局部區(qū)域，開(kāi)辟新空間，尋優(yōu)精度受到影響；③傳統(tǒng)SSA中領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者規(guī)模的固定劃分模式無(wú)法實(shí)現(xiàn)局部開(kāi)發(fā)和全局勘探、搜索速度與遍歷、精度及擾動(dòng)的均衡，使得搜索過(guò)程無(wú)法穩(wěn)定獲取目標(biāo)精度和收斂速度。

1 相關(guān)工作

針對(duì)SSA的不足，文獻(xiàn)[8]引入混沌映射到SSA中，以混沌序列替代位置更新的隨機(jī)變量，融合動(dòng)態(tài)特性提升算法搜索能力。文獻(xiàn)[9]則將單純形法引入SSA中，在確定種群多樣性的同時(shí)，可以有效提高個(gè)體的局部開(kāi)發(fā)能力。文獻(xiàn)[10]在領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者更新階段分別引入衰減因子和動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)機(jī)制對(duì)SSA進(jìn)行改進(jìn)，有效增強(qiáng)了局部開(kāi)發(fā)和全局搜索能力。文獻(xiàn)[11]在食物源和追隨者的位置更新方式中分別引入瘋狂算子和自適應(yīng)慣性權(quán)重，在提升種群多樣性的同時(shí)，使SSA具有更優(yōu)更均衡的局部開(kāi)發(fā)和全局搜索能力，尋優(yōu)精度和收斂速度均有所增強(qiáng)。文獻(xiàn)[12]調(diào)整了領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者位置更新中的隨機(jī)參數(shù)，使領(lǐng)導(dǎo)者個(gè)體能夠更好的趨向最優(yōu)解，提升SSA的尋優(yōu)精度。文獻(xiàn)[13]將粒子群算法與SSA進(jìn)行融合，利用粒子尋優(yōu)的靈活性和多樣性提升算法的全局尋優(yōu)能力。文獻(xiàn)[14]則將模擬退火的思路引入SSA中，在多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題上進(jìn)一步提升的算法的尋優(yōu)效率。

以上對(duì)于樽海鞘群算法的改進(jìn)雖然可以在某一方面作出優(yōu)化，但在局部開(kāi)發(fā)和全局勘探的均衡、收斂速度、如何避免陷入局部最優(yōu)及提升尋優(yōu)精度等綜合性能方面仍然具有許多不足。尤其，在實(shí)際問(wèn)題優(yōu)化中，求解的問(wèn)題往往是高維度單峰、高維度多峰式的復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題，解決這類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題，樽海鞘群算法SSA的尋優(yōu)精度和求解效率需要進(jìn)一步全面提升。為了進(jìn)一步提高SSA的尋優(yōu)精度和收斂速度，盡可能避免局部收斂與個(gè)體早熟，以更加均衡的方式協(xié)調(diào)樽海鞘個(gè)體的局部開(kāi)發(fā)和全局勘探過(guò)程，本文主要改進(jìn)工作體現(xiàn)如下：

(1)設(shè)計(jì)了基于改進(jìn)混沌Tent映射機(jī)制的種群初始化方法，使個(gè)體盡可能均勻分布于搜索空間內(nèi)；

(2)設(shè)計(jì)了基于Logistic映射的領(lǐng)導(dǎo)者更新機(jī)制，有效增強(qiáng)種群多樣性；

(3)設(shè)計(jì)了基于動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)機(jī)制的追隨者更新機(jī)制，使算法跳出局部最優(yōu)，擴(kuò)大搜索范圍，提升全局搜索能力；

(4)設(shè)計(jì)了領(lǐng)導(dǎo)者/追隨者種群規(guī)模的自適應(yīng)調(diào)整機(jī)制，有效均衡個(gè)體的局部開(kāi)發(fā)和全局勘探能力。

2 樽海鞘群算法SSA

SSA算法中，個(gè)體位置矢量X用于在n維空間中搜索，n相當(dāng)于決策變量數(shù)量。樽海鞘種群由N個(gè)維度為n的個(gè)體構(gòu)成。因此，樽海鞘種群由以下矩陣構(gòu)成

