葛萌萌，余顯祥，嚴(yán)正欣，方學(xué)立，崔國龍*，孔令講

(1. 電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 成都 611731；2. 復(fù)雜航空系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實驗室 北京 豐臺區(qū) 100076)

現(xiàn)代電子戰(zhàn)中，各類干擾技術(shù)快速發(fā)展，從箔條類的無源干擾到噪聲壓制、假目標(biāo)欺騙的有源干擾[1-2]，使得現(xiàn)代雷達(dá)的生存環(huán)境越來越復(fù)雜，嚴(yán)重降低了雷達(dá)的生存性能。為了保證雷達(dá)在干擾環(huán)境下正常工作，雷達(dá)抗干擾技術(shù)得到了廣泛關(guān)注與研究[3-5]。

波形設(shè)計作為一種典型的雷達(dá)抗干擾手段，主要分為抗距離欺騙干擾和抗速度欺騙干擾兩方面。針對距離欺騙干擾，文獻(xiàn)[6]利用波形分集技術(shù)，在不同脈沖重復(fù)時間(pulse repetition time, PRT)發(fā)射相互正交信號，并利用匹配濾波抑制距離欺騙干擾，但是該方法采用的正交波形會導(dǎo)致較高的距離旁瓣。文獻(xiàn)[7]從低截獲抗干擾角度出發(fā)，通過對線性調(diào)頻-頻率編碼復(fù)合波形設(shè)計濾波器抑制距離旁瓣，進(jìn)一步提高了線性調(diào)頻-頻率編碼復(fù)合波形的低截獲抗干擾能力。文獻(xiàn)[8]針對切片重構(gòu)干擾和頻譜彌散干擾導(dǎo)致的距離維假目標(biāo)，通過最小化發(fā)射信號與干擾信號的互相關(guān)積分電平(integrated level,IL)和發(fā)射信號的自相關(guān)積分旁瓣電平(integrated sidelobe level, ISL)的加權(quán)和，在恒模約束下，設(shè)計發(fā)射波形，有效抑制了這兩種干擾類型。文獻(xiàn)[9]針對間歇采樣干擾，通過建立最小化目標(biāo)信號與接收濾波器的ISL和干擾信號與接收濾波器的IL的加權(quán)和的優(yōu)化準(zhǔn)則，在PAR約束下，采用交替方向乘子法(alternation direction method of multipliers,ADMM)聯(lián)合設(shè)計發(fā)射波形與接收濾波器實現(xiàn)間歇采樣干擾抑制，但是該算法無法保證收斂性。另一方面，針對速度欺騙干擾，文獻(xiàn)[10]通過設(shè)計脈沖初相有效地對抗速度欺騙干擾。該方法考慮恒模約束，建立最小化干擾阻帶內(nèi)能量的優(yōu)化問題，利用共軛梯度法求解最優(yōu)脈間初相，極大地改善了脈沖多普勒雷達(dá)在速度欺騙干擾環(huán)境下的目標(biāo)探測性能。在此研究基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[11-12]分別利用修正牛頓法和WeCAN算法求解文獻(xiàn)[10]中的優(yōu)化問題。但是，文獻(xiàn)[11]的工作僅涉及脈間初相，未考慮脈間幅度設(shè)計，沒有充分利用幅度這一自由度；同時，相比離散量化相位，連續(xù)相位設(shè)計在實際工程應(yīng)用中較為困難。

對此，本文增加脈沖幅度這一自由度，同時考慮離散相位，研究脈間波形幅相聯(lián)合設(shè)計抗速度欺騙干擾方法。通過將最小化阻帶內(nèi)干擾能量與目標(biāo)旁瓣能量的加權(quán)和作為優(yōu)化準(zhǔn)則，在離散量化相位和PAR約束下，構(gòu)建幅度-相位聯(lián)合設(shè)計抗速度欺騙干擾的優(yōu)化問題。然后，根據(jù)交替方向懲罰法(alternating direction penalty method, ADPM)框架，提出IADPM算法求解該優(yōu)化問題，具體地，通過引入輔助變量將原優(yōu)化問題分解為一系列子問題，每個子問題利用不同算法求出近似解，進(jìn)而不斷循環(huán)迭代，求出最優(yōu)幅度和相位，最終實現(xiàn)脈間幅度相位聯(lián)合設(shè)計抗速度欺騙干擾。

