姚惠東 崔波 馬思琦 余超 陸瑞鋒

(南京理工大學(xué), 理學(xué)院應(yīng)用物理系, 南京 210094)

本文采用數(shù)值求解多能帶半導(dǎo)體布洛赫方程組的方法開展強激光與雙層MoS2材料相互作用產(chǎn)生高次諧波的理論研究.模擬發(fā)現(xiàn), T型堆棧雙層MoS2產(chǎn)生的高次諧波在高能區(qū)域的轉(zhuǎn)換效率比AA型堆棧雙層MoS2高一個數(shù)量級.理論分析表明, 由于原子級錯位堆棧下晶體對稱性被打破, 使原有的部分帶間禁戒躍遷路徑被打開, 帶間躍遷激發(fā)通道增加, 大大增大了載流子躍遷概率, 從而增強了高次諧波轉(zhuǎn)換效率.此外, 對諧波產(chǎn)率的波長定標(biāo)研究表明, 在較長波長的激光驅(qū)動下 (> 2000 nm), T型堆棧下所增強的高次諧波具有更高的波長依賴.該工作為如何優(yōu)化增強固體高次諧波的轉(zhuǎn)換效率提供一種新思路.

1 引 言

近十年來, 強激光與固體材料相互作用產(chǎn)生的高次諧波輻射逐漸成為國際強場激光物理研究領(lǐng)域重點研究的課題[1?4].高次諧波研究的主要動力來源于其極有潛力的應(yīng)用前景.利用高次諧波輻射可以獲得相干的、脈沖持續(xù)時間短的極紫外(XUV)光源和X射線源.由于固體材料的介質(zhì)密度遠大于氣體靶, 同等激光條件下固體產(chǎn)生的高次諧波轉(zhuǎn)換效率高于氣體.在氣體介質(zhì)中, 高次諧波主要由電子電離、回碰產(chǎn)生, 而對于固體材料, 其高次諧波主要由帶內(nèi)電流和帶間極化貢獻.最近,實驗上已經(jīng)證明[5?11], 強激光與固體材料相互作用能夠提供一種全新的手段產(chǎn)生高效率的高次諧波,將有希望實現(xiàn)一種新型阿秒光源.

2011年, Ghimire等[5,6]首次在實驗上成功應(yīng)用中紅外激光與ZnO晶體相互作用產(chǎn)生非微擾的高次諧波.他們認(rèn)為, 在激光驅(qū)動下, 晶體中的電子和空穴在布里淵區(qū)邊界處反射產(chǎn)生布洛赫振蕩,從而導(dǎo)致高次諧波輻射.隨后, 采用不同的驅(qū)動激光, 科研人員陸續(xù)開展了固體高次諧波的實驗研究[7,8], 研究結(jié)果表明在太赫茲區(qū)域, 帶內(nèi)高次諧波占主要部分.Luu等[9]利用脈寬在一個光周期量級的紫外與近紅外光學(xué)疊加場和SiO2相互作用, 實驗發(fā)現(xiàn)光子能量大約為40電子伏特的相干極紫外光輻射.在他們的工作中, 外場作用下電子在晶格中的失諧振蕩運動被用來解釋高頻輻射, 并且觀測到固體二氧化硅中產(chǎn)生的高能光子產(chǎn)率比稀有氣體中產(chǎn)生的要高.幾乎同時, Vampa等[10]通過加一束倍頻激光來研究固體高次諧波的產(chǎn)生過程, 實驗上證明了在中紅外區(qū)域, 電子與空穴回碰產(chǎn)生的帶間電流是ZnO晶體中高次諧波產(chǎn)生的主要機制, 隨后他們建設(shè)性地提出了一種全光學(xué)技術(shù)用來重構(gòu)晶體材料的能帶帶隙[11].此外, You等[12]測量了強激光與MgO晶體作用產(chǎn)生的高次諧波, 發(fā)現(xiàn)高次諧波隨著激光偏振方向的各向異性, 預(yù)示著全光學(xué)方法可用來提取晶體結(jié)構(gòu)、原子間勢、價電子密度甚至波函數(shù)等信息.

