1 引言

2014年，文[1]引進(jìn)了廣義拓?fù)淙旱母拍畈⑶已芯苛藦V義拓?fù)淙旱囊恍┬再|(zhì).2020年，文[2]推廣了廣義拓?fù)淙旱母拍?，引進(jìn)了廣義仿拓?fù)淙旱母拍?，并且?duì)其性質(zhì)做了研究，得到了每一個(gè)廣義仿拓?fù)淙菏菑V義齊性空間，廣義仿拓?fù)淙旱淖尤菏菑V義仿拓?fù)淙?，廣義仿拓?fù)淙褐械摩娱_子群是τ閉子群，廣義仿拓?fù)淙旱纳倘菏菑V義仿拓?fù)淙?，廣義仿拓?fù)淙旱剿纳倘旱淖匀挥成涫菑V義連續(xù)的廣義開映射等結(jié)果.

本文繼續(xù)研究廣義仿拓?fù)淙旱男再|(zhì)，主要討論了其廣義鄰域基、閉包運(yùn)算、廣義分離性質(zhì)、同構(gòu)、同態(tài)映射的廣義連續(xù)性、廣義乘積性、廣義緊性等問題，獲得了任意一個(gè)抽象群上的廣義仿拓?fù)淙夯ɡ砗蛷V義仿拓?fù)淙旱囊粋€(gè)廣義拓?fù)渫瑯?gòu)定理，證明了每一廣義仿拓?fù)淙褐袉挝辉膹V義開鄰域生成的子群是廣義開子群以及一族強(qiáng)廣義仿拓?fù)淙旱膹V義乘積仍是廣義仿拓?fù)淙?并提出了一些問題.

2 預(yù)備知識(shí)

定義2.1([3])設(shè)X是非空集,X的冪集P(X)的子集族τ如果滿足

(1)?∈τ;

(2)對(duì)任意i∈I，若Gi∈τ有∪i∈IGi∈τ,

則稱τ是X上的廣義拓?fù)洌?X,τ)是廣義拓?fù)淇臻g，τ中的元為廣義開集，每一廣義開集的補(bǔ)集為廣義閉集.X中所有廣義開集組成的集族記為τ(X).

一個(gè)子集族B?τ稱為廣義拓?fù)淇臻g(X,τ)的基([4])，如果τ中的每一元能表示成B中某些元素的并.

設(shè)(X,τ)是廣義拓?fù)淇臻g，x∈X.記τ(X,x)={U∈τ(X)∶x∈U}.

定義2.2([5])設(shè)(X,τ)是廣義拓?fù)淇臻g.稱廣義拓?fù)洇邮菑?qiáng)的，如果X∈τ.

定義2.3([3])設(shè)X和Y是廣義拓?fù)淇臻g，f∶X→Y是映射，則

(1)f稱為廣義連續(xù)的，如果對(duì)任意V∈τ(Y)有f-1(V)∈τ(X)；

(2)f稱為在x∈X處是廣義連續(xù)的，如果對(duì)任意V∈τ(Y,f(x))，存在U∈τ(X,x)使得f(U)?V；

(3)f稱為廣義開(閉)的，如果X中每一廣義開集(廣義閉集)的像是Y的廣義開集(廣義閉集)；

(4)f稱為廣義同胚，如果f是雙射且f,f-1是廣義連續(xù)的.

引理2.4([6])設(shè)(X1,τ1)，(X2,τ2)，…，(Xn,τn)是廣義拓?fù)淇臻g，X=X1×X2×…×Xn是乘積廣義拓?fù)淇臻g，則B={U1×U2×…×Un∶U1∈τ1,U2∈τ2,…,Un∈τn}是X的一個(gè)基.

定義2.5([3])設(shè)X是廣義拓?fù)淇臻g，B?X，x∈X.如果存在U∈τ(X)使得x∈U?B，則稱B是x的廣義鄰域.

定義2.6([3])設(shè)X是廣義拓?fù)淇臻g，x∈X，B中的每一元是x的廣義鄰域.如果對(duì)任意U∈τ(X,x)，存在B∈B使得B?U，則稱B是x在X中的廣義鄰域基.

定義2.7([1，定義3.2])設(shè)(X,·)是群，(X,τ)是廣義拓?fù)淇臻g，定義映射

op2:X×X→X滿足op2(x,y)=xy，?x,y∈X;

Inv:X→X滿足Inv(x)=x-1，?x∈X.