1 信號模型

假設(shè)脈沖多普勒雷達(dá)在一個CPI內(nèi)發(fā)射N個不同幅度和初相的脈沖信號，第n個脈沖發(fā)射信號為：

式中，xn和 θn分 別為第n個脈沖信號的幅度和初相；Tr為 脈沖重復(fù)時間；u(t)定義為：

式中，Tp為脈沖寬度。

假設(shè)在某一距離單元內(nèi)，有Q個不同多普勒頻率的目標(biāo)，因此，第n個脈沖接收到的目標(biāo)回波為：

式中， τ0為 目標(biāo)雙程時延； αTq為 第q個目標(biāo)的回波幅度；fTq=2vTqTr/λ為 第q個目標(biāo)的歸一化多普勒頻率；vTq為 相應(yīng)的目標(biāo)速度；λ為雷達(dá)工作波長。

數(shù)字射頻存儲器(digital radio frequency memory,DRFM)干擾機(jī)截獲到雷達(dá)信號后需要對信號進(jìn)行分選識別，調(diào)制虛假多普勒信息形成干擾信號后轉(zhuǎn)發(fā)出去，一般假設(shè)DRFM干擾機(jī)發(fā)射的脈沖信號滯后真實雷達(dá)信號i個PRT[10]，如圖1所示。

圖1 干擾脈沖示意圖

假設(shè)在時延 τ0處 ，DRFM干擾機(jī)調(diào)制了P個不同多普勒頻率的虛假目標(biāo)，則第n個脈沖接收到的干擾回波為：

式中， αJp和fJp分 別為第p個虛假目標(biāo)的幅度和歸一化多普勒頻率。

因此，第n個脈沖的接收回波為：

式中，ωn(t)表示加性高斯白噪聲信號。

經(jīng)過匹配濾波處理后，在時延 τ0處 ，第n個脈沖的輸出為：

式中， υ(n)為 ωn(t)的濾波輸出值，滿足均值為0，方差為σ2的高斯分布。

2 問題描述

利用文獻(xiàn)[10]中的多通道處理技術(shù)，獲取目標(biāo)和干擾信號的多普勒先驗信息。假設(shè)干擾信號與目標(biāo)信號的多普勒頻率均在阻帶范圍內(nèi)，設(shè)置阻帶范圍為：

式中，∪ 為取并集操作；Ns為 阻帶個數(shù)；fk1和fk2分別為第k個阻帶的下限和上限頻率。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，忽略干擾回波幅度 αJp，可以推導(dǎo)出P個干擾信號在阻帶內(nèi)的能量為：

式中，( ·)H表示共軛轉(zhuǎn)置操作；s表示為：

式中，( ·)T為轉(zhuǎn)置操作。矩陣RJ的第(m,n)個元素表示為：

相似地，Q個目標(biāo)信號在阻帶內(nèi)的旁瓣能量可以推導(dǎo)為：

式中，x=[x0,x1,···,xN-1]T；RT1和RT2中 的第(m,n)個元素分別表示為：

式中，Δf=1/N為歸一化多普勒頻率間隔。

令：

因此有：

式中，| ·|為 取模操作；⊙ 為哈達(dá)瑪積；J為循環(huán)移位矩陣，定義為：

為了抑制欺騙干擾，需要使干擾信號在阻帶范圍內(nèi)能量盡可能小，同時也要保證目標(biāo)信號在阻帶范圍內(nèi)的旁瓣能量盡可能小。同時，為了避免波形的非線性失真，考慮PAR約束，可以構(gòu)造以下優(yōu)化問題：

3 基于IADPM的脈間波形設(shè)計

本節(jié)提出了IADPM算法求解問題 P0。該算法的核心思想是通過引入輔助變量將原問題轉(zhuǎn)換為一系列子問題，通過對每個子問題求取非精確解并不斷交替循環(huán)迭代，最終求解包含幅度與相位的序列s。