(1)

對(duì)于SSA，追蹤食物源是所有樽海鞘個(gè)體的目標(biāo)。因此，領(lǐng)導(dǎo)者位置更新方式為

(2)

其中，x1,j表示領(lǐng)導(dǎo)者的j維位置，F(xiàn)j表示食物源的j維位置，ubj和lbj分別為搜索維度j的上限和下限，c2、c3為[0,1]間的隨機(jī)數(shù)，決定j維更新位置的移動(dòng)方向(正向或反向)及移動(dòng)步長(zhǎng)。c1為收斂因子，用于均衡方法迭代過(guò)程中樽海鞘個(gè)體的局部開(kāi)發(fā)和全局勘探能力。式(2)表明，領(lǐng)導(dǎo)者的位置更新主要由食物源的位置決定。收斂因子c1定義為

c1=2e-(4t/Tmax)2

(3)

其中，t為當(dāng)前迭代，Tmax為最大迭代。

追隨者位置的更新方式為

(4)

其中，i≥2，xi,j表示追隨者的j維位置，Δt表示時(shí)間，v0表示追隨者的初始速率，加速度a=(vfinal-v0)/Δt， 其中，vfinal=(xi-1,j-xi,j)/Δt，xi-1,j表示第i-1個(gè)樽海鞘在j維的位置。由于時(shí)間是迭代次數(shù)之差，故Δt=1。而每次迭代開(kāi)始時(shí)，追隨者初始速度v0=0，故追隨者位置更新可表示為

xi,j=xi,j+xi-1,j/2

(5)

式(5)表明：追隨者i的j維位置更新等于上一迭代中該樽海鞘對(duì)應(yīng)的位置與追隨者i-1的j維位置之和的一半。

3 改進(jìn)樽海鞘群算法CDSSA

3.1 基于改進(jìn)Tent映射的種群初始化

初始種群直接影響群體智能算法的收斂速度和尋優(yōu)精度。傳統(tǒng)的SSA的種群初始化主要以隨機(jī)方式生成。而隨機(jī)化初始化種群無(wú)法確保種群在搜索空間中的均勻分布。混沌序列呈現(xiàn)規(guī)律性、隨機(jī)性和遍歷性等特點(diǎn)。比較完全隨機(jī)化，融合混沌序列的樽海鞘群初始種群具有更好的多樣性。混沌序列的主要思想是通過(guò)在區(qū)間[0,1]間的映射關(guān)系產(chǎn)生混沌序列，并將其轉(zhuǎn)換至種群的搜索空間中?；煦缧蛄械纳煞绞接卸喾N，以Tent映射生成序列均勻性更好。但Tent映射生成的混沌序列存在小周期和不確定周期點(diǎn)的不足。綜合考慮以上問(wèn)題，結(jié)合完全隨機(jī)化特點(diǎn)，將傳統(tǒng)Tent混沌映射中添加隨機(jī)變量r/N，得到Tent映射為

(6)

式中：i表示種群規(guī)模，i=1,2,…,N，j表示混沌序號(hào)，j=1,2,…,d，r表示[0,1]間的隨機(jī)數(shù)，μ表示混沌參數(shù)，μ∈[0,2]，μ值越大，混沌性能越優(yōu)，式(6)即為一種混沌系統(tǒng)。對(duì)式(6)取相應(yīng)初始值后，即可得到d個(gè)混沌序列di,j。 然后對(duì)混沌序列進(jìn)行逆映射，即可生成種群個(gè)體的位置變量xi,j， 表示為

xi,j=lbj+yi,j×(ubj-lbj)

(7)