如果op2和Inv是廣義連續(xù)的，則稱(X,·,τ)是廣義拓?fù)淙?

定義2.8([2，定義3.8])設(shè)(X,·)是群，(X,τ)是廣義拓?fù)淇臻g，定義映射

op2:X×X→X滿足op2(x,y)=xy，?x,y∈X.

如果op2是廣義連續(xù)的，則稱(X,·,τ)是廣義仿拓?fù)淙?

3 廣義仿拓?fù)淙旱膹V義鄰域基和閉包運(yùn)算

首先，討論廣義仿拓?fù)淙撼朔e的廣義連續(xù)性問題：

定理3.1設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙?，定義映射opn:Xn→X滿足opn(x1,x2,…，xn)=x1x2…xn，?xi∈X,i=1,2,…,n，則opn是廣義連續(xù)的.

證明由引理2.4，只需證：對(duì)任意xi∈X,i=1,2,…,n，若U∈τ(X,x1…xn)，則存在U1∈τ(X,x1)，U2∈τ(X,x2)，…，Un∈τ(X,xn)使得U1U2…Un?U.

當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立.

設(shè)xi∈X，i=1,2，…，k+1,U∈τ(X,x1…xk+1).容易看到

x1…xk+1=op2((x1…xk,xk+1)).

由于X是廣義仿拓?fù)淙?，op2是廣義連續(xù)的且U∈τ(X,x1…xk+1)，所以存在O∈τ(X×X,(x1…xk,xk+1))使得op2(O)?U.由引理2.4知，存在V∈τ(X,x1…xk)，W∈τ(X,xk+1)使得(x1…xk,xk+1)∈V×W?O.從而

op2(V×W)?op2(O)?U,VW?U.

而V∈τ(X,x1…xk)，所以由假設(shè)，存在U1∈τ(X,x1)，U2∈τ(X,x2)，…，Uk∈τ(X,xk)使得U1U2…Uk?V.

再令Uk+1=W，則

U1U2…Uk+1=(U1…Uk)W?VW?U.

故命題成立.

下面討論廣義仿拓?fù)淙旱膹V義鄰域基.

引理3.2([2，定理3.13] )設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙海琣∈X，定義映射

ra:X→X滿足ra(x)=xa，

la:X→X滿足la(x)=ax，

則ra和la都是廣義同胚.

定理3.3設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙?，U是X的子集族，x∈X，則以下條件等價(jià)：

(1) U是e的廣義鄰域基,

(2) {xU∶U∈U}是x的廣義鄰域基,

(3) {Ux∶U∈U}是x的廣義鄰域基.

證明設(shè)h∶X→Y是廣義同胚，對(duì)任意x∈X，B是x的廣義鄰域基，則h(B)是h(x)的廣義鄰域基.

(1)→(2) 由于X是廣義仿拓?fù)淙?，所以由引?.2知映射lx∶X→X是廣義同胚.若U是e的廣義鄰域基，則lx(U)={xU∶U∈U}是lx(e)=x的廣義鄰域基.

(2)→(1) 由于X是廣義仿拓?fù)淙?，所以由引?.2知映射lx-1∶X→X是廣義同胚.若xU={xU∶U∈U}是x的廣義鄰域基，則lx-1(xU)=U是lx-1(x)=e的廣義鄰域基.

(1)→(3) 由于X是廣義仿拓?fù)淙海杂梢?.2知映射rx∶X→X是廣義同胚.若U是e的廣義鄰域基，則rx(U)={Ux∶U∈U}是rx(e)=x的廣義鄰域基.

(3)→(1) 由于X是廣義仿拓?fù)淙?，所以由引?.2知映射rx-1∶X→X是廣義同胚.若{Ux∶U∈U}是x的廣義鄰域基，則U是e的廣義鄰域基.

引理3.4([2，推論3.18])設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙?，A,B?X，x∈X，則

(1) 如果A∈τ(X)，則Ax,xA∈τ(X)；

(2) 如果A∈τ(X)，則AB,BA∈τ(X).

引理3.5設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙?，g,h∈X.定義映射

φ∶X→X滿足φ(x)=gxh,?x∈X，

則φ是廣義同胚.

證明顯然φ是雙射.