3.1 算法描述

將式(15)～式(16)帶入問題 P0中 ，問題 P0可進(jìn)一步寫為：

式中，RN為N維實向量集合。

基于文獻(xiàn)[15]中ADPM框架，本小節(jié)提出了IADPM算法求解問題 P1。 首先，引入輔助變量z，問題P1可重寫為：

進(jìn)而，構(gòu)造增廣拉格朗日函數(shù)：

式中，λ為拉格朗日乘子；ρ為懲罰因子；? {·}為取實部操作；‖ ·‖表示二范數(shù)。

根據(jù)ADPM框架，通過交替更新z,a,φ來最小化L(a,φ,z)， 進(jìn)而求得原問題的解。假設(shè)z,a,φ在第t次迭代的解分別為z(t),a(t),φ(t)，則提出的IADPM算法的迭代規(guī)則如下：

式中，δ1c和 δ2c為 接近1的兩個常數(shù)，且滿足0＜δ1c＜1和δ2c＞1。

首先，固定a(t-1),φ(t-1),λ(t-1),ρ(t-1)， 更新z(t)。忽略與z的無關(guān)項，式(23)可以重寫為：

式(31)可以用經(jīng)典的Power Method[16]方法求解，首先定義：

當(dāng)mγ2＞N時，式(31)的解為：

式中，

接著，固定z(t),φ(t-1),λ(t-1),ρ(t-1)，更新a(t)。忽略a的無關(guān)項，式(25)可以寫為：

式中，矩陣D定義為：

式中，d iag(···)表示將數(shù)據(jù)形成對角矩陣。

利用坐標(biāo)下降(coordinate descent, CD)[17]算法求解a， 固定a0,···,ap-1,ap+1,···,aN-1，式(36)中目標(biāo)函數(shù)可以表示為關(guān)于ap的表達(dá)式為：

式中，

最后，固定z(t),a(t),λ(t-1),ρ(t-1)， 更新 φ(t)。忽略φ的無關(guān)項，關(guān)于φ 的優(yōu)化問題可寫為：

同樣采取CD算法求解φ。 固定φ0,···,φp-1,φp+1,···,φN-1， 式(38)關(guān)于φp的表達(dá)式可以重寫為：

式中，

因此，式(44)關(guān)于 φp的優(yōu)化問題可以重寫為：

可以求得：

式中，f(ψ) 表 示最接近ψ 的離散量化相位值。

z,a,φ,λ,ρ不斷迭代更新直到收斂。根據(jù)文獻(xiàn)[18]，設(shè)置停止迭代的條件為：

IADPM算法求解問題 P0，總結(jié)IADPM算法流程如下所示。

輸入：初始值z(0),a(0),φ(0),λ(0),ρ(0)， δ1c,δ2c和控制收斂的閾值ζ

輸出：局部最優(yōu)解a和φ；

while?(t)＞ζ

判斷mγ2是 否大于N，根據(jù)式(33)和式(34)更新z(t)；

根據(jù)式(42)更新；

end

forp= 1:N

end

分別根據(jù)式(29)和式(30)更新ρ(t)和 λ(t)；

根據(jù)式(49)計算?(t)；

end while

求出最優(yōu)序列a和 φ后 ，根據(jù)a和 φ的定義，即可計算發(fā)射脈沖串的幅度和相位序列。

3.2 計算復(fù)雜度分析

基于IADPM算法求解問題 P0的計算量主要與迭代次數(shù)和矢量z,a,φ的更新有關(guān)。其中，更新矢量z所用的Power Method計算量主要來自于二分法求 β值，相應(yīng)地計算量為O(I(N))， 其中I為二分法迭代次數(shù)；更新矢量a中的計算量主要來自于計算u和v，其計算量為O(N)，遍歷N個元素，其計算量為O(N2)；更新矢量 φ中的計算量主要來自于構(gòu)造g，其計算量為O(N)，遍歷完N個元素，其計算量為O(N2)。因此，在(I)ADPM算法一次迭代中的計算量為O(I(N))+ON2。