式中： [lbj,ubj] 表示個(gè)體位置xi,j的搜索范圍。

3.2 基于Logistic映射的領(lǐng)導(dǎo)者更新

SSA中，領(lǐng)導(dǎo)者以食物源為目標(biāo)進(jìn)行全局搜索。然而，以食物源為牽引的領(lǐng)導(dǎo)者更新可以加速算法收斂，但其全局勘探不夠充分，遍歷性不足，且受初始種群影響較大，易于陷入局部最優(yōu)。由式(2)可知，領(lǐng)導(dǎo)者更新主要受收斂因子c1和縮放因子c2的影響，c1隨迭代數(shù)變化，而c2是均勻分布的隨機(jī)量，決定算法全局勘探范圍。然而，完全隨機(jī)搜索存在盲目性，會(huì)導(dǎo)致全局勘探階段中的領(lǐng)導(dǎo)者位置準(zhǔn)確性較低。本文引入混沌Losgitic映射提升領(lǐng)導(dǎo)者搜索的有效性，在每一次迭代中生成偽隨機(jī)分布狀態(tài)值，擴(kuò)展SSA搜索過(guò)程的隨機(jī)性以及遍歷性，實(shí)現(xiàn)比完全均勻分布更為合理的搜索過(guò)程。

如前文所述，混沌是一種非線性的動(dòng)態(tài)隨機(jī)非重復(fù)決策系統(tǒng)，表征對(duì)初始條件的敏感性，是一種無(wú)限非穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。由于混沌的可遍歷性及非重復(fù)性，它可以更有效實(shí)現(xiàn)比隨機(jī)搜索(由隨機(jī)值c2決定)更為廣泛的搜索過(guò)程。將混沌系統(tǒng)融入SSA的領(lǐng)導(dǎo)者位置更新中可以增強(qiáng)算法的搜索能力，更好預(yù)防陷入局部最優(yōu)解。算法利用Logistic 混沌映射生成混沌序列，形式化為

Ch(t+1)=β×Ch(t)×(1-Ch(t))

(8)

其中，Ch即為生成的[0,1]間的混沌值，迭代初始時(shí)的混沌初值Ch0在每次獨(dú)立運(yùn)行過(guò)程中隨機(jī)生成，但不可取值為0、0.25、0.5、0.75和1，這是由Logistic混沌映射的非周期性決定的。β取值為4，在迭代趨向無(wú)窮時(shí)，用于控制混沌值的行為。對(duì)于可變的β取值的Logistic映射行為如圖1所示。對(duì)于較小的β取值，即β<3，混沌值Ch始終收斂在單一量上。當(dāng)β=3時(shí)，混沌值Ch開(kāi)始在兩個(gè)取值間振蕩，這一特征行為改變稱(chēng)為分歧點(diǎn)。對(duì)于β>3時(shí)，Ch進(jìn)一步出現(xiàn)分歧，并導(dǎo)致最終的混沌行為。

圖1 Logistic映射

基于Logistic映射的領(lǐng)導(dǎo)者位置更新方式如下

(9)

3.3 基于動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)的追隨者更新

SSA中，追隨者完成局部開(kāi)發(fā)過(guò)程。由式(5)可知，SSA的追隨者位置更新不受任意隨機(jī)參數(shù)的影響，完全取決于樽海鞘個(gè)體的前次迭代位置和緊鄰的前一個(gè)體位置的影響，與領(lǐng)導(dǎo)者位置不發(fā)生直接作用。這種首尾相連機(jī)制可以使算法進(jìn)行充分的局部開(kāi)發(fā)過(guò)程。若領(lǐng)導(dǎo)者未陷入局部最優(yōu)，可以尋得全局最優(yōu)，追隨者順勢(shì)可以在最優(yōu)解區(qū)域進(jìn)一步做精細(xì)搜索，可以避免全局最優(yōu)區(qū)域內(nèi)的小范圍局部最優(yōu)解，尋優(yōu)精度更極致。然而，當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者陷入局部最優(yōu)時(shí)，追隨者在局部最優(yōu)區(qū)域的精細(xì)搜索會(huì)導(dǎo)致搜索無(wú)法跳出局部最優(yōu)，尋優(yōu)精度和整體穩(wěn)定性都會(huì)受影響。為了增強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)者精英個(gè)體對(duì)于追隨者的影響，引入動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)機(jī)制的追隨者更新機(jī)制。具體方法是：首先，比較前次迭代中個(gè)體位置xi,j和相鄰個(gè)體位置xi-1,j的適應(yīng)度，在適應(yīng)度較大的位置上(即離最優(yōu)值距離較遠(yuǎn)的位置)引入慣性權(quán)重w，降低適應(yīng)度較差個(gè)體位置的影響權(quán)重，而增加適應(yīng)度較優(yōu)的個(gè)體位置的影響權(quán)重?；趧?dòng)態(tài)學(xué)習(xí)自適應(yīng)慣性權(quán)重的追隨者位置更新方式為