設(shè)U∈τ(X)，則φ-1(U)=g-1Uh-1.因?yàn)閄是廣義仿拓?fù)淙?，所以由引?.4知φ-1(U)=g-1Uh-1∈τ(X)，從而φ是廣義連續(xù)的.

設(shè)V∈τ(X)，則(φ-1)-1(V)=φ(V)=gVh.再由引理3.4，有(φ-1)-1(V)=gVh∈τ(X)，從而φ-1是廣義連續(xù)的.

故φ是廣義同胚.

定理3.6設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙?，U是X中單位元e的廣義鄰域基，則有

(1) 對(duì)任意U∈U，存在V1,V2∈U使得V1V2?U；

(2) 對(duì)任意U∈U,g∈X，存在V∈U使得gVg-1?U.

證明(1) 設(shè)U∈U.由于X是廣義仿拓?fù)淙呵襬p2(e,e)=e，所以存在Z∈τ(X×X,(e,e))使得op2(Z)?U，從而由引理2.4知存在O，W∈τ(X,e)使得(e,e)∈O×W?Z,于是

op2(O×W)?op2(Z)?U，即OW?U.

由于U是e的廣義鄰域基，所以取V1∈U使得V1?O，取V2∈U使得V2?W，則

V1V2?OW?U.

(2) 設(shè)U∈U，g∈X，定義映射

f∶X→X滿足f(x)=gxg-1.

由引理3.5知f是廣義同胚.因?yàn)閁∈U，所以存在W∈τ(X,e)使得e∈W?U.取V∈U使得V?f-1(W)，則由e∈f-1(W)且f-1(W)廣義開于X有，

f(V)={gxg-1∶x∈V}=gVg-1?W?U.

定義3.7 ([7])設(shè)(X,τ)是廣義拓?fù)淇臻g，A?X.所有包含于A的廣義開集的并稱為A的廣義內(nèi)部，記作IntXA；所有包含A的廣義閉集的交稱為A的廣義閉包，記作clXA.

定理3.8設(shè)(X,·)是群，U是X的子集族，單位元e∈∩U，滿足：

(a) 對(duì)任意U∈U，存在V1,V2∈U使得V1V2?U；

(b) 對(duì)任意U∈U，g∈X，存在V∈U使得gVg-1?U,

則存在唯一的廣義仿拓?fù)淙?X,·,τ)使得U是(X,τ)中單位元e的廣義鄰域基.

證明分5步證明.(1)令τ={O?X∶對(duì)?x∈O,?U∈U使得xU?O}，那么τ是X的廣義拓?fù)?事實(shí)上，

(i) 顯然，?∈τ；

(ii) 記τ={Oi}i∈∧.若z∈∪i∈∧′Oi，其中∧′?∧，則存在i0∈∧′使得z∈Oi0且存在U∈U使得zU?Oi0?∪i∈∧′Oi，從而∪i∈∧′Oi∈τ，故τ是X上的廣義拓?fù)?

(2) 證明廣義拓?fù)洇訚M足性質(zhì)(*)：若O∈τ且x∈X，則xO∈τ.

設(shè)g∈xO，則x-1g∈O.因?yàn)镺∈τ，所以存在U∈U使得x-1gU?O,從而gU?xO，于是xO∈τ.

(3) 證明U是(X,τ)中e的廣義鄰域基.

(i) 證明單位元e的任意廣義鄰域包含U中某個(gè)元U.

設(shè)E是e的廣義鄰域，則e∈IntXE∈τ.由τ的定義知，存在U∈U使得

U=eU?IntXE?E.

(ii) 證明U中的每一元是e的廣義鄰域.

設(shè)U∈U.令W={x∈X∶?V∈U使得xV?U}，則e∈W?U.設(shè)x∈W，則存在V∈U使得xV?U.由(a)知，存在P1，P2∈U使得P1P2?V.因?yàn)閷?duì)任意y∈xP1有

yP2?xP1P2?xV?U,

所以y∈W，從而xP1?W,因此W∈τ，故U是e的廣義鄰域.

這樣，U是e廣義鄰域基.

(4) 證明(X，·，τ)是廣義仿拓?fù)淙?

設(shè)W*∈τ,x,y∈X滿足xy∈W*.由τ的定義知，存在A∈U使得xyA?W*.由(a)知，存在U1,U2∈U使得U1U2?A,從而xyU1U2?xyA?W*.由(b)知，存在V?U使得y-1Vy?U1，從而V?yU1y-1，于是xVyU2?xyU1y-1yU2=xyU1U2?W*.因?yàn)閂,U2是e的廣義鄰域，故由性質(zhì)(*)知xV是x的廣義鄰域，yU2是y的廣義鄰域，從而映射op2∶X×X→X是廣義連續(xù)的.