4 仿真實驗

本節(jié)主要通過仿真實驗驗證脈間幅度相位捷變設(shè)計抗速度欺騙干擾方法的有效性。

4.1 算法性能分析

本小節(jié)首先對提出的IADPM算法的收斂性進(jìn)行分析?？紤]單目標(biāo)與單干擾場景下，即P=1，Q=1，假設(shè)雷達(dá)發(fā)射脈沖個數(shù)N=512，干擾的歸一化多普勒頻率fJ=0.4， 目標(biāo)的歸一化多普勒頻率fT=0.47，干擾信號滯后目標(biāo)信號2個PRT，設(shè)置阻帶范圍為Ω=[f11,f12]=[0.3,0.5]。 隨機(jī)初始化s,λ ,z的初始值與s的初始值保持一樣， δ1c=0.9995， δ2c=1.0005,μ1=0.9,M=16。將ADMM算法作為對比算法[18]，其中ADMM算法中懲罰因子 ρ保持不變，其他參數(shù)迭代規(guī)則按照式(23)～式(30)所示。

圖2分別展示了IADPM與ADMM算法中的殘差 ?隨迭代次數(shù)變化曲線圖?？梢钥吹剑瑢τ贗ADPM算法，無論懲罰因子ρ 的初始值取多少，殘差? 總能不斷保持下降趨勢直至收斂，然而ADMM算法受懲罰因子 ρ影響較大，并不能總是收斂，當(dāng)ρ為1和100時，ADMM算法最后趨于收斂，然而當(dāng)ρ 取值較小為0.1時，ADMM算法無法收斂。

圖2 ?隨迭代次數(shù)變化的曲線圖

4.2 抗干擾結(jié)果分析

本小節(jié)針對設(shè)計的脈間幅度-相位波形序列的抗干擾效果進(jìn)行仿真驗證。首先考慮單目標(biāo)與單干擾場景，參數(shù)設(shè)置與4.1節(jié)保持一致，設(shè)置噪聲功率 σ2=0 dB，目標(biāo)信號幅度 |αT|2=10 dB，干擾信號幅度| αJ|2=20 dB。

圖3為單目標(biāo)單干擾場景下的抗干擾結(jié)果?？梢钥吹?，由于干擾的存在，利用傳統(tǒng)脈間波形得到的慢時域多普勒譜上，目標(biāo)和干擾同時存在，且干擾幅度比目標(biāo)幅度高約10 dB。相反，利用優(yōu)化后脈間波形得到的多普勒譜上，可以看到干擾尖峰消失，僅剩下目標(biāo)尖峰，且在 [0.3,0.5]阻帶范圍內(nèi)存在凹槽。

圖3 單目標(biāo)場景下抗干擾效果

考慮多目標(biāo)與多干擾場景，設(shè)干擾個數(shù)P=2，目標(biāo)個數(shù)Q=2，干擾信號的歸一化多普勒頻率分別為fJ1=0.35，fJ2=0.45，目標(biāo)的歸一化多普勒頻率分別為fT1=0.42,fT2=0.44，設(shè)置阻帶范圍為Ω=[f11,f12]=[0.3,0.5]，其余參數(shù)保持不變。

圖4給出了多目標(biāo)場景下抗干擾效果圖?？梢钥吹剑脗鹘y(tǒng)脈沖序列得到的慢時域多普勒譜上，兩個目標(biāo)和兩個干擾同時存在，無法分辨真實目標(biāo)。通過優(yōu)化設(shè)計的脈間波形的多普勒譜上，僅剩下兩個真實目標(biāo)，兩個干擾尖峰消失，說明了該方法在多目標(biāo)多干擾場景下依然適用。

圖4 多目標(biāo)場景下抗干擾效果

5 結(jié) 束 語

針對速度欺騙干擾，本文通過建立最小化阻帶內(nèi)干擾能量與阻帶內(nèi)目標(biāo)旁瓣能量的加權(quán)和的優(yōu)化準(zhǔn)則，考慮波形離散量化相位和PAR約束，構(gòu)建了速度欺騙干擾下脈間波形幅相聯(lián)合設(shè)計的優(yōu)化問題，針對該優(yōu)化問題，提出了IADPM算法求解，并理論分析了IADPM算法的計算復(fù)雜度。

仿真結(jié)果表明，IADPM算法在不同的懲罰因子下總能收斂，優(yōu)于ADMM算法。離散相位情況下，設(shè)計的波形更加易于工程實現(xiàn)，同時可以有效抑制速度欺騙干擾，在多目標(biāo)多干擾情況下，算法依然有效，普適性較高。