為了理解固體高次諧波的產(chǎn)生機制, 理論研究工作者們提出了一系列模型和計算方法, 如Korbman等[13,14]、Wu等[15]以及Guan等[16]通過數(shù)值求解一維含時薛定諤方程計算出晶格內(nèi)電流變化,得到諧波信號.此外, Jin等[17]、Li等[18]和Li等[19]通過數(shù)值求解二維含時薛定諤方程研究固體諧波的輻射特性.Vampa等[20?22]則提出求解密度矩陣方程組的方法來模擬固體諧波, 最終可以分別計算出帶內(nèi)電流和帶間電流, 通過傅里葉變換帶內(nèi)和帶間電流即可得到高次諧波譜, 他們應(yīng)用此方法成功解釋了帶間諧波的產(chǎn)生機制.此外, Golde等[23?25]、F?ldi等[26]和Tamaya等[27]求解激光外場作用下的兩能帶半導(dǎo)體布洛赫方程來研究固體諧波輻射,成功解釋了一些實驗現(xiàn)象.2015年, Hohenleutner等[28]完善了理論模型, 通過求解考慮多條能帶的半導(dǎo)體布洛赫方程模擬強激光與晶體相互作用, 同時在時域上直接測量太赫茲場作用下的固體高次諧波.他們的實驗和理論模擬結(jié)果表明, 固體材料中電子從不同能帶隧穿產(chǎn)生的量子相干能夠有效控制超快高次諧波輻射.最近, Yu等[29]提出利用二維h-BN材料的雙層或者多層納米結(jié)構(gòu)控制優(yōu)化類原子的高次諧波輻射, 發(fā)現(xiàn)高次諧波截止能量隨著層間距變化的依賴關(guān)系.

固體高次諧波可作為產(chǎn)生新型小型化阿秒光源的一種全新手段, 如何進一步增強其高次諧波的轉(zhuǎn)換效率一直是研究工作者們關(guān)注的焦點.Li等[30]通過雙色疊加場技術(shù), 理論優(yōu)化增強了固體高次諧波的第二個平臺效率, 選擇合適的雙色場激光參數(shù)可獲得單個阿秒脈沖.此外, Liu等[31]結(jié)合納米加工技術(shù)和超快強激光技術(shù), 利用全介質(zhì)超表面提高驅(qū)動激光的強度以及介質(zhì)材料的損耗閾值, 從而有效地增強諧波效率約兩個數(shù)量級.最近,Franz等[32]在半導(dǎo)體材料中發(fā)現(xiàn)利用納米錐波導(dǎo)也能夠有效增強固體諧波的轉(zhuǎn)換效率.

本文針對固體高次諧波的轉(zhuǎn)換效率問題, 以雙層MoS2為例, 研究其在不同堆棧方式下的高次諧波輻射特性, 理論模擬發(fā)現(xiàn), 層間原子錯位堆棧能夠有效打破晶體對稱性, 使得原有的部分帶間禁戒躍遷被允許, 帶間躍遷激發(fā)通道增加, 從而提升了載流子躍遷概率及高次諧波轉(zhuǎn)換效率.

2 理論模型

本文采用數(shù)值求解多能帶半導(dǎo)體布洛赫方程組的方法(SBEs)開展強激光與雙層MoS2材料相互作用的理論研究[33].模擬過程中, 晶體倒格矢坐標(biāo)可在直角坐標(biāo)系中表示為x||Γ–M,y||Γ–K,和z||Γ–A(光軸), 線偏振激光的傳播方向沿著光軸方向.在單電子近似下, 多能帶半導(dǎo)體布洛赫方程組可以寫為方程(1)—(3)表示電子、空穴在帶間的躍遷過程,而方程(4)和(5)描述電子、空穴在帶內(nèi)的運動過程.其中,表示帶間相干,和分別為電子和空穴的布居, e和h分別表示電子和空穴,E(t)為激光場,為對應(yīng)的載流子能帶,T1表示不對稱載流子衰減時間,T2為退相時間,為帶與帶之間的躍遷偶極矩(n和n′代表ei、ej、eλ、hi、hj、hλ等指數(shù)對應(yīng)的不同能帶).基于VASP軟件, 應(yīng)用高精度第一性原理計算得到固體材料的能帶結(jié)構(gòu)εk以及每條能帶每個k點的波函數(shù)φk.通過公式