(5) 證明唯一性.

設(shè)(X，·，σ)是廣義仿拓?fù)淙菏沟肬是e在(X,σ)上的廣義鄰域基.下證τ=σ.

設(shè)U∈τ，則對(duì)任意x∈U，由引理3.4，有e∈Ux-1∈τ，于是存在A∈U使得e∈A?Ux-1.取O∈σ使得e∈O?A，則x∈Ox?Ax?U.再由引理3.4可知，Ox∈σ.所以U∈σ.于是τ?σ.

同理σ?τ.故τ=σ.

下面討論廣義仿拓?fù)淙旱拈]包和內(nèi)部運(yùn)算.

引理3.9設(shè)X,Y是廣義拓?fù)淇臻g，f∶X→Y是廣義同胚映射，A?X，則

(1) clY(f(A))=f(clXA)，

(2) IntY(f(A))=f(IntXA).

證明(1) 因?yàn)閒是廣義同胚，所以f(clXA)=clY(f(clXA))，從而

clY(f(A))?clY(f(clXA))=f(clXA).

反之，由于f(A)?clY(f(A))，所以A?f-1(clY(f(A))).因?yàn)閏lY(f(A))是Y中的廣義閉集，f是廣義同胚，所以f-1(clY(f(A)))是X中廣義閉集，從而clXA?f-1(clY(f(A)))，因此f(clXA)?clY(f(A)).

故clY(f(A))=f(clXA).

(2) 設(shè)y∈IntY(f(A))，則f(A)是y的廣義鄰域，所以存在Y的廣義開集U使得y∈U?f(A)，從而存在x∈f-1(y)?f-1(U)?A.由于f是廣義同胚，所以A是x的廣義鄰域，從而x∈IntXA，于是y=f(x)∈f(IntXA)，因此IntY(f(A))?f(IntXA).

反之，由于f是廣義同胚，所以f(IntXA)=IntY(f(IntXA))，從而

f(IntXA)=IntYf(IntXA)?IntY(f(A)).

故IntY(f(A))=f(IntXA).

定理3.10設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙?，A?X，g,h∈X，則

clX(gAh)=g(clXA)h,g(IntXA)h=IntX(gAh).

證明定義映射

f∶X→X滿足f(x)=gxh，?x∈X.

由引理3.5知f是廣義同胚，所以由引理3.9知

clX(gAh)=clX(f(A))=f(clXA)=g(clXA)h,

IntX(gAh)=IntX(f(A))=f(IntXA)=g(IntXA)h.

引理3.11設(shè)X是廣義拓?fù)淇臻g，A?X，則x∈clXA當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)x的任意廣義鄰域U有U∩A≠?.

定理3.12設(shè)X是廣義拓?fù)淙海珹?X，U是X中單位元e的廣義鄰域基，則

clXA=∩U∈UUA=∩U∈UAU.

證明先證clXA?∩U∈UUA和clXA?∩U∈UAU.

設(shè)x∈clXA，U∈U.由定理3.3知{xU∶U∈U}和{Ux∶U∈U}是x的廣義鄰域基.又X是廣義拓?fù)淙?，存在V∈U使得V-1?U.由引理3.11，有

(xV)∩A≠?且(Vx)∩A≠?，

于是存在v,w∈V使得xv∈A且wx∈A，所以

x=(xv)v-1∈AV-1?AU且x=w-1(wx)∈V-1A?UA，

因此clXA?UA且clXA?AU，從而

clXA?∩U∈UUA和clXA?∩U∈UAU.

再證∩U∈UUA?clXA.

若上式不成立，則存在x∈∩U∈UUAclXA.由定理3.3及引理3.11知，存在U∈U使得Ux∩A=?.取V∈U使得V-1?U，則由假設(shè)知x∈VA，所以存在v∈V，a∈A使得x=va，從而a=v-1x∈V-1x?Ux，矛盾.故∩U∈UUA?clXA.

下證∩U∈UAU?clXA.

