迭代運(yùn)算使不連續(xù)映射變?yōu)楣饣成?/h1>
2021-07-21 01:30:48劉曉華羅天琦
劉曉華，羅天琦
1.樂(lè)山師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000；2.樂(lè)山師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000
迭代運(yùn)算是數(shù)學(xué)中的重要運(yùn)算之一，它在許多復(fù)雜的問(wèn)題，如分岔、混沌和分形[1-3]問(wèn)題、多項(xiàng)式[4-8]、擬多項(xiàng)式[9-10]、線性分式[11]和有理函數(shù)[12]等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用.在一維的情況下，高次迭代的計(jì)算也是一項(xiàng)復(fù)雜的工作.隨著C0映射迭代理論的發(fā)展[13-14]，人們也逐漸開(kāi)始研究不連續(xù)映射或者集值映射等“壞映射”的迭代和它們的迭代根[15-18].
通常，人們認(rèn)為一個(gè)“壞映射”可能會(huì)通過(guò)迭代運(yùn)算變得更加復(fù)雜，但文獻(xiàn)[19]表明不連續(xù)的自映射通過(guò)迭代運(yùn)算可能變?yōu)檫B續(xù)的自映射，并給出了在緊區(qū)間上只有一個(gè)間斷點(diǎn)的分段C0自映射的二次迭代連續(xù)性的充要條件.文獻(xiàn)[20]進(jìn)一步研究了在緊區(qū)間上只有一個(gè)非光滑點(diǎn)的連續(xù)自映射二次迭代的光滑性，并給出了它們的二次迭代是C1光滑映射的充要條件.文獻(xiàn)[20]的工作不是對(duì)文獻(xiàn)[19]的工作的重復(fù)，因?yàn)槲墨I(xiàn)[20]所考慮的映射的導(dǎo)數(shù)可能不是自映射.綜合文獻(xiàn)[19-20]，我們可以判斷在緊區(qū)間上只有一個(gè)間斷點(diǎn)的分段C1自映射四次迭代的C1光滑性.但是我們還不能判斷：在緊區(qū)間上什么不連續(xù)的自映射的二次迭代不僅連續(xù)而且C1光滑? 例如，自映射
圖1 f有一個(gè)可去間斷點(diǎn)
在(0，1)上是C1光滑的(圖2).
圖2 f2在(0，1)上是C1光滑的
本文研究在區(qū)間I=(0，1)上只有一個(gè)可去間斷點(diǎn)的所有分段C1自映射Vr(I，I).每個(gè)f∈Vr(I，I)能被表示為
(1)
其中，x0∈(0，1)是f唯一的可去間斷點(diǎn)，f1和f2分別在I1和I2上是C1光滑的，c∈(0，1)是一個(gè)常數(shù).為了研究在Vr(I，I)中映射的二次迭代的光滑性，我們需要將Vr(I，I)分成一些子類(lèi)，即Vr(I，I)=Vrr(I，I)∪Vrj(I，I)∪Vro(I，I)∪Vr∞(I，I)，其中：
本文討論Vr(I，I)中映射的二次迭代的C1光滑性.首先給出了在Vrτ(I，I)中映射的二次迭代是C1光滑映射的充要條件，其中τ∈{r，j，o}，獲得了在Vr∞(I，I)中映射的二次迭代是C1光滑映射的必要條件.其次說(shuō)明了找Vr∞(I，I)中映射的二次迭代是C1光滑映射的充分條件的困難.最后用例子展示了在Vr(I，I)中映射的二次迭代是C1光滑映射的條件.
下面討論由(1)式定義的f∈Vr(I，I)的二次迭代的光滑性.記
(2)
為了方便，記
Crr(I，I)={f∈Vrr(I，I)|f(y0)=Γ(c)}
Crτ(I，I)={f∈Vrτ(I，I)|f(y0)=Γ(c)和f′(y0)=0}τ∈{j，o，∞}
我們用D+f和D-f分別表示f的右導(dǎo)數(shù)和f的左導(dǎo)數(shù).
定理1假定f∈Vrτ(I，I)由(1)式定義，其中τ∈{r，j，o}，且f有唯一的間斷點(diǎn)x0∈(0，1).令y0由(2)式定義.那么，f2在I上是C1光滑的當(dāng)且僅當(dāng)y0∈Ii，f(I1∪I2)?Ii成立(i=1，2)和f∈Crτ(I，I).
證首先證明必要性.假定f2在I上是C1光滑的，那么f2在I上是連續(xù)的.由文獻(xiàn)[19]的定理1知，y0∈Ii，f(I1∪I2)?Ii和
f(y0)=fi(y0)=Γ(c)
(3)
其中i=1，2.在下文中，我們只討論y0∈I1和f(I1∪I2)?I1的情況，因?yàn)閥0∈I2和f(I1∪I2)?I2情況的討論與y0∈I1和f(I1∪I2)?I1情況的討論是完全類(lèi)似的.下證在y0∈I1和f(I1∪I2)?I1的情況下，有
(4)
假設(shè)f∈Vrτ(I，I)，其中τ∈{r，j，o}.