計算出帶與帶之間的躍遷偶極矩.帶內(nèi)電流密度與帶間極化可以表示為

3 結(jié)果與討論

通常, 雙層MoS2材料具有多種穩(wěn)定的堆棧結(jié)構(gòu), 圖1(a)和1(b)所示分別為雙層MoS2材料AA型(層間S原子頂對頂)和T型(層間S原子錯位)堆棧下的結(jié)構(gòu).通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化, 計算得到的雙層MoS2材料在AA型和T型堆棧下的晶格參數(shù)都在3.19 ? (1 ? = 0.1 nm)左右.然而優(yōu)化所得的AA型堆棧雙層MoS2材料的層間距為3.69 ?,較T型堆棧雙層MoS2材料的層間距3.09 ?大.圖1(c)中藍色區(qū)域為雙層MoS2材料的第一布里淵區(qū), 其中Γ–M和Γ–K分別為倒空間中的兩個高對稱性方向.由于層狀MoS2材料在Γ–K方向的高次諧波轉(zhuǎn)換效率要比Γ–M方向低很多[34], 因此在本工作中只關(guān)注雙層MoS2材料在Γ–M方向的高次諧波輻射.此外, 圖1(d)和1(e)分別為AA型堆棧和T型堆棧雙層MoS2材料在Γ–M方向的能帶結(jié)構(gòu), 圖中所示共12條價帶和8條導(dǎo)帶.對比雙層MoS2在兩種不同堆棧方式下的能帶結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)不管是帶隙還是能帶的色散分布都幾乎保持一致, 也就是說堆棧方式對其能帶結(jié)構(gòu)影響很小.

圖1 (a)和(b)分別為雙層MoS2材料AA型堆棧和T型堆棧結(jié)構(gòu)的俯視圖(上圖)和側(cè)視圖(下圖); (c) 雙層MoS2材料的第一布里淵區(qū); (d)和(e) 分別為雙層MoS2材料AA型堆棧和T型堆棧在高對稱性Γ–M方向的能帶結(jié)構(gòu)Fig.1.Top and side views of bilayer MoS2 for (a) AA stacking and (b) T stacking; (c) the first brillouin zone of bilayer MoS2;(d) energy bands of bilayer MoS2 for (a) AA stacking and (b) T stacking in Γ–M direction.

圖2(a)所示為模擬得到的雙層MoS2材料在AA型堆棧(藍線)和T型堆棧(紅線)下的高次諧波譜, 計算過程中共使用了12條價帶和8條導(dǎo)帶進行計算.所用激光為波長為3200 nm的中紅外激光場, 脈沖的半高全寬為2個光周期, 激光電場的峰值強度I= 1.0 × 1011W/cm2.對比兩種不同堆棧方式下產(chǎn)生的高次諧波譜, 驚奇地發(fā)現(xiàn)在諧波譜的高能區(qū)域, 雙層MoS2在原子錯位的T型堆棧下產(chǎn)生高次諧波的轉(zhuǎn)換效率比在AA型堆棧下的高次諧波效率高一個數(shù)量級.通常, 固體高次諧波的高能區(qū)域主要來源于材料中更高的導(dǎo)帶或更低的價帶參與躍遷貢獻.如圖2(b)所示, 若在模擬過程中只考慮2條價帶(v1, v2)和4條導(dǎo)帶(c1, c2,c3, c4), 則兩種堆棧方式下產(chǎn)生的高次諧波譜基本沒有區(qū)別, 同時高能區(qū)域高次諧波譜消失.但在模擬中使用4條價帶(v1, v2, v3, v4)和4條導(dǎo)帶(c1,c2, c3, c4), 計算得到的高次諧波譜如圖2(c)所示,圖2(a)出現(xiàn)的諧波高能區(qū)域增強現(xiàn)象又顯現(xiàn)出來.因此, 確定相比于圖2(b)中使用的2條價帶和4條導(dǎo)帶, 在模擬圖2(c)高次諧波中額外增加的價帶v3和v4對高能高次諧波的產(chǎn)生起著重要作用,同時也是影響兩種不同堆棧方式下高次諧波譜區(qū)別的關(guān)鍵.由于前面發(fā)現(xiàn)對于兩種不同堆棧方式下的能帶結(jié)構(gòu)幾無差別, 因此可認(rèn)為帶間躍遷偶極矩是T型堆棧諧波增強的主要因素.