若上式不成立，則存在x∈∩U∈UAUclXA.由定理3.3及引理3.11知，存在U∈U使得xU∩A=?.取W∈U使得W-1?U，則由假設(shè)知x∈AW，所以存在w∈W，a∈A使得x=aw，從而a=xw-1∈xW-1?xU，矛盾.故∩U∈UAU?clXA.

問題3.13定理3.12對(duì)廣義仿拓?fù)淙撼闪幔?/p>

4 廣義仿拓?fù)淙旱膹V義分離性質(zhì)

定義4.1([8，定義2.1])設(shè)(X,τ)是一個(gè)廣義拓?fù)淇臻g，(X,τ)稱為廣義T1空間，如果對(duì)任意x,y∈X，x≠y，存在x的廣義開鄰域U使得y?U且存在y的廣義開鄰域V使得x?V.

引理4.2([8，定理3.2])設(shè)(X,τ)是一個(gè)廣義拓?fù)淇臻g，則以下條件等價(jià)：

(1)X是一個(gè)廣義T1空間，

(2)X中每個(gè)單點(diǎn)集都是廣義閉集，

(3)X的每個(gè)有限子集都是廣義閉集.

定理4.3設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙?，e是X的單位元，則X是廣義T1空間當(dāng)且僅當(dāng){e}廣義閉于X.

clX({x})=clX(x{e})=xclX({e})=x{e}={x},

于是所有單點(diǎn)集{x}是廣義閉集，因此由引理4.2知X是廣義T1空間.

定理4.4設(shè)X是廣義拓?fù)淙海琔是單位元e的廣義鄰域基，U∈U，則clXU?U2.

證明由定理3.12知，對(duì)任意A?X有

clXA?∩V∈UVA?UA.

取A=U，則clXU?U2.

問題4.5定理4.4對(duì)廣義仿拓?fù)淙撼闪幔?/p>

定義4.6([8，定義2.2])設(shè)(X,τ)是一個(gè)廣義拓?fù)淇臻g.(X,τ)稱為廣義正則空間，如果對(duì)任意x∈X，F(xiàn)廣義閉于X且x?F，存在x的廣義開鄰域U，F(xiàn)的廣義開鄰域V使得U∩V=?.

定義4.7([8，定義2.1])設(shè)(X,τ)是一個(gè)廣義拓?fù)淇臻g，(X,τ)稱為廣義T2空間，如果對(duì)任意x,y∈X，x≠y，存在x的廣義開鄰域U，y的廣義開鄰域V使得U∩V=?.

引理4.8([8，定理2.3])廣義正則的廣義T1空間是廣義T2空間.

引理4.9設(shè)X是一個(gè)廣義拓?fù)淇臻g，則X是一個(gè)廣義正則空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈X，x的任意廣義開鄰域U，存在x的廣義開鄰域V使得clXV?U.

定理4.10 每個(gè)廣義拓?fù)淙菏菑V義正則的.

證明設(shè)X是廣義拓?fù)淙?，e是X中的單位元，U是e的廣義鄰域基.現(xiàn)設(shè)O是x的廣義開鄰域，則x-1O是e的廣義開鄰域.由定理3.6知存在V1,V2∈U使得V1V2?x-1O，而由定理3.12知clXV2?V1V2?x-1O，從而x∈xV2?clX(xV2)=x(clXV2)?O.最后，由引理4.9知X是廣義正則的.

由引理4.8和定理4.10可直接得到

定理4.11每個(gè)廣義T1的廣義拓?fù)淙菏菑V義T2的.

問題4.12定理4.10對(duì)廣義仿拓?fù)淙撼闪幔?/p>

5 廣義仿拓?fù)淙旱淖尤?/h2>

引理5.1設(shè)X是一個(gè)廣義拓?fù)淇臻g，A,B?X，則clXA×clXB=clX×X(A×B).

證明設(shè)(x,y)∈clXA×clXB，R是(x,y)的任意廣義鄰域.由引理2.4知存在廣義開集O,W使得(x,y)∈O×W?R.由引理3.11，得O∩A≠?且W∩B≠?，從而

R∩(A×B)?(O×W)∩(A×B)=(O∩A)×(W∩B)≠?.

故，clXA×clXB?clX×X(A×B).

反之，設(shè)(x,y)∈clX×X(A×B).令U是x的任意廣義鄰域，V是y的任意廣義鄰域.由引理2.4知U×V是(x,y)的廣義鄰域.所以由引理3.11，得

(U∩A)×(V∩B)=(U×V)∩(A×B)≠?，

因此，x∈clXA，y∈clXB,clXA×clXB?clX×X(A×B).