(10)

式中：w表示學(xué)習(xí)權(quán)重，隨迭代次數(shù)發(fā)生改變，定義為

w=(Tmax-t)/Tmax

(11)

3.4 種群自適應(yīng)劃分機(jī)制

SSA中，若樽海鞘種群規(guī)模為N，領(lǐng)導(dǎo)者是樽海鞘種群中鏈?zhǔn)孜恢玫膫€(gè)體，數(shù)量為1，剩余個(gè)體均為追隨者個(gè)體，故數(shù)量為N-1。極少的領(lǐng)導(dǎo)者導(dǎo)致算法迭代早期進(jìn)行全局勘探的領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)量極度不足，追隨者數(shù)量過(guò)高，全局勘探不充分，局部開(kāi)發(fā)過(guò)于精細(xì)，易于陷入局部最優(yōu)；而在迭代晚期則正好相反，局部開(kāi)發(fā)過(guò)程缺乏，尋優(yōu)精度過(guò)低。為了解決這一問(wèn)題，引入種群自適應(yīng)劃分機(jī)制，利用正切三解函數(shù)的非線性控制方法，將樽海鞘種群中領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者數(shù)量做自適應(yīng)調(diào)整，使領(lǐng)導(dǎo)的規(guī)模隨迭代次數(shù)自適應(yīng)遞減趨勢(shì)，追隨者數(shù)量相應(yīng)隨迭代次數(shù)自適應(yīng)遞增，使SSA在迭代早期側(cè)重于多領(lǐng)導(dǎo)者的全局勘探，提升收斂速度，而晚期側(cè)重于多追隨者的局部開(kāi)發(fā)，提升尋優(yōu)精度。具體數(shù)量計(jì)算如下：

種群中領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)量為N×P，追隨者數(shù)量為 (1-P)×N，P表示比例因子，定義為

(12)

式中：Pini表示比例初值，Pfinal表示比例終值，ξ表示調(diào)節(jié)系數(shù)，ξ>0?？芍?，比例因子P隨著迭代數(shù)呈非線性改變，可以動(dòng)態(tài)變更種群中領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者的配比，從而均衡算法的局部開(kāi)發(fā)和全局勘探能力。

3.5 算法步驟

CDSSA算法的執(zhí)行步驟如下：

步驟1 參數(shù)初始化，具體包括：種群規(guī)模N、最大迭代Tmax、收斂因子c1、隨機(jī)變量r和c3、混沌值Ch、調(diào)節(jié)系數(shù)ξ、比例因子初值Pini、比例因子終值Pfinal、慣性權(quán)重w、位置上限值ub和位置下限值lb。

步驟2 利用3.1節(jié)改進(jìn)Tent映射機(jī)制實(shí)現(xiàn)樽海鞘群中個(gè)體位置的初始化操作。

步驟3 根據(jù)基準(zhǔn)函數(shù)計(jì)算初始樽海鞘群中所有N個(gè)樽海鞘個(gè)體的適應(yīng)度。

步驟4 確定食物源位置。根據(jù)初始種群中個(gè)體的適應(yīng)度，對(duì)所有樽海鞘個(gè)體進(jìn)行降序排列，將適應(yīng)度值最小即最優(yōu)調(diào)度解的樽海鞘個(gè)體作為當(dāng)前種群中的食物源位置。