圖2 模擬計算得到的雙層MoS2材料在高對稱性Γ–M方向的高次諧波譜(紅線為T型堆棧, 藍線為AA型堆棧) (a) 模擬過程中使用12條價帶8條導(dǎo)帶; (b) 模擬過程中使用2條價帶4條導(dǎo)帶; (c) 模擬過程中使用4條價帶4條導(dǎo)帶Fig.2.Calculated high harmonic spectra from bilayer MoS2 in AA stacking (blue line) and T stacking(red line) with (a)twelve valence bands and eight conduction bands; (b) two valence bands and four conduction bands; (c) four valence bands and four conduction bands used in simulation.

為了闡明T型堆棧諧波增強背后的物理機制,計算出雙層MoS2材料部分能帶間的躍遷偶極矩.圖3(a)和3(b)分別為AA型堆棧的第三條價帶v3和第四條價帶v4與最低4條導(dǎo)帶的帶間躍遷偶極矩.對于AA型堆棧, 雙層MoS2材料兩層鏡面對稱, 層與層之間的相互作用非常弱, 電子很難從其中一層躍遷到另外一層, 價帶v3和v4只與同一層內(nèi)的導(dǎo)帶c3和c4間有帶間躍遷偶極矩, 因此相比于圖2(b)只包含v1和v2價帶, 圖2(c) 中進一步考慮v3和v4價帶貢獻的諧波效率略有增強.然而對于T型堆棧, 雙層MoS2鏡面對稱被打破, 電子有一定幾率從其中一層躍遷到另外一層, 因此如3(c)和3(d)所示在T型堆棧中價帶v3和v4與最低的4條導(dǎo)帶間都有躍遷偶極矩.分析認(rèn)為, 正是由于在T型堆棧下材料對稱性被打破, 使得原有的部分帶間禁戒躍遷路徑被打開, 帶間躍遷激發(fā)通道增加, 大大增加了載流子躍遷概率, 使得高次諧波轉(zhuǎn)換效率增強.

圖3 雙層MoS2材料的部分帶間躍遷偶極矩 (a)和(b)分別為AA型堆棧的雙層MoS2材料中第三條價帶v3和第四條價帶v4與最低4條導(dǎo)帶的帶間躍遷偶極矩; (c)和(d)分別為T型堆棧的雙層MoS2材料中第三條價帶v3和第四條價帶v4與最低4條導(dǎo)帶的帶間躍遷偶極矩Fig.3.The parts of transition dipole moments: (a) and (b) show the transition dipole moments among two valence bands (v3 and v4) and four lowest conduction bands in AA stacking, respectively; (c) and (d) how the transition dipole moments among two valence bands (v3 and v4) and four lowest conduction bands in T stacking, respectively.

此外, 本工作還研究了兩種堆棧方式下雙層MoS2材料隨驅(qū)動激光波長變化的高次諧波譜.如圖4(a)和4(b)所示, 高次諧波的轉(zhuǎn)換效率隨著激光波長的增加逐漸降低, 這主要是因為更長的激光波長對應(yīng)更小的光子能量, 電子需要吸收更多的光子才能從價帶躍遷到導(dǎo)帶, 躍遷概率大為降低, 使得高次諧波效率逐漸衰減.雖然諧波效率整體隨著波長變大逐漸降低, 但發(fā)現(xiàn)相比于AA型堆棧, T型堆棧7—12 eV能量范圍的高次諧波在1000—6000 nm波長范圍內(nèi)都增強1個數(shù)量級, 同時隨著激光波長的增大該區(qū)域諧波相比AA型堆棧的增強越明顯.