故clXA×clXB=clX×X(A×B).

引理5.2設(shè)X,Y是廣義拓?fù)淇臻g，f∶X→Y是廣義連續(xù)的，A?X，則

f(clXA)?clY(f(A)).

證明設(shè)A?X.因?yàn)閒是廣義連續(xù)的，所以f-1(clY(f(A)))是廣義閉集且

f-1(f(A))?f-1(clY(f(A))).

由廣義閉包的概念知

clX(f-1(f(A)))?f-1(clY(f(A)))，

從而

clXA?clX(f-1(f(A)))?f-1(clY(f(A))).

因此

f(clXA)?clY(f(A)).

定理5.3設(shè)X是廣義拓?fù)淙?若H是X的子群，則clXH是X的子群.

證明先證：對(duì)任意A,B?X有(clXA)(clXB)?clX(AB).

由于op2是廣義連續(xù)的，所以由引理5.2知

op2(clX×X(A×B))?clX(op2(A×B))=clX(AB)，

從而由引理5.1，有

(clXA)(clXB)=op2(clXA×clXB)=op2(clX×X(A×B))?clX(AB).

注意到HH=H且H-1=H，所以由上面所得知

(clXH)(clXH)?clX(HH)=clXH.

由引理3.9有(clXH)-1=clX(H-1)=clXH.故clXH是X的子群.

例5.4([9，例子1.4.17])存在仿拓?fù)淙篨(進(jìn)而是廣義仿拓?fù)淙?的子群H使得clXH不是X的子群.

定理5.5設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙?，H是X的子群.若IntXH≠?，則H廣義開于X.

證明設(shè)O=IntXH.由引理3.4知HO廣義開于X.因?yàn)镺?H，所以HO?HH=H.取k∈O，則

H={(hk-1)k∶h∈H}?HO，

所以H=HO，從而H廣義開于X.

定義5.7設(shè)X是一個(gè)廣義仿拓?fù)淙?，H是X的子群，稱H在X中廣義局部閉，如果存在h∈H及存在h在X中的某一廣義鄰域U使得U∩H在子空間U中廣義閉.

問題5.8設(shè)X是一個(gè)廣義仿拓?fù)淙?，H是X的子群.如果H在X中廣義局部閉，那么H是否在X中廣義閉？

6 廣義仿拓?fù)淙旱纳倘?/h2>

本節(jié)將在文[2]的基礎(chǔ)上繼續(xù)探討廣義仿拓?fù)淙旱纳倘?

引理6.1([2，定理3.26])設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙?，H≤X.如果X/H為X的關(guān)于H的廣義陪集空間，則自然廣義商映射η∶X→X/H是廣義連續(xù)的廣義開映射.

定理6.2設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙?，H是X的正規(guī)子群，則X/H是廣義T1的當(dāng)且僅當(dāng)H是廣義閉的.

設(shè)X,Y是群，f∶X→Y是群同態(tài)，定義映射

φKerf∶X→X/Kerf，滿足φKerf(x)=xKerf，x∈X，

定理6.3設(shè)X,Y是廣義仿拓?fù)淙?，f∶X→Y是群同態(tài)，則有

定義6.4設(shè)(X,·,τ)和(Y,°,π)是廣義仿拓?fù)淙?稱映射f∶X→Y是(X,·,τ)和(Y,°,π)之間的廣義拓?fù)渫瑯?gòu)，如果f既是廣義拓?fù)淇臻g(X,τ)和(Y,π)之間的廣義同胚，也是群(X,·)和(Y,°)之間的同構(gòu).

廣義仿拓?fù)淙?X,·,τ)和(Y,°,π)是廣義拓?fù)渫瑯?gòu)的，如果它們之中存在一個(gè)廣義拓?fù)渫瑯?gòu).

由定理6.3可以直接得到

定理6.5設(shè)X,Y是廣義仿拓?fù)淙?，f∶X→Y是滿的廣義連續(xù)的廣義開同態(tài)，則Y和X/Kerf廣義拓?fù)渫瑯?gòu).

7 廣義仿拓?fù)淙旱耐瑧B(tài)映射

下面的引理是顯然的.

引理7.1設(shè)X,Y是廣義拓?fù)淇臻g，f∶X→Y是雙射，則f是廣義開的當(dāng)且僅當(dāng)f是廣義閉的.