步驟5 確定領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者。除食物源之外，將種群中剩余排序的N-1個(gè)樽海鞘個(gè)體作為領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者。具體地，根據(jù)種群自適應(yīng)劃分機(jī)制計(jì)算比例因子P，根據(jù)3.4節(jié)中的方法確定領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)量和追隨者數(shù)量。

步驟6 領(lǐng)導(dǎo)者位置更新。根據(jù)式(8)計(jì)算混沌值Ch，根據(jù)式(9)更新領(lǐng)導(dǎo)者位置。

步驟7 追隨者位置更新。根據(jù)式(11)計(jì)算慣性權(quán)重w，根據(jù)式(10)更新領(lǐng)導(dǎo)者位置。

步驟8 重新計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度。重新計(jì)算領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者更新后的適應(yīng)度，從中選擇適應(yīng)度最小的個(gè)體，將其適應(yīng)度與食物源位置適應(yīng)度比較，若該適應(yīng)度小于原食物源適應(yīng)度，則將該個(gè)體作為新食物源位置；否則，保留原食物源位置。同時(shí)，根據(jù)步驟6和步驟7中的方法更新領(lǐng)導(dǎo)者個(gè)體和追隨者個(gè)體位置。

步驟9 若未達(dá)到預(yù)設(shè)最大迭代次數(shù)，則返回步驟5執(zhí)行；否則，結(jié)束迭代，輸出食物源代表的最優(yōu)解。

圖2是CDSSA算法的完整執(zhí)行流程。

圖2 CDSSA算法流程

4 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境及測(cè)試函數(shù)

搭建數(shù)值仿真驗(yàn)證算法有效性，測(cè)試過(guò)程側(cè)重關(guān)注對(duì)于SSA中領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者的更新機(jī)制。將基于混沌Logistic映射的領(lǐng)導(dǎo)者更新的樽海鞘群算法命名為CLSSA，將基于動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)權(quán)重的追隨者更新的樽海鞘群算法命名為DWSSA，CDSSA算法則是本文設(shè)計(jì)的全面改進(jìn)算法，3種算法在種群初始化和領(lǐng)導(dǎo)者與追隨者規(guī)模更新方面均采用本文在3.1節(jié)和3.4節(jié)中設(shè)計(jì)的方法。選取典型的10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真，相關(guān)屬性見(jiàn)表1，包括函數(shù)表達(dá)式、搜索區(qū)間、函數(shù)維度、理論最優(yōu)值及搜索的目標(biāo)精度等要素。測(cè)試函數(shù)中，單峰值函數(shù)f1(x)～f5(x) 可測(cè)試尋優(yōu)精度，多峰值函數(shù)f6(x)～f10(x) 可測(cè)試全局尋優(yōu)能力和收斂速度。對(duì)于連續(xù)多峰值函數(shù)，隨著函數(shù)維度遞增，其局部極值點(diǎn)會(huì)呈現(xiàn)指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。

表1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

表2給出改進(jìn)樽海鞘群算法的相關(guān)參數(shù)配置。仿真實(shí)驗(yàn)執(zhí)行環(huán)境為Intel(R) Core i7 CPU 3.0 G，內(nèi)存4 GB，64位微軟操作系統(tǒng)WIN10，數(shù)值仿真軟件為Matlab 2014a。

表2 SSA算法的參數(shù)