圖4 模擬計算得到的雙層MoS2材料隨驅(qū)動激光波長變化的高次諧波譜 (a) AA型堆棧; (b) T型堆棧Fig.4.Wavelength dependent high harmonic spectra from bilayer MoS2 in (a) AA stacking and (b) T stacking.

為了定量比較不同堆棧方式下激光波長對雙層MoS2高次諧波效率的影響, 將固定能量范圍內(nèi)的高次諧波強度積分用于定標(biāo)諧波的產(chǎn)率η(λ).理論研究表明, 對于稀有氣體產(chǎn)生的高次諧波產(chǎn)率遵循波長定標(biāo)[35,36]:

而通過計算雙層MoS2高次諧波的波長定標(biāo)發(fā)現(xiàn),波長范圍不同, 高次諧波的波長定標(biāo)也不同.這里取T型堆棧相較AA型堆棧高次諧波顯著增強的7—12 eV能量范圍(圖3(b)中灰色陰影區(qū)域)研究波長定標(biāo).以AA型堆棧為例, 如圖5(a)所示,可發(fā)現(xiàn)激光波長在1000—2000 nm范圍內(nèi), 高次諧波的波長定標(biāo)遵循λ–1.44 ±0.10, 遠高于氣體高次諧波的波長定標(biāo).隨著激光波長的逐漸增大, 高次諧波的波長定標(biāo)逐漸降低, 如在激光波長在2000—4000 nm范圍時, 高次諧波的波長定標(biāo)降為λ–3.78±0.10.當(dāng)激光波長達到4000—6000 nm時,AA型堆棧的雙層MoS2高次諧波波長定標(biāo)則接近于氣體高次諧波的波長定標(biāo).T型堆棧雙層MoS2高次諧波中具有類似的波長定標(biāo)規(guī)律, 不同之處在于原子錯位T型堆棧雙層MoS2的高次諧波波長定標(biāo)隨著波長的增大(2000—6000 nm)下降速度明顯小于AA型堆棧, 這也預(yù)示著在波長較長的激光驅(qū)動下, T型堆棧相比AA堆棧所增強的高次諧波具有更優(yōu)越的波長定標(biāo).

圖5 模擬得到的雙層MoS2材料高次諧波產(chǎn)率的波長定標(biāo) (a) AA型堆棧; (b) T型堆棧; 圖中直線由波長定標(biāo)公式擬合得到Fig.5.Wavelength scaling of high harmonic yield from bilayer MoS2 in (a) AA stacking and (b) T stacking.Lines are fits of the scaling law to the data.

4 結(jié) 論

本文理論研究了堆棧方式對雙層MoS2材料高次諧波效率的影響, 發(fā)現(xiàn)在諧波譜高能區(qū)域, 原子錯位T型堆棧的雙層MoS2在強激光驅(qū)動下產(chǎn)生的高次諧波轉(zhuǎn)換效率比AA型堆棧的雙層MoS2高一個數(shù)量級.理論分析證明, 由于在T型堆棧下雙層鏡面對稱性被打破, 部分帶間禁戒躍遷被允許, 帶間躍遷概率增加, 高次諧波強度從而提升.進一步對諧波產(chǎn)率的波長定標(biāo)研究表明, 在2000—6000 nm的中紅外激光波長范圍, 原子錯位T型堆棧雙層MoS2材料的高次諧波具有更好的波長定標(biāo).實際上本工作還研究了其他錯位堆棧雙層MoS2材料的高次諧波輻射, 相應(yīng)的諧波轉(zhuǎn)化效率和波長定標(biāo)介于AA堆棧與T型堆棧之間, 為免贅述, 未呈現(xiàn)在本文中.該工作旨在對雙層材料進行原子級調(diào)控, 探討固體高次諧波輻射增強的潛在方案, 為實現(xiàn)極紫外阿秒光源提供理論新思路.