定理7.2廣義仿拓?fù)淙褐g的廣義閉的滿同態(tài)是廣義開的.

定理7.3設(shè)X,Y是廣義仿拓?fù)淙?，f∶X→Y是同態(tài)，則f在X中某一點(diǎn)是廣義連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)f是廣義連續(xù)的.

設(shè)p∈X，V是f(p)在Y中的廣義鄰域，則存在廣義開集W廣義開于Y，使得f(p)∈W?V.從而

f(x0)=f(x0)f(p)-1f(p)∈f(x0)f(p)-1W?f(x0)f(p)-1V.

由引理3.4知f(x0)f(p)-1V是f(x0)在Y中的廣義鄰域.因?yàn)閒在x0∈X上是廣義連續(xù)的，所以f-1(f(x0)f(p)-1V)是x0在X中的廣義鄰域，從而px0-1f-1(f(x0)f(p)-1V)是p在X中的廣義鄰域.又f是同態(tài)，所以

x∈f-1(f(x0)f(p)-1V)?f(x)∈f(x0)f(p)-1V?f(p)f(x0)-1f(x)∈V?

f(p)f(x0-1)f(x)∈V?f(px0-1x)∈V?px0-1x∈f-1(V)?x∈x0p-1f-1(V).

從而f-1(f(x0)f(p)-1V)=x0p-1f-1(V).進(jìn)而f-1(V)是p在X中的廣義鄰域，于是f是廣義連續(xù)的.

定義7.4設(shè)X,Y是廣義拓?fù)淇臻g，f∶X→Y，x∈X.如果對(duì)x的每一廣義鄰域U，f(U)是f(x)在Y中的廣義鄰域，則稱f在點(diǎn)x上是廣義開的.

引理7.5設(shè)X,Y是廣義拓?fù)淇臻g，則f∶X→Y是廣義開映射當(dāng)且僅當(dāng)f在X中每一點(diǎn)上是廣義開映射.

定理7.6設(shè)X,Y是廣義仿拓?fù)淙?，f∶X→Y是同態(tài).如果f在X中某一點(diǎn)上是廣義開的，則f是廣義開的.

證明設(shè)f在x0∈X上是廣義開的，下證f在X中每一點(diǎn)上都是廣義開的.

設(shè)p∈X，W是p在X中的廣義鄰域，則存在廣義開集O廣義開于X，使得p∈O?W，所以x0=x0p-1p∈x0p-1O?x0p-1W.由引理3.4知x0p-1W是x0在X中的廣義鄰域，所以f(x0p-1W)是f(x0)在Y中的廣義鄰域，從而存在廣義開集Q廣義開于Y，使得f(x0)∈Q?f(x0p-1W)=f(x0)f(p-1)f(W).于是

f(p)∈f(p)f(x0)-1Q?f(W).

再由引理3.4知f(W)是f(p)在Y中的廣義鄰域，從而由引理7.5，f是廣義開的.

8 廣義仿拓?fù)淙旱膹V義乘積

定義8.1([10])設(shè)(Xα,·)是群，α∈A，定義集合∏α∈AXα上的運(yùn)算·，滿足(xα)α∈A·(yα)α∈A=(xα·yα)α∈A，則稱(∏α∈AXα,·)是群(Xα,·)的乘積群.

定義8.2([6])設(shè)(Xα,τα)是廣義拓?fù)淇臻g，α∈A，記

B={∏α∈AMα∶Mα∈τα,且除有限個(gè)α外Mα=∪τα}.

稱B是X=∏α∈AXα上某一廣義拓?fù)洇拥幕?，τ是廣義拓?fù)洇应恋某朔e.

定理8.3設(shè){(Xα,·,τα)∶α∈A}是廣義仿拓?fù)淙簶?gòu)成的集族，且子集Yα=∪τα(?Xα)上的二元運(yùn)算封閉，即?x,y∈Yα，有x·y∈Yα，α∈A,則乘積X=∏α∈AXα是廣義仿拓?fù)淙?特別地，一族強(qiáng)廣義仿拓?fù)淙旱膹V義乘積仍是廣義仿拓?fù)淙?

證明設(shè)x,y∈X，令z=xy.記x=(xα)α∈A，y=(yα)α∈A，z=(zα)α∈A，其中對(duì)任意α∈A有zα=xαyα.