情形1f∈Vrr(I，I).由(3)式和Crr(I，I)的定義，我們知道f∈Crr(I，I).
情形2f∈Vrj(I，I).由Vrj(I，I)的定義，我們有
由(4)式得到f2在x0的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)分別為
(5)
(6)
(7)
由(3)，(7)式和Crj(I，I)的定義，我們知道f∈Crj(I，I).
(8)
(9)
注意到
其次證明充分性.我們僅證明y0∈I1，f(I1∪I2)?I1的情況.
當(dāng)f∈Crr(I，I)時(shí)，由Crr(I，I)的定義有f(y0)=f1(y0)=Γ(c)和f∈Vrr(I，I).由文獻(xiàn)[19]的定理1知f2在I上是連續(xù)的.因?yàn)閒∈Vrr(I，I)，則
由(4)式能獲得(5)式和(6)式，則D-f2(x0)=D+f2(x0).因此，f2在I上是C1光滑的.
綜上所述，f2在I上是C1光滑的.
定理2假定f∈Vr∞(I，I)由(1)式定義，x0∈(0，1)是f的唯一間斷點(diǎn).令y0由(2)式定義.假設(shè)f2在I上是C1光滑的，則y0∈Ii，f(I1∪I2)?Ii(i=1，2)，且f∈Cr∞(I，I).
證證明方法與定理1中f∈Vro(I，I)的必要性的證明完全類(lèi)似.
其中
圖3 F1有唯一可去間斷點(diǎn)
其中
它在(0，1)上是C1光滑的(圖4).
圖在(0，1)上是C1光滑的
圖5 F2有唯一的可去間斷點(diǎn)
而且
則F2∈Vro(I，I).注意到
它在(0，1)上是C1光滑的(圖6).
圖在(0，1)上是C1光滑的
在這篇文章中，我們僅考慮了(1)式定義的映射唯一的間斷點(diǎn)是可去間斷點(diǎn)的情形，對(duì)(1)式定義的映射唯一間斷點(diǎn)是跳躍或者振蕩間斷點(diǎn)的情形，我們將在后續(xù)文章中加以研究.
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西南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2021年8期
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——基于我國(guó)省域面板數(shù)據(jù)的實(shí)證研究 - 長(zhǎng)江經(jīng)濟(jì)帶星級(jí)飯店經(jīng)營(yíng)效率時(shí)空演化態(tài)勢(shì)研究
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迭代運(yùn)算是數(shù)學(xué)中的重要運(yùn)算之一，它在許多復(fù)雜的問(wèn)題，如分岔、混沌和分形[1-3]問(wèn)題、多項(xiàng)式[4-8]、擬多項(xiàng)式[9-10]、線性分式[11]和有理函數(shù)[12]等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用.在一維的情況下，高次迭代的計(jì)算也是一項(xiàng)復(fù)雜的工作.隨著C0映射迭代理論的發(fā)展[13-14]，人們也逐漸開(kāi)始研究不連續(xù)映射或者集值映射等“壞映射”的迭代和它們的迭代根[15-18].
通常，人們認(rèn)為一個(gè)“壞映射”可能會(huì)通過(guò)迭代運(yùn)算變得更加復(fù)雜，但文獻(xiàn)[19]表明不連續(xù)的自映射通過(guò)迭代運(yùn)算可能變?yōu)檫B續(xù)的自映射，并給出了在緊區(qū)間上只有一個(gè)間斷點(diǎn)的分段C0自映射的二次迭代連續(xù)性的充要條件.文獻(xiàn)[20]進(jìn)一步研究了在緊區(qū)間上只有一個(gè)非光滑點(diǎn)的連續(xù)自映射二次迭代的光滑性，并給出了它們的二次迭代是C1光滑映射的充要條件.文獻(xiàn)[20]的工作不是對(duì)文獻(xiàn)[19]的工作的重復(fù)，因?yàn)槲墨I(xiàn)[20]所考慮的映射的導(dǎo)數(shù)可能不是自映射.綜合文獻(xiàn)[19-20]，我們可以判斷在緊區(qū)間上只有一個(gè)間斷點(diǎn)的分段C1自映射四次迭代的C1光滑性.但是我們還不能判斷：在緊區(qū)間上什么不連續(xù)的自映射的二次迭代不僅連續(xù)而且C1光滑? 例如，自映射
圖1 f有一個(gè)可去間斷點(diǎn)
在(0，1)上是C1光滑的(圖2).
圖2 f2在(0，1)上是C1光滑的
本文研究在區(qū)間I=(0，1)上只有一個(gè)可去間斷點(diǎn)的所有分段C1自映射Vr(I，I).每個(gè)f∈Vr(I，I)能被表示為
(1)
其中，x0∈(0，1)是f唯一的可去間斷點(diǎn)，f1和f2分別在I1和I2上是C1光滑的，c∈(0，1)是一個(gè)常數(shù).為了研究在Vr(I，I)中映射的二次迭代的光滑性，我們需要將Vr(I，I)分成一些子類(lèi)，即Vr(I，I)=Vrr(I，I)∪Vrj(I，I)∪Vro(I，I)∪Vr∞(I，I)，其中：
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