趙斌華

何為方程？人教版教材中的定義是“含有未知數(shù)的等式就是方程。”準(zhǔn)確來說，這是一種靜態(tài)描述，描述的是方程的外部特征。方程還是一種關(guān)系，一種模型，其本質(zhì)特征是將未知數(shù)和已知數(shù)連接起來的“等價(jià)關(guān)系”?！胺匠痰囊饬x”承載著算術(shù)思想到方程思想過渡的重要任務(wù)，是小學(xué)數(shù)學(xué)中用代數(shù)思想解決問題的敲門磚。因此，筆者嘗試在教學(xué)中不僅僅滿足于讓學(xué)生根據(jù)方程外在形式的定義去辨別方程，更引領(lǐng)著學(xué)生從更深層次認(rèn)識“方程”。

一、分類感知，認(rèn)識方程的“形”

認(rèn)識方程，先從“形”開始?！昂形粗獢?shù)”和“等式”是方程的兩個(gè)必要因素，先理解“等式”還是先找到“含有未知數(shù)”，二者并列，并不沖突，但若將兩種分類標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立展開，分類后的式子就有點(diǎn)離散。于是，筆者嘗試著將式子按兩種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行巧妙擺放，既保留分類的痕跡，又能體現(xiàn)出共有的特征，并由此得到了一個(gè)“四區(qū)域”的集合圈。

【片斷一】

1.天平中感受等式與不等式

學(xué)生根據(jù)天平的情況，列出相應(yīng)的式子：①40+X=100;②50+2X[<]180;③80+70=100+50;④3X=180;⑤65+30[>]80;⑥50×3=100+2X;⑦20+30=50;⑧20+x﹥100

2.分類中感知方程的兩要素

學(xué)生給算式分類：

第一種：有未知數(shù)的①②④⑥⑧;沒有未知數(shù)的③⑤⑦。

第二種：是等式的①③④⑥⑦;不是等式的②⑤⑧。

教師根據(jù)學(xué)生的分類，將算式分成了四個(gè)區(qū)域。

3.集合圈中理解方程的“雙重屬性”

引導(dǎo)學(xué)生從集合圈中理解方程既“含有未知數(shù)”，又是“等式”的雙重屬性。

【分析】天平是學(xué)生熟悉的工具，也是方程認(rèn)識中比較有效的載體。利用天平中的平衡和不平衡情況，先引導(dǎo)學(xué)生列出等式、不等式，有未知數(shù)和沒有未知數(shù)等各類式子，然后再通過分類，感受是否含有未知數(shù)和是否等式兩種分類標(biāo)準(zhǔn)。通過這樣一個(gè)“四區(qū)域”的集合圈，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、發(fā)現(xiàn)、找出了方程含有的“雙重屬性”，從而引出方程的定義。在這個(gè)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了概念的形成過程，認(rèn)識了方程的“形”，對方程的這兩個(gè)必要因素也印象深刻。

二、情境融合，理解方程的“意”

由“形”到“意”，需要一定的情境。學(xué)生從原有的“算術(shù)思維”過渡到“代數(shù)思維”，是一個(gè)比較大的跨越。依托具體的情境，結(jié)合情境中具體的數(shù)量找出相應(yīng)的“等量關(guān)系”，幫助學(xué)生建立未知數(shù)和已知數(shù)之間的某種“等價(jià)關(guān)系”，從而真正理解方程的“意”。

【片斷二】

師：生活中的許多情境，也都藏著方程的模型，我們一起來看一看。

1.部總關(guān)系

相應(yīng)的等量關(guān)系是：左手的棋子數(shù)+右手的棋子數(shù)=6個(gè)。

列出相應(yīng)的方程是：4+x=6.

引導(dǎo)學(xué)生理解先用字母x來表示未知數(shù)，然后再列出方程。方程還可以用來表示等量關(guān)系。

2.份總關(guān)系及稍復(fù)雜的方程

師：下面這三幅情境圖（稍復(fù)雜）也請你們先找一找圖中含有哪些量，說一說其中的等量關(guān)系，然后再列出相應(yīng)的方程。

【分析】史寧中教授曾指出，教學(xué)方程時(shí)，可先讓學(xué)生用自然語言闡述事情，然后抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)，最后用數(shù)學(xué)符號建立方程。在本節(jié)課的教學(xué)中，借助四個(gè)具體的情境，讓學(xué)生先去找一找有哪些數(shù)量，嘗試著用自己的語言表達(dá)，然后描述其中的等量關(guān)系，最后用方程表示出相應(yīng)的等量關(guān)系。這里的情境圖包括“部總關(guān)系、份總關(guān)系、稍復(fù)雜的兩步計(jì)算和ax±b=c”的方程模型，通過三個(gè)問題“有哪些量？什么關(guān)系？怎樣表達(dá)？”來幫助學(xué)生用固定的思維方式來理解方程的意義，引領(lǐng)著學(xué)生從“形象思維” 過渡到“抽象思維”，逐步走向方程的本質(zhì)。

三、建構(gòu)模型，感悟方程的“神”

方程是一種模型，還是一種通性通法。從具體情境抽象出等量關(guān)系，用方程表達(dá)，再從方程回到等量關(guān)系，聯(lián)想具體的情境，并由此建構(gòu)方程的模型，讓學(xué)生進(jìn)一步理解方程的本質(zhì)意義，感悟方程的“神”。

【片斷三】

1.模型聯(lián)想

根據(jù)一個(gè)“4x=320”的方程，你能想象出哪些等量關(guān)系呢？

學(xué)生聯(lián)想到：速度×?xí)r間=路程、單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)、每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)、工作效率×工作時(shí)間=工作總量。

2.聯(lián)系溝通

引導(dǎo)學(xué)生感悟“4個(gè)幾份”這樣的方程模型，領(lǐng)略方程的魅力。

【分析】當(dāng)學(xué)生由一道“4x=320”的方程，聯(lián)想得到“行程問題”、“銷售問題”、“工程問題”、“份總問題”等不同的情境時(shí)，思想上有了一個(gè)小小的震撼，感嘆方程原來這么神奇，一道方程竟然可以表示這么多不同的情境。這里由“4x=320”引發(fā)的討論，其實(shí)就是對方程模型思想的一種具體化。何為模型？正如學(xué)生上課所言，“他們的內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同?！币坏┪覀儗⑺膫€(gè)不同問題中非本質(zhì)的情境、故事剝離，剩下來相似的結(jié)構(gòu)、形式便是模型了。

四、了解史料，豐厚方程的“韻”

“形神”兼具，再添“韻”味，則更顯豐厚。方程的歷史久遠(yuǎn)，無論是中國還是外國，都早已記載方程的史料。

【分析】通過閱讀方程史料，讓學(xué)生了解更多的有關(guān)方程的知識，豐厚學(xué)習(xí)內(nèi)容，感受數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。

筆者認(rèn)為，比數(shù)學(xué)定義更重要的是對數(shù)學(xué)的理解和感悟，是數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用和強(qiáng)化。關(guān)注數(shù)學(xué)的核心，走向概念的本質(zhì)，學(xué)會抽象和建模，使得方程的概念“形”“意”兼?zhèn)?，“神”“韻”并存，讓“方程”住進(jìn)學(xué)生心里，從而讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深處。