設(shè)O是z在X中的廣義鄰域，則存在Wα廣義開于Xα使得z∈W=∏α∈AWα?O，其中除了有限個(gè)α1,…，αm，其余Wα=∪τα.因?yàn)閄αk(1≤k≤m)是廣義仿拓?fù)淙呵襵αkyαk=zαk，所以存在(xαk,yαk)的廣義鄰域zαk使得op2(Zαk)?Wαk.由引理2.4知，存在xαk的廣義開鄰域Uαk，yαk的廣義開鄰域Vαk使得Uαk×Vαk?Zαk，從而

UαkVαk=op2(Uαk×Vαk)?op2(Zαk)?Wαk.

對(duì)任意α∈A{α1,…，αm}，令Uα=Vα=∪τα，則U=∏α∈AUα是x在X中的廣義開鄰域，V=∏α∈AVα是y在X中的廣義開鄰域.再由子集∪τα(?Xα)上的二元運(yùn)算封閉，即有UV?W?O.因此X是廣義仿拓?fù)淙?

問題8.4無窮多個(gè)廣義仿拓?fù)淙旱膹V義乘積是否仍是廣義仿拓?fù)淙海?/p>

推論8.5設(shè)對(duì)任意α∈A，Xα是強(qiáng)的廣義仿拓?fù)淙海琀α是Xα的正規(guī)子群，則∏α∈A(Xα/Hα)和∏α∈AXα/∏α∈AHα廣義拓?fù)渫瑯?gòu).

證明對(duì)任意α∈A，定義映射

φα∶Xα→Xα/Hα，滿足φα(xα)=Hαxα，

f∶∏α∈AXα→∏α∈A(Xα/Hα)，滿足f((xα)α∈A)=(φα(xα))α∈A.

因?yàn)棣咋潦菨M同態(tài)，所以f是滿同態(tài).

斷言1：f是廣義開的.

事實(shí)上，對(duì)任意α∈A，設(shè)Eα?Xα，則f(∏α∈AEα)=∏α∈Aφα(Eα).由引理6.1知φα是廣義開的，所以f是廣義開的.

斷言2：f是廣義連續(xù)的.

事實(shí)上，對(duì)任意α∈A，設(shè)Lα?Xα/Hα，則f-1(∏α∈ALα)=∏α∈Aφα-1(Lα).由引理6.1，φα是廣義連續(xù)的，所以f是廣義連續(xù)的.

斷言3：Kerf=∏α∈AHα.

事實(shí)上，因?yàn)閷?duì)任意(xα)α∈A∈∏α∈AXα有

(xα)α∈A∈Kerf?φα(xα)=Hα,?α∈A?xα∈Hα,?α∈A?(xα)α∈A∈∏α∈AHα,

所以Kerf=∏α∈AHα.

因?yàn)閒是廣義開的廣義連續(xù)的滿同態(tài)，所以由定理6.5知∏α∈A(Xα/Hα)和∏α∈AXα/∏α∈AHα廣義拓?fù)渫瑯?gòu).

9 廣義仿拓?fù)淙旱膹V義緊性

定義9.1設(shè)X是廣義拓?fù)淇臻g.X稱為廣義緊空間，如果X的每一廣義開覆蓋有有限子覆蓋.

引理9.2廣義緊空間在廣義連續(xù)映射下的像是廣義緊空間.

證明設(shè)X,Y是廣義拓?fù)淇臻g，其中X是廣義緊空間，f∶X→Y是廣義連續(xù)的滿映射.設(shè){Uγ}γ∈Γ是Y的廣義開覆蓋，則{f-1(Uγ)}γ∈Γ是X的廣義開覆蓋.因?yàn)閄是廣義緊空間，所以存在有限子族{f-1(Uγi)}i=1,…,k覆蓋X，從而{Uγi}i=1,…,k是{Uγ}γ∈Γ的有限子族且覆蓋Y.故Y是廣義緊空間.

定理9.3設(shè)X是廣義仿拓?fù)淙?，g,h∈X.若K是X的廣義緊子集，則gKh是廣義緊子集.

證明因?yàn)閄是廣義仿拓?fù)淙?，定義映射

φ∶X→X，滿足φ(x)=gxh,?x∈X.

由引理3.5知φ是廣義連續(xù)的，從而由定理9.2知gKh=φ(K)是廣義緊空間.