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)一觀察CLSSA算法、DWSSA算法、CDSSA算法以及基本SSA算法的性能，通過(guò)設(shè)置固定的算法迭代次數(shù)，觀測(cè)算法的收斂速度和尋優(yōu)精度變化。如圖3所示是4種算法在10個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試下的收斂曲線，此時(shí)測(cè)試函數(shù)維度為30維。可以看出，CLSSA算法、DWSSA算法和CDSSA算法都可以在若干次的迭代過(guò)程之后逐步接近于目標(biāo)函數(shù)的理論最優(yōu)解，且3種算法的無(wú)論尋優(yōu)精度還是收斂速度都要優(yōu)于SSA。同時(shí)可以觀測(cè)到，迭代約220次后，CLSSA算法曲線的下降趨勢(shì)變得逐步明顯起來(lái)，說(shuō)明CLSSA收斂速度明顯加快。在多峰值函數(shù)測(cè)試結(jié)果中，可以看到該算法在避免局部最優(yōu)以及迭代晚期的收斂速度方面要明顯優(yōu)于SSA。DWSSA則明顯不同，其早期迭代時(shí)的下降速度更快，迭代后期逐步變得穩(wěn)定，在部分測(cè)試函數(shù)上其尋優(yōu)精度和收斂速度也是明顯優(yōu)于SSA的。綜合10個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)的測(cè)試結(jié)果來(lái)看，在領(lǐng)導(dǎo)者、追隨者位置更新方式以及種群自適應(yīng)劃分優(yōu)化機(jī)制下的CDSSA算法基本具有最佳的尋優(yōu)精度和最快的收斂速度。

圖3 算法的收斂情況

表3是算法在10個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)下測(cè)試得到的收斂精度結(jié)果，包括適應(yīng)度的最大值、最小值、均值和標(biāo)準(zhǔn)方差。可以看出，CLSSA和DWSSA兩種算法的收斂精度較傳統(tǒng)SSA的基礎(chǔ)均得到了提高，個(gè)體基準(zhǔn)函數(shù)的測(cè)試上CDSSA與尋優(yōu)精度與CLSSA相當(dāng)，但多數(shù)基準(zhǔn)函數(shù)(單峰值函數(shù)和多峰值函數(shù))的測(cè)試中CDSSA擁有最佳的精度表現(xiàn)。對(duì)于多峰值基準(zhǔn)函數(shù)而言，CDSSA的尋優(yōu)精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)的樽海鞘群算法SSA，這說(shuō)明本文所采取的四方面的改進(jìn)機(jī)制是有效可行的。

表3 算法的尋優(yōu)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)二觀察本文涉及的CLSSA算法、DWSSA算法、CDSSA算法以及基本SSA算法在固定目標(biāo)收斂精度的同時(shí)，算法達(dá)到該尋優(yōu)精度時(shí)所需要進(jìn)行算法迭代次數(shù)和尋優(yōu)成功率。尋優(yōu)成功率[11]表示計(jì)算成功次數(shù)與實(shí)驗(yàn)求解次數(shù)之比，求解是否成功的判定標(biāo)準(zhǔn)為

(13)

式中：FA為實(shí)際求解最優(yōu)解，F(xiàn)T為基準(zhǔn)函數(shù)理論最優(yōu)解。

表4是測(cè)試結(jié)果，函數(shù)維度為30，最大迭代數(shù)為500，取30次獨(dú)立運(yùn)行的實(shí)驗(yàn)結(jié)果均值進(jìn)行比較。若達(dá)到最大迭代次算法運(yùn)行結(jié)果仍然沒(méi)有達(dá)到所需的尋優(yōu)精度，則將迭代次數(shù)定義為最大迭代次數(shù)。從表中結(jié)果可以看到，未作任何優(yōu)化的傳統(tǒng)SSA在前500次迭代中基本無(wú)法達(dá)到目標(biāo)尋優(yōu)精度，其成功率基本為0，說(shuō)明該算法在處理復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)仍然存在尋優(yōu)精度低的問(wèn)題，性能有待提升。此外，在處理多峰值基準(zhǔn)函數(shù)時(shí)，DWSSA算法的尋優(yōu)成功率平均高于65%以上，說(shuō)明該算法處理多峰函數(shù)優(yōu)化時(shí)性能表現(xiàn)較好。CLSSA的尋優(yōu)成功率基本穩(wěn)定在100%，說(shuō)明領(lǐng)導(dǎo)者位置更新主導(dǎo)了樽海鞘群算法中種群的尋優(yōu)方向，對(duì)于該部分的優(yōu)化可以加速傳統(tǒng)SSA的收斂速度。而本文的綜合算法CDSSA的尋優(yōu)成功率不僅穩(wěn)定在100%，且其得到目標(biāo)尋優(yōu)精度時(shí)所需要的迭代次數(shù)也是遠(yuǎn)小于另外兩種算法的，說(shuō)明處理復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，該算法能夠有效提升尋優(yōu)精度和收斂速度。

表4 尋優(yōu)成功率及收斂迭代數(shù)

實(shí)驗(yàn)三觀察本文算法與同類(lèi)型的SSA改進(jìn)算法、較新的灰狼優(yōu)化算法的性能對(duì)比情況。SSA的改進(jìn)算法選取文獻(xiàn)[10]的RDSSA、文獻(xiàn)[11]的CASSA和文獻(xiàn)[12]的ESSA進(jìn)行性能對(duì)比研究，灰狼優(yōu)化算法選取文獻(xiàn)[15]中的基于精英對(duì)立學(xué)習(xí)與混沌擾動(dòng)融合的混合灰狼優(yōu)化算法HGWO、文獻(xiàn)[16]中的混合差分進(jìn)化策略的灰狼優(yōu)化算法DEGWO進(jìn)行性能對(duì)比。測(cè)試過(guò)程中，種群規(guī)模、迭代最大次數(shù)和函數(shù)維度設(shè)置相同。表5是6種算法在10個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)中計(jì)算得到的適應(yīng)度的平均值和標(biāo)準(zhǔn)方差，前者可以衡量算法的尋優(yōu)精度，后者可以衡量算法尋優(yōu)穩(wěn)定性。從結(jié)果可以看出，在絕大多數(shù)的單峰值函數(shù)和多峰值函數(shù)測(cè)試下，CDSSA算法在尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性上均要優(yōu)于同類(lèi)型的改進(jìn)SSA算法和灰狼優(yōu)化算法?；诨依莾?yōu)化算法的改進(jìn)算法與樽海鞘群算法的改進(jìn)表現(xiàn)上各有不同，總體來(lái)說(shuō)SSA的平均性能要好于灰狼算法，這取決于改進(jìn)機(jī)制。較為全面的改進(jìn)算法CDSSA的性能明顯優(yōu)于兩種灰狼優(yōu)化算法的改進(jìn)，而ESSA改進(jìn)較為局部性，其性能不如融合了差分進(jìn)化的灰狼優(yōu)化算法。

表5 同類(lèi)算法的對(duì)比結(jié)果

進(jìn)一步引入平均絕對(duì)誤差MAE指標(biāo)[17]輔證對(duì)比算法的性能，該指標(biāo)是在所有10個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)的基礎(chǔ)上計(jì)算得到。MAE指標(biāo)的計(jì)算公式為

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其中，mi為測(cè)試算法在基準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試中產(chǎn)生的最優(yōu)解的均值，oi為基準(zhǔn)函數(shù)的理論最優(yōu)解，Nf為測(cè)試基準(zhǔn)函數(shù)的數(shù)量，本實(shí)驗(yàn)取值為10。表6是6種算法的MAE指標(biāo)表現(xiàn)，明顯地，本文的CDSSA算法表現(xiàn)是最佳的，驗(yàn)證了算法的有效性。

表6 MAE指標(biāo)表現(xiàn)

5 結(jié)束語(yǔ)

提出一種基于混沌映射與動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)機(jī)制的自適應(yīng)樽海鞘群算法CDSSA。算法采用了改進(jìn)混沌Tent映射進(jìn)行種群初始化，利用Logistic映射的領(lǐng)導(dǎo)者更新機(jī)制，提升種群多樣性；同時(shí)，設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)追隨者更新機(jī)制，使算法跳出局部最優(yōu)，提升全局搜索能力，并利用領(lǐng)導(dǎo)者/追隨者種群規(guī)模的自適應(yīng)調(diào)整機(jī)制，有效均衡局部開(kāi)發(fā)和全局勘探能力。大規(guī)模數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果驗(yàn)證，改進(jìn)樽海鞘群算法在尋優(yōu)精度和收斂速度上均有較大提升，符合算法設(shè)計(jì)的性能改進(jìn)